解題——數(shù)學教師成長的階梯

1、解題數(shù)學教師成長的階梯廣州市蘿崗區(qū)教育科研與發(fā)展中心 熊躍農(nóng)有人說，解數(shù)學題，上數(shù)學課，寫數(shù)學論文是數(shù)學教師的三項基本功這話不假！筆者1980年參加工作，教書28載，解題28年，與數(shù)萬道數(shù)學題“交過手”由于長期從事解數(shù)學題的實踐，積累了不少解題的資料，整理了數(shù)學題卡萬余張，也產(chǎn)生過不少解數(shù)學題的所謂“火花”，這些“火花”的不斷閃現(xiàn)又不禁使我產(chǎn)生想要表達解題體會的沖動，于是整理出關于數(shù)學解題的文章近300余篇在報刊發(fā)表我深知自己解題能力一般，但與解題的感情卻不一般解題是我每天必進行的思維活動，解題活躍了我的思維，培養(yǎng)了我的能力，練就了我的本領，提高了我的素養(yǎng)，我在解題實踐中找到了歡樂現(xiàn)結合本人解

2、題的成長歷程談點關于解題的管見一、數(shù)學教師解題的重要意義1.數(shù)學教師解題是數(shù)學教學的需要波利亞強調指出：“中學數(shù)學教學首要的任務就是加強解題訓練”“解題的價值不是答案本身，而是在于弄清怎樣想到這個解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的？”他有一句名言：掌握數(shù)學就是意味著善于解題數(shù)學教學的一個重要基礎是教師必須熟悉教學內(nèi)容，可以說教學過程就是指導學生運用所學知識、方法不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程解題就是熟悉教學內(nèi)容的必經(jīng)之路，解題是具有強烈的實踐性與探索性的思維活動“就像游泳、滑雪與彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐來學到它你想學會游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題”（波

3、利亞：數(shù)學的發(fā)現(xiàn)序言）數(shù)學的基礎知識要通過解題實踐來消化，數(shù)學的思維素質要通過解題實踐來優(yōu)化，數(shù)學的解題方法要通過解題實踐來強化數(shù)學教師只有通過解題實踐，才能熟悉所教內(nèi)容，形成數(shù)學能力；才能靈活駕馭教材，有針對性地對學生進行解題指導；當學生遇到解題困惑時，才能把自己解題時的所思、所想、所困、所惑、所獲等等通過解題實踐所獲得的東西生動、鮮活、藝術地表達出來，與所教學生分享才能對教學對象給予適時的啟發(fā)、恰到好處的點撥和簡練精當?shù)闹笇Х駝t，只能是生硬地將參考書上的解答或問題的正確答案展現(xiàn)給學生，少了許多過程性的指導和過程性的情趣，從而也就缺少了師生互動中情感、態(tài)度、價值觀的一條重要的培養(yǎng)途徑2.數(shù)學

4、教師解題是數(shù)學研究的需要數(shù)學解題研究是數(shù)學研究的重要內(nèi)容，也是數(shù)學教學研究的重要組成部分數(shù)學的解題研究是充滿情趣、頗具魅力的思維活動，它讓廣大數(shù)學教師和數(shù)學教育工作者情不自禁參與其中，為之添磚，為之加瓦教師廣泛收集解題資料，充分參與解題實踐，深入剖析解題過程，可以發(fā)現(xiàn)許多新問題，對這些新問題的深入研究又能產(chǎn)生許多新的成果，從而不斷推進數(shù)學教育研究，使得數(shù)學研究更加五彩繽紛、充滿朝氣與活力在此過程中，也不斷推動教師自身素質的提高教師解題，能發(fā)現(xiàn)一些解題規(guī)律、命題規(guī)律，得出一些有益的結論筆者通過對近些年高考應用題的解題分析，總結出高考應用題在考查數(shù)學思維方面的一些規(guī)律，撰寫了淺議高考應用題中思維障

5、礙的設置發(fā)表于安徽中學數(shù)學教學2003年第6期3.數(shù)學教師解題是專業(yè)成長的需要著名數(shù)學家華羅庚說過，學數(shù)學不解題，如入寶山而空返任何一種能力都是在不斷實踐中發(fā)展培養(yǎng)起來的，數(shù)學解題能力的培養(yǎng)也是如此教師通過不斷地解題，逐步積累解題經(jīng)驗，掌握數(shù)學解題的思維方法，培養(yǎng)解題的能力，從而提升數(shù)學教師自身的素質，實現(xiàn)數(shù)學教師的專業(yè)成長1980年8月，早早就師范畢業(yè)的我背著行囊，揣著組織給我的分配通知書，來到湖南安化梅城鎮(zhèn)上的一所初級中學，開始了我漫長的教書生涯，那年我才十六歲由于“文革”的影響，那時的我專業(yè)基礎并不扎實面對一雙雙渴求知識的眼睛，我有些膽怯我這師范畢業(yè)初出茅廬的小伙子能勝任初中數(shù)學教學嗎？

6、兩個班的學生近120人，雖然良莠不齊，但也不乏有幾個“數(shù)學尖子”，他們不知從哪弄來些難題，常常趁下課的十分鐘時間，來“請教”我試試老師有多少功力！后來我才知道，這是學生測試老師專業(yè)水平的狠招！天生喜歡解題的我，雖然有一定的知識和方法的積累，大部分問題的解題思路甚至答案能脫口而出，但也有面對問題目瞪口呆的時候如果不能及時將問題解決，使學生心服口服，我的教學根基、我的教師形象、我的專業(yè)權威會大打折扣那時的我，依靠父母給我創(chuàng)造的良好的生活條件，我除了工作，就是學習為了提高自己的解題能力，我常常不分白天黑夜，夜以繼日，默默無聞地干著一系列“傻”事：工整地抄下了教材所有定義、定理、公理，并自覺背誦過關；

7、從教材開始，一個不漏，逐題求解，在作業(yè)本上完成了教材上所有題目的解答；完成了購買的幾本習題集的所有題目的解答；在作業(yè)本上完成了幾十套中考數(shù)學試題的解答每當進行中考試題自我訓練時，為了防止朋友來訪影響解題訓練，我總是安排學生將自己反鎖在課室后面的辦公室里（隨著時代的發(fā)展，這類樓房結構早已成為歷史），一段時間的訓練后，竟產(chǎn)生出55分鐘左右的時間能完整地解完一套中考題的“輝煌”成果（含抄題時間，注：那是1987年的事）憑著良好的解題技能和虛心好學的治學態(tài)度，我調入了縣一中，擔任高中數(shù)學教學工作記得教第一屆高中畢業(yè)班時，也常常被學生“問倒”，學生手頭上的資料比老師還要多不過，這樣一種良好的教學氛圍促進

8、了師生共同成長在解題的過程中，我不僅和學生建立了良好和諧的感情，而且尋找到了和學生共同思考、共同分析、共同研究的樂趣，當和我一起共破難題的學生考上清華、北大時，我好不愜意多年來，我養(yǎng)成了自覺解題的習慣，每當高考結束，我總是盡快找來高考題，自我檢測，并認真研究試題，也發(fā)表過好幾篇關于高考試題巧解、分析、點評的文章隨著解題實踐的不斷深入，我已在高三教學崗位上奮斗了13個春秋，我的解題能力不斷增強，專業(yè)水平不斷提高，我手頭上的數(shù)學書籍也越來越多，研究的問題也越來越廣泛每天晚上，我總是要解幾道題“過把癮”才入睡解題是數(shù)學教師數(shù)學活動的基本形式，是數(shù)學教師數(shù)學活動的主要內(nèi)容，是數(shù)學教師數(shù)學教學的必經(jīng)之路

9、，是數(shù)學教師的成才之道，是數(shù)學教師專業(yè)成長的催化劑二、數(shù)學教師解題的主要方式1.平時隨機解題數(shù)學教師一般在工作單位承擔著比較繁重的教學和研究工作，一般難于有成塊的時間進行解題訓練，解題只能利用茶余飯后的零散時間隨機解題可以根據(jù)數(shù)學教師在學校擔負的工作情況隨時作出恰當?shù)恼{整，是一種較為靈活的訓練方式，是數(shù)學教師解題訓練的主要方式，其訓練時間安排相對靈活，操作起來相對簡便用這種方式解題，重在對解題過程的分析研究，對問題深入探究，將問題進行聯(lián)系、變形、拓展、推廣2.自我限時訓練隨機解題培養(yǎng)能力，限時訓練優(yōu)化思維限時訓練是指教師能擠出半小時、一小時等“成塊”時間來訓練這時可以挑一些具有一定難度的各地市

10、模擬考試題，刪去部分容易題，進行限時自我訓練這樣可以促使教師養(yǎng)成良好的解題習慣，鍛煉數(shù)學教師的解題思維，培養(yǎng)數(shù)學教師敏捷的思維能力3.師生同場考試利用統(tǒng)考時機，教師同時參與學生的考試，師生同場唱“同一首歌”，這是一種強度較大的強化訓練好形式，也是數(shù)學教師解題最為有效的訓練途徑采用這種“以身試考，置身其中”的方式進行解題訓練，需要教師解放思想，轉變角色，需要有足夠的勇氣和膽識訓練時重在準確審題，熟練運用解題方法，快捷運算，感受、體驗應考的氛圍，收集應考信息，促進教師深入研究高考、課標、考綱、考試說明、學情和考情，以便考后指導更具針對性，提高復習效率目前不少地方采用教師和學生同時參加某種模擬考試的

11、方法對青年教師進行培養(yǎng)，不失為一條好途徑三、數(shù)學教師解題的主要途徑1.立足教材，逐步深入教材上的例題、練習題、習題等，是教師直接面對不允回避的問題，是學生最為關心、最為迫切需要解決的問題教師要通過解題訓練，對這些題做到題題過關，一看便會，一算就對，駕輕就熟，如履平地通過對教材上的題的解答和研究，特別是對教材上典型例題、習題的研究，將中學數(shù)學基礎知識、基本思想和基本方法聯(lián)成網(wǎng)絡切切不可好高騖遠，夜郎自大2.真題訓練，真情感受高考、中考真題及模擬考試題，一般都有較好的試題結構，良好的能力立意，每套題中還鑲嵌著幾道精彩原創(chuàng)題，一般都凝聚了數(shù)學教育工作者的心血，是數(shù)學教育工作者的智慧的結晶教師經(jīng)常求解

12、這樣的問題，能不斷積累和豐富新知識、新方法，能在解題實踐中體現(xiàn)“與時俱進”，把握數(shù)學教學發(fā)展的“脈搏”，真情演練，真實感受，獲得對試題的“真情實感”，為教學研究、解題研究積累有價值的素材3.賽題訓練，異樣收獲數(shù)學競賽題常常以其試題的情景新穎和表述簡練、解法的思路巧妙而吸引著無數(shù)數(shù)學愛好者，數(shù)學教師適當求解數(shù)學競賽題，能開闊視野，廣開思路，培養(yǎng)數(shù)學思維的敏捷性、深刻性、創(chuàng)造性等思維品質，領悟精彩紛呈的數(shù)學技巧，深化對數(shù)學思想方法的理解，體會到數(shù)學問題的魅力，使自己的解題能力上升到一個新高度通過對數(shù)學競賽題的解題訓練，?？色@得令人拍案叫絕的解題策略，常有意想不到的異樣收獲例如：題1 （1963年莫

13、斯科競賽題）設a,b,c，求證；題2 （第二屆友誼杯國際數(shù)學競賽題）設a,b,c，求證兩題的優(yōu)美解法已有數(shù)種，此略我們先對題2左邊略作變形：=顯然，若，則可得；反之，若，則可得原來，兩道賽題等價！另外，常常求解一些基本的高等數(shù)學題，掌握高等數(shù)學題的基本解題方法和策略，能居高臨下，深化對中學數(shù)學解題研究，是中學數(shù)學教師解題訓練不可或缺的4.積累“好題”，分類整理教師在不斷解題的實踐中逐步積累知識、方法的同時，要注意采用恰當?shù)姆绞诫S時積累數(shù)學“好題”，為以后數(shù)學教學、數(shù)學解題研究積累一定的素材筆者近十多年來，以每年積累千題的速度，采取卡片形式，整理了萬余道數(shù)學“好題”并按問題內(nèi)容分門別類整理，編碼

14、裝入信封既為課堂教學、課后輔導備料，也為解題研究、教學改革聚材5.一題多解，活躍思維一題多解是對問題進行多角度、多方位的思考，尋求不同解題策略解決問題的方法由于解題者對問題的分析和思考不是固定的、一成不變的，因而往往能獲得對問題全面、深刻、豐富的認識，產(chǎn)生不同途徑的解決問題的策略久而久之，就能培養(yǎng)我們?nèi)嫔羁?、靈活善變的思維能力（1）一題多解能啟發(fā)思考，活躍思維一題多解在思維培養(yǎng)方面的功能是顯然的由于對同一個問題從不同角度加以分析，獲得不同的解題路徑，最后產(chǎn)生殊途同歸的效果，每每完成一道題的多解，往往給人以愉悅的感覺筆者發(fā)表的關于解題的文章中，涉及一題多解的文章有30多篇如筆者在解2001年廣

15、州市高考模擬題“在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且角A為80°，a2=b(b+c)，求角C的度數(shù)”時，經(jīng)過分析研究，發(fā)現(xiàn)此題至少可以利用三角、復數(shù)、平面幾何手段求解，于是撰寫了六法巧解一道高考模擬題，發(fā)表于湖南高中生2002年第11期又如在解“求經(jīng)過A（4，1）且與已知圓切于點B（1，2）的圓的方程”這道題時，經(jīng)過研究，得出了十一種不同的解法于是撰寫了一道圓的方程問題的多種解法發(fā)表于2005年5月19日海南考試報（2）一題多解能解除疑惑，促進研究一般而言，一題多解都能得到同樣形式的結果，但在解題實踐中，本人的確遇到過“殊途”不能“同歸”的例子筆者在解“已知8=，

16、16=5，試用、表示32”時，通過思考，得到兩種不同的解法解法1：32=解法232=乍一看，結果“不同”“問題”出在哪里呢？原來，由已知條件8=，可得=，此時，即這兩個結果是相同的筆者用不同方法求解“已知ABC中，ABC=234，ABBC=32，AC=5，求ABC的周長（1985年安徽省成人高考文科數(shù)學試題第五題）”時，遇到了相互矛盾的結果利用條件ABC=234，求出各角，繼而利用余弦定理求出AB、BC，得ABC的周長為+5而用平面幾何方法又求得ABC的周長為15兩種解法竟得出不同的結果，讓我百思不得其解也是筆者頭一次遇到這類“奇”事！后經(jīng)分析，原來條件ABC=234與ABBC=32不相容！題

17、目中各已知條件內(nèi)部相容，不能相互矛盾，這是命題的一個基本原則6獨辟蹊徑，避繁就簡“分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑，至少在沒有找到更好的途徑之前，這是一個無以替代的好主意”教師在分析典型例題的解題過程時，除了從規(guī)范、有序、簡練、科學等角度分析外，還應多從批判的角度進行分析和研究研究解題方法是否可以作些改進比如不少高三復習資料有這樣一題：銅片繞在盤上，空盤時盤蕊半徑為40mm，滿盤時半徑為80mm，銅片厚度為0.1mm，滿盤時銅片總長度為 mm(為圓周率)本題源于學生身邊的生活實際，情境熟悉，背景公平，題目樸素，短小靈巧，作為一道考查求等差數(shù)列前n項和的應用題，堪稱好題，其解題通法是：

18、解：銅片厚度為0.1mm，每繞一圈半徑增加0.1mm，滿盤時共繞了(8040)÷0.1=400(圈)銅片總長度L=40.05×2+(40.05+0.1)×2+40.05+(4001)×0.1×2=32040+15960=48000(mm)但若著眼于問題的整體，抓住其本質，略去其枝葉，則只需一元一次方程知識，就可化繁為簡出其不意地得到一個令人拍案叫絕的簡捷解法：解：設滿盤時銅片總長度為xmm則滿盤時銅片所在圓環(huán)的面積為(802402)mm2，由題意有x×0.1=(802402)，解之得x=48000(mm)又如筆者在幾本書中看到這樣的問

19、題：設ABC的三邊長a、b、c(a、b、c互不相等)成等比數(shù)列，而loga、logc、logb成等差數(shù)列，求證：公差d=這些書提供的解法是：解：loga=，logc=，logb=logalogclogb=1 又b=ac，loga+logc=2，2=+logc=，2logb=1+logblogc 又 2logc=loga+logb 將變形，得logc=代入、得logb=，loga=，logc=故d= logc loga=專業(yè)的敏感性和數(shù)學的直覺告訴我，問題的解法應該可以作些避繁就簡的改進經(jīng)過分析思考，得出下面的解法解：由題意：loga=logcd，logb=logc+d， 為方便計，設t= logcb=ac，由得log=tdt+(1d)t2=0 由得 =logc+d=t+dt+(d2)t+12d=0 得(2d3)t=2d3t=logc1(a，b，c互不相等)2d3=0，從而d=類似地，還可有下面的解法解：由題意：loga=2logcdloga=d logac=2logc+d+d 設t= loga，則由得 t+(d+1)t+d2=0 由得 (2d1)t+2(d+