康托爾集合論

1、康托爾集合論集合論是19世紀(jì)70-80年代由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立，它建立在一種無限觀一一實(shí)無限”的基礎(chǔ)上。所謂 實(shí)無限”即把 無限”作為一個(gè)已經(jīng)完成了的觀念實(shí)體來看待。例如，在集合論中用N=n : n是自然數(shù)表示全體自然數(shù)的集合就是如此。需要指出的是，在此之 前的幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展史中，占主導(dǎo)地位的是另一種無限觀，即古希臘哲學(xué)家亞里士多德所主張的 潛無限”觀念。所謂 潛無限”是把 無限”作為一個(gè)不斷發(fā)展著的、又永遠(yuǎn)無法完成的 過程來看待。例如，把自然數(shù)看成一個(gè)不斷延伸的無窮無盡的序列1, 2, 3,，n,就是如此。集合論是數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)方法上的一次革命性變革，由于它在解釋舊的數(shù)學(xué)理論 和發(fā)展新的數(shù)

2、學(xué)理論方面都極為方便，因而逐漸為許多數(shù)學(xué)家所接受。實(shí)數(shù)理論奠定在集合論的基礎(chǔ)上，而且各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念都可以用集合”概念定義出來，而各種數(shù)學(xué)理論又都可以 嵌入”集合論之內(nèi)。因此，集合論就成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且有力地促進(jìn)了各個(gè)數(shù)學(xué) 分支的發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都會(huì)用到集合這個(gè)概念。康托爾集， 格奧爾格康托爾在1883年引入，是位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合， 具有許多顯著和深刻的性質(zhì)。通過考慮這個(gè)集合，康托爾和其他數(shù)學(xué)家奠定了現(xiàn)代點(diǎn)集 拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個(gè)集合，但是最常見 的構(gòu)造是康托爾三分點(diǎn)集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介

3、紹了三分點(diǎn)集的構(gòu)造，作為一個(gè)更加一般的想法一一一個(gè)無處稠密的完備集的例子。1 2康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一而得出。將基本區(qū)間0,1用分點(diǎn)， 與3 31 2三等分，并除去中間的開區(qū)間（一，一）。把余下的兩個(gè)閉區(qū)間各三等分，并除去中間的開331 27 8區(qū)間（一，一），（一，-）。然后再將余下的四個(gè)閉區(qū)間同法處理，如此等等。這樣便得到9 99 9康托爾三分集Po與開集GoGo =12127812781920，C）U（ o2 ，2）U（c 2 ，2 ）U（c 3 ，3 ）U（3 ，3 ）U（3 ，3）33333333333325U（ 3，33263 ）U-33Po是Go的補(bǔ)集?？低袪柤?/p>

4、是由所有過程中沒有被去掉的區(qū)間0, 1中的點(diǎn)組成?？低袪柸旨男再|(zhì)及證明(1)Po是一個(gè)閉集，不含有任何區(qū)間。這是顯然的，Go是任意個(gè)開集的并，所以Go仍是開集，Po是Go的補(bǔ)集，所以Po是閉集。這表明不含有任何區(qū)間的閉集是存在的。(2)Po是完全集證明：要證Po是完全集即證它不含有孤立點(diǎn)。假設(shè)Po有一孤立點(diǎn)Xo，則存在(a,3 )使(a,3 )中不含Po中除X。以外的任 點(diǎn)。所以(a，Xo) - Go, ( Xo ,B) Go。于是Xo將成為Go的某兩個(gè)區(qū)間的公共端點(diǎn)，但由于Go的做法是不可能的。所以不存在這樣的點(diǎn) Xo，與假設(shè)矛盾，所以得證 Po是完全集。(3) Fo是不可列的證明：假設(shè)

5、Po是可列的，將Po中點(diǎn)編號(hào)成點(diǎn)列X! , X2，Xk，也就是說,Po中任一點(diǎn)必在上述點(diǎn)列中出現(xiàn)。Xi ,顯然，o,1與2,!中應(yīng)有一個(gè)不含有IL 3.IL3用Ii表示這個(gè)閉區(qū)間。將Ii三等分后所得的左與右兩個(gè)閉區(qū)間中，應(yīng)有一個(gè)不 含X2，用丨2表示它。然后用丨3表示三等分丨2時(shí)不含X3的左或右的那個(gè)閉區(qū)間,如此等等。這樣，根據(jù)歸納法，得到一個(gè)閉區(qū)間列 I kk. N。由所述取法知,li 二 * 二二 4 二，Xk? Ik , k N,同時(shí)，易見Ik的長(zhǎng)為 丿3k T 0 （ kT閔）。于是根據(jù)數(shù)學(xué)分析中區(qū)間套定理,存在點(diǎn)x ? Ik , k? N?？墒莤是Ik等的端點(diǎn)集的聚點(diǎn)，從而是閉集Po

6、的聚點(diǎn),故X ? Po。由于上面已指出xk ? I k , k N,故x 1 xk, k?N。這是一個(gè)矛盾。故F0不可列。（4） P0的勢(shì)等于d與0,1同勢(shì)證明：引進(jìn)1 20,1中小數(shù)的三進(jìn)表示來考察區(qū)間（-，一）中每個(gè)點(diǎn)x可表示成33x=0.1 X2 X3，其中X2 , X3，是0 , 1, 2三個(gè)數(shù)字中之一。這區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)均有兩種表示，規(guī)定采用（不出現(xiàn)數(shù)字1）:=0.0222 ，2§ =0.2000 ,、1278一、區(qū)間（2，），（2）中的點(diǎn) x 可表示成 x=0.01 x3 x4 或 x=0.21 x3 x4 ,3333其中X3 , X4，是0, 1 , 2中任一數(shù)字。而區(qū)間

7、端點(diǎn)則采用（不出現(xiàn)數(shù)字1 ）：132 =0.0022 ，732 =0.2022 ,2g2 =0.0200 ，832=0.2200 。如此等等。根據(jù)歸納法分析可知， 依上述規(guī)定，G。中的點(diǎn)的三進(jìn)表示中必有一位數(shù)字是1，且只有這樣的點(diǎn)才屬于G。因而F0與集A=0. X1 X2 X3 ：每個(gè) Xk0, 2成一一對(duì)應(yīng)。且 A顯然與0,1對(duì)等，故A的勢(shì)為d,從而R）的勢(shì)為do（5） m P°=0證明：因?yàn)镚°是開集由測(cè)度的定義有 m Po =1- m Go =1-1=01m G0=+322 +=132我們得到F0是一個(gè)測(cè)度為零的不可列集。(6) Fo是稀疏集因?yàn)镕o=F0，不能包含R中的任何一個(gè)鄰域，所以 Fo不在R中的任何一