第4章 靜電場答案

1、第4章 靜電場4.1 根據(jù)點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式 當(dāng)所考察的點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離r接近于零時，則電場強(qiáng)度趨于無限大，這顯然是沒有意義的。對此應(yīng)作何解釋？答：這是由于時，帶電體已不能再看成是點(diǎn)電荷，點(diǎn)電荷是一種理想的模型，只有在帶電體的線度遠(yuǎn)小于源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離時才可把帶電體看成是點(diǎn)電荷。本題中，則帶電體要按實(shí)際分布計(jì)算其場強(qiáng)，而不能用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式。4.2 在高斯定理 中，問：（1）高斯面上的E是否完全由式中的 q 產(chǎn)生？（2）如果 q = 0 ，是否必定有E = 0 ？（3）如果在高斯面上E 處處為零，是否必定有 q = 0 ？答：（1）高斯面上的場強(qiáng)是由所有的電荷產(chǎn)生的。（2）若，但不一定為零。（

2、3）在高斯面上處處為零，則必定有q=0。4.3 將一個均勻帶電（量值為Q）的球形肥皂泡，由半徑吹至 。則半徑為 R （）的高斯面上任意一點(diǎn)的場強(qiáng)大小由 變至_，電勢由 變至_，通過這個高斯面的E的通量由變至_ 。答：（1）變?yōu)?（高斯面內(nèi)無電荷，且球?qū)ΨQ）；（2）；（3）04.4 電勢為零的地方，電場強(qiáng)度是否一定為零？電場強(qiáng)度為零的地方，電勢是否一定為零？分別舉例說明之。答：電勢為零的地方，電場強(qiáng)度不一定為零（電勢零點(diǎn)可選任一位置）；電場強(qiáng)度為零的地方，電勢也不一定為零。例如導(dǎo)體內(nèi)電場為零，但電勢可以不為零。4.5 將一個帶電物體移近一個導(dǎo)體殼，帶電體單獨(dú)在導(dǎo)體空腔內(nèi)激發(fā)的電場是否等于零？靜電

3、屏蔽的效應(yīng)是如何體現(xiàn)的？答：帶電體單獨(dú)在導(dǎo)體空腔內(nèi)激發(fā)的電場不為零。靜電屏弊效應(yīng)體現(xiàn)在帶電體的存在使導(dǎo)體腔上的電荷重新分布（自由電子重新分布），從而使得導(dǎo)體空腔內(nèi)的總電場為零。4.6 將一個帶正電的導(dǎo)體 A 移近一個接地的導(dǎo)體 B 時，導(dǎo)體 B是否維持零電勢？其上面是否帶電？答：導(dǎo)體B維持零電勢，其上帶負(fù)電。4.7 在同一條電場線上的任意兩點(diǎn) a、b，其場強(qiáng)大小分別為及，電勢分別為和，則以下結(jié)論正確的是：(1 ) ； (2 ) ； (3) ； (4) 。答：同一條電場線上的兩點(diǎn)，電場強(qiáng)度可以相同，也可以不同，但沿著電場線電勢降低，所以選（4）。4.8 電容器串、并聯(lián)后的等值電容如何決定？在什么

4、情況下宜用串聯(lián)？什么情況下宜用并聯(lián)？解：串： 并：當(dāng)手頭的電容器的電容值比所需要的電容值小，宜用并聯(lián)。當(dāng)手頭的電容器的耐壓值比所需要的小，宜采用電容器串聯(lián)。4.9 兩根長度相同的銅導(dǎo)線和鋁導(dǎo)線，它們兩端加有相等的電壓問銅線中的場強(qiáng)與鋁線中的場強(qiáng)之比是多少？銅線中的電流密度與鋁線中的電流密度之比是多少？（已知）答：電壓V相同和導(dǎo)線長度l相同，則電場強(qiáng)度E相同；由 得：由于銅的電阻率大于鋁的電阻率，所以銅線中的電流小于鋁線中的電流。4.10 電力線(電場線)與電位移線之間有何關(guān)系？當(dāng)電場中有好幾種電介質(zhì)時，電力線是否連續(xù)？為什么？電場線和電位移線都是用來形象描述電場分布的，前者與電場強(qiáng)度相對應(yīng)，后

5、者與電位移矢量相對應(yīng)，它們的關(guān)系通過介質(zhì)的性質(zhì)方程相聯(lián)系。當(dāng)電場中有好幾種電介質(zhì)時，電力線是不連續(xù)的，這是由于介質(zhì)極化將在介質(zhì)的表面及兩種介質(zhì)的交界面出現(xiàn)面束縛電荷的原因。4.11 說明帶電系統(tǒng)形成過程中的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系，在此過程中系統(tǒng)獲得的能量儲藏在何處？圖4.22 題4.12圖答：在帶電系統(tǒng)的形成過程中，外力做功使系統(tǒng)的能量增加，系統(tǒng)獲得的能量儲存在電場中成為靜電場能量。4.12 如圖4.22所示，在圖(a)充電后不斷開電源，圖(b)充電后斷開電源的情況下，將相對電容率為的電介質(zhì)填充到電容器中，則電容器儲存的電場能量對圖(a)的情況是_ ，對圖(b)情況是_。 答：（a）當(dāng)充電后不斷開電源（

6、V不變），填充介質(zhì)使電容器儲存的電場能量增大；（b）當(dāng)充電后斷開電源（q不變），填充介質(zhì)使電容器儲存的電場能量減小。* * * * * * * * * *4.13 兩個點(diǎn)電荷所帶電荷量之和為，問它們各帶多少電荷時，相互作用力最大？解：設(shè)一個帶電，則另一個帶電，其相互作用力大小為 得 又 是F的極大值點(diǎn)所以當(dāng)兩電荷的電量相等均為時，其相互作用力最大。4.14 電子以 5.0×10 6 m ·s -1 的速率進(jìn)入場強(qiáng)為 E =1.0×103 V·m-1的勻強(qiáng)電場中，若電子的初速度與場強(qiáng)方向一致問（1）電子作什么運(yùn)動？（2）經(jīng)過多少時間停止？（3）這段時間電子

7、的位移是多少？解：（1）由于速度方向和加速度（受力）方向相反 電子作運(yùn)減速運(yùn)動。（2）由得從以運(yùn)動到停止所需時間為（3）這段時間電子的位移為4.15 兩個點(diǎn)電荷和相距為l。若() 兩電荷同號；() 兩電荷異號求它們連線上電場強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置解：（1）若兩電荷同號，電場為零的點(diǎn)在與的連線上，設(shè)距為x處，則有， 由此得整理得 解之得 （舍去了負(fù)根）（2）若兩電荷異號，電場為0的點(diǎn)在與的延長線上，且在電量較小的電荷一邊。若設(shè)在外距為x處，則有 即 整理得 解之得若，則在外距為（同上計(jì)算） 4.16 粒子快速通過氫分子中心，其軌道垂直于兩核連線中心，問粒子在何處受到的力最大？假定粒子穿過氫分子時，兩

8、核無多大移動，同時忽略分子中電子的電場解：設(shè)兩核間的距離為2，粒子在距兩核中心的距離為r時所受力為最大，其值為由極值條件 得即粒子到兩核中心的距離等于兩核距離的倍時所受之力為最大。4.17 若電荷 q 均勻地分布在長為 L 的細(xì)棒上，求證：(1) 在棒的延長線上，離棒中心為 a 處的場為 (2) 在棒的垂直平分線上，離棒 a 處的場強(qiáng)為 證明：選棒的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿棒的方向?yàn)閤軸方向，垂直于棒的方向?yàn)閥軸（1）（2）圖4.23 題4.18圖4.18 如圖4.23 所示為一無限大均勻帶電平面中間挖去一個半徑為 R 的圓孔，電荷面密度為，求通過圓孔中心且與平面垂直的線上 P 點(diǎn)的場強(qiáng)設(shè) 點(diǎn)到孔心

9、的距離為 x ，討論 x >> R 和 x << R 兩種情況下，為多少？ 解：本問題可等效為面電荷密度為的均勻無限大帶電面與面電荷密度為-的均勻帶電圓盤（圓孔大?。┑膱龅寞B加。前者在p點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為后者在P點(diǎn)所產(chǎn)生的電場為P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為討論：（1）當(dāng) 即在很遠(yuǎn)處，挖掉的圓孔對電場強(qiáng)度影響不大可以忽略。（2）當(dāng)時，即當(dāng)場點(diǎn)無限接近帶電面時，其電場強(qiáng)度只與該處的電荷分布有關(guān)，（該處電荷面密度）4.19 設(shè)均勻電場的場強(qiáng)與半徑為的半球面的軸平行求通過此半球面的電通量解：取半徑為R的平面與半徑面構(gòu)成封閉面，對于該封閉面，由高斯定理便知其閉面通量為零，所以通過半徑面的電通量與

10、垂直于電場方向的平面（半徑R）的電通量大小相同。即圖4.24 題4.20圖 4.20 一均勻帶電線，線電荷密度為，線的形狀如圖4.24所示。設(shè)曲率半徑為R與線的長度相比為足夠小。求O點(diǎn)處的電場強(qiáng)度的大小。解：0點(diǎn)處的電場可看成是由兩個半無限長線和一個圓周電荷產(chǎn)生的電場，而兩半無限長線上的電荷在0點(diǎn)產(chǎn)生的電場和大小相等，方向相反，則0點(diǎn)的電場強(qiáng)度是圓周電賀產(chǎn)生的，即4.21 兩個均勻帶電的同心球面，半徑分別為 0.1 m 和 0. 3 m ，小球面帶電荷為1.0×10 -8 C， 大球面帶電荷 1. 5×10 -8 C，求：離球心為 (1) 5×10 -2 m ；(

11、2) 0. 2 m ；(3) 0.5 m 處的場強(qiáng)。這兩個帶電球面產(chǎn)生的場強(qiáng)是否為離球心距離的連續(xù)函數(shù)。解：（1），處于球面內(nèi)，則以過場點(diǎn)所作的同心球面作為高斯面，其內(nèi)無電荷，利用高斯定理及電場的球?qū)ΨQ分布有 ， 從而（2）過該場點(diǎn)所做之同心球面包括小均勻帶電球面，據(jù)高斯定理及電場的球?qū)ΨQ分布得 由此得 （3）過該場點(diǎn)所做之同心球面包括小均勻帶電球面，也包含大均勻帶電球面，將其作為高斯面，應(yīng)用高斯定理并利用電場的球?qū)ΨQ分布有 由此得 這兩帶電球面產(chǎn)生的場強(qiáng)不是距球心距離r的連續(xù)函數(shù)。4.22 兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面，半徑分別為 R1 和R2 (R2 > R1)，大圓柱面和

12、小圓柱面單位長度帶電荷分別為 -和 +，求離軸線為 r處的電場強(qiáng)度： (1) r < R1 ；(2) R2 > r >R1 ；(3) r > R2 解：過場點(diǎn)作與帶電無限長圓柱同軸的圓柱面，高為h，將其作為高斯面，利用高斯定理及電場的軸對稱性（柱面上電場沿徑向，且在側(cè)面上大小相等）可計(jì)算如下：（1） (2) 由此得 （3） 4.23 如圖4.25所示，一質(zhì)量為 m = 1.0×10 -6 kg 的小球，帶有電荷q = 2.0×10 -11 C ，懸于一絲線下面，線與一塊很大的均勻帶電平面成= 30o 角。求此帶電平面的電荷密度。圖4.25 題4.23

13、圖解：設(shè)帶電平面的電荷密度為，它在平面附近產(chǎn)生的電場大小為，則點(diǎn)電荷q所受水平方向的電場力為由受力平衡可得由（1）/（2）得有 4.24 一個半徑為R 的球體均勻帶電，其電荷體密度為，求空間各點(diǎn)的電勢。解：利用高斯定理并考慮球?qū)ΨQ性得有 由電勢與電場強(qiáng)度關(guān)系的積分形式得在區(qū)域 ，在區(qū)域 即求間各點(diǎn)的電勢分布為4.25 在一點(diǎn)電荷的電場中，把一電荷量為 1.0×10 -9 C 的試探電荷從無限遠(yuǎn)處移到離場源電荷為 0.10 m 時，電場力做功為 1.8 ×10 -5 J ，求該點(diǎn)電荷的電荷量。解：設(shè)所求點(diǎn)電荷的電量為q，其電勢分布為試探電荷在其中的電勢能為將其從無限遠(yuǎn)移至離q

14、為電場力所做的功為有4.26 一個半徑為 R 的均勻帶電球面，面電荷密度為求距離球心為 r 處的 P點(diǎn)的電勢，設(shè) (1) r < R；(2) r = R；(3) r > R解：由高斯定理易得均勻帶電球面的電場強(qiáng)度分布為由電勢與電場強(qiáng)度的積分關(guān)系得球面外球面內(nèi) 即電勢分布為 4.27 兩共軸長直圓柱面 ( R1 = 3×10-2m，R2 = 0.1m )帶有等量異號電荷，兩柱面的電勢差為 450V ，求圓柱面單位長度所帶的電荷量。解：設(shè)內(nèi)外兩圓柱面單位長度所帶電勢分別為和，選與柱面同軸，長為的圓柱面作為高斯面，由高斯定理并考慮軸對稱性易得電場強(qiáng)度在兩柱面內(nèi)的分布則兩柱面間的

15、電勢差由此得 4.28 一圓盤均勻帶電，圓盤的半徑為 R = 8.0×10 -2 m ，電荷面密度為=2×10 -5 C·m-2 ，求：(1) 軸線上任一點(diǎn)的電勢；(2) 從場強(qiáng)與電勢的關(guān)系，求軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)； (3) 離盤 0.1m 處的電勢和場強(qiáng)。解：（1）利用點(diǎn)電荷電勢公式及電勢的疊加原理可得軸線上任一點(diǎn)的電勢為 （2）由電荷分布的對稱性質(zhì)，軸線上的電場沿軸線，即沿x軸方向，所以有 （3）時 圖4.26 題4.29圖4.29 如圖4.26所示，三塊平行的金屬板A、B 和 C 面積都是200cm2 。A、B相距4.0 mm，A、C相距2.0 mm，B、C兩點(diǎn)

16、都接地，如果使 A 板帶正電 3.0×10-7C，并略去邊緣效應(yīng)，問：(1) B 板和 C 板上感應(yīng)電荷各是多少？(2)以地的電勢為零，問 A 板的電勢為多少？解：（1）若設(shè)A板左右面帶電分別為和，則C、A之間和A、B之間的電場為， （1）又C板與B板電位相等（均為0），則有： 即利用（1）便得： （2）又 （3）（2）、（3）聯(lián)立解之得：由上分析便知，C板上感應(yīng)電荷 ；B板上感應(yīng)電荷 （2）A板電勢為4.30 電量為q 的點(diǎn)電荷處在導(dǎo)體球殼的中心，球殼的內(nèi)、外半徑分別為和，求場強(qiáng)和電勢的分布。解：根據(jù)靜平衡條件知，在導(dǎo)體內(nèi)，在球殼層內(nèi)的任意封閉面的電通量為0，利用高斯定理便知球殼內(nèi)

17、表面所帶電荷大小與球心的點(diǎn)電荷q相等，相差負(fù)號。由電荷守恒定律可知球殼外表面所帶電荷為q，顯然電荷分布具有球?qū)ΨQ性。由高斯定理易得空間的場強(qiáng)分布由 得電勢分布：4.31 設(shè)有1、2 兩個電容器，C1= 3F ，C2= 6F ，電容器 1充電后帶電量Q = 9×10-4 C，將其與未充電的電容器 2并聯(lián)連接。問：(1) 電容器 1的電勢差和電量有何變化？(2) 電容器 2上所帶的電量是多少？其電勢差多大？解：已知，兩電容器并聯(lián)并聯(lián)后電容器的電壓由此可見：（1）電容器1的電勢差減少了200V；（2）電容器2所帶電荷為，其電勢差為4.32 兩電容器的電容分別為C1= 10F，C2= 20F

18、 ，分別帶電= 5 ×10-4C，= 4×10-4 C ，將C1和C2并聯(lián)，電容器所帶電量各變?yōu)槎嗌伲侩娔芨淖兌嗌?？解?，電能改變則并聯(lián)系統(tǒng)總電能的改變圖4.27 題4.33圖即體系的電能減少了4.33 將大地看成均勻的導(dǎo)電介質(zhì)，并設(shè)大地的電阻率為。將半徑為a的球形電極的一半埋于地下，如圖4.27所示，求該電極的接地電阻。解：按電阻串聯(lián)得： 4.34 一蓄電池，在充電時通過的電流為 2.0 A，此時蓄電池兩極間的電勢差為 4.6 V，當(dāng)它放電時，通過的電流為 3.0 A，兩極間的電勢差為5.1 V。求蓄電池的電動勢和內(nèi)阻。解：充電時 （1） 放電時（2）（1）、（2）聯(lián)立

19、求解得 4.35 利用安培計(jì)和伏特計(jì)來測量電阻，(已知安培計(jì)的內(nèi)阻為 RA=0.03，伏特計(jì)的內(nèi)阻為RV =1000)，測量時有兩種接法，如圖4.28 所示(1) 按圖 (a) 的接法，安培計(jì)的讀數(shù)為 = 0.32 A ，伏特計(jì)的讀數(shù)為= 9.60 V ，求由于在計(jì)算電阻時未考慮安培計(jì)內(nèi)阻而造成的相對誤差(2) 按圖(b)的接法，安培計(jì)的讀數(shù)為I2 =2.40A，伏特計(jì)的讀數(shù)為V2=7.20 V，求由于在計(jì)算電阻時未考慮伏特計(jì)內(nèi)阻而造成的相對誤差圖4.28 題4.35圖 解（1）內(nèi)安法：未考慮安培計(jì)內(nèi)阻 而實(shí)際電阻相對誤差%（2）外安法 而實(shí)際電阻滿足 由此解得： 相當(dāng)誤差為 %4.36 一半

20、徑為R的電介質(zhì)實(shí)心球體均勻地帶正電，單位體積所帶電荷為，球體的介電常數(shù)為，球體外充滿介電常數(shù)為的無限大均勻電介質(zhì)。求球體內(nèi)、外任一點(diǎn)的場強(qiáng)和電勢。解：選過場點(diǎn)以介質(zhì)球心為心的球面作為高斯面，利用有介質(zhì)時的高斯定理及球?qū)ΨQ性可得，在介質(zhì)內(nèi) ， 在介質(zhì)內(nèi) 由此得 ， 即球內(nèi)外的電場分布為 進(jìn)一步由 可得電勢的分布4.37 平行板電容器的兩極板上分別帶有等量異號電荷，其面密度為9.0×10-6 C·m-2 。在兩極板間充滿介電常數(shù)為3.5×10-11 C2·N -1·m-2 的電介質(zhì)。求：(1) 自由電荷所產(chǎn)生的場強(qiáng)；(2) 電介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)；(3)

21、電介質(zhì)上束縛電荷的面密度；(4) 由束縛電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。解：（1）（2） （3） 與自由電荷符號相反。（4）束縛電荷產(chǎn)生的電場 4.38 設(shè)半徑都是r的兩條平行的“無限長”直導(dǎo)線 A、B，其間相距為 d (d >> r)，且充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)。求單位長度導(dǎo)線的電容。解：設(shè)每條導(dǎo)線單位長度所帶電量為，符號相反，在兩導(dǎo)線所在平面上的導(dǎo)線間區(qū)域，它們產(chǎn)生的電場方向相同，且對兩導(dǎo)線間的電勢差的貢獻(xiàn)相等。所以兩導(dǎo)線間的電壓為：由電容的定義便可得單位長度導(dǎo)線的電容為：4.39 如圖4.29所示，平行板電容器的兩極板間充滿三種相對介電常數(shù)分別為的電介質(zhì)，極板間距為d，三種電介質(zhì)與極板接觸的面積分別為。設(shè)極板間電壓為U，忽略邊緣效應(yīng)，求：圖4.29 題4.39圖(1) 三種電介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)；(2) 極板上的帶電量；(3) 電容器的電容。解：（1）（2）， 同樣： （3）可看成三電容器并聯(lián)同樣 ，而 4.40 一平行板電容器的極板面