工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論第三次課ppt課件

1、矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋渦源矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力的力 線是閉合的。它有以下兩個(gè)特點(diǎn)：線是閉合的。它有以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）、對(duì)于任何閉合曲面的通量積分為零；）、對(duì)于任何閉合曲面的通量積分為零；（2）、在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分）、在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。不為零。 引入環(huán)量與旋度的目的就在于：研究矢量場(chǎng)引入環(huán)量與旋度的目的就在于：研究矢量場(chǎng)的線積分不為零這一問(wèn)題。的線積分不為零這一問(wèn)題。 五、矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度五、矢量場(chǎng)

2、的環(huán)量與旋度 （一矢量場(chǎng)的環(huán)量（一矢量場(chǎng)的環(huán)量 例：磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲例：磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)與電流的關(guān)系。上式建立了磁場(chǎng)與電流的關(guān)系。 sLdz ,y,xIdz ,y,xsJLB00引入環(huán)量概念。矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線引入環(huán)量概念。矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線L的環(huán)量定義的環(huán)量定義為該矢量對(duì)閉合曲線為該矢量對(duì)閉合曲線L的線積分，記為：的線積分，記為：（1)如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱 該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。（2

3、)如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)量不為零，如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)量不為零， 稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量 場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。00,LdzyxAL旋度概念的提出：矢量場(chǎng)的環(huán)量給出旋度概念的提出：矢量場(chǎng)的環(huán)量給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，當(dāng)閉合曲線的關(guān)系，當(dāng)閉合曲線L所圍的面積所圍的面積趨于零時(shí)，矢量場(chǎng)對(duì)回路趨于零時(shí)，矢量場(chǎng)對(duì)回路L的環(huán)量的環(huán)量與

4、旋渦源對(duì)于與旋渦源對(duì)于L所圍的面積的通量所圍的面積的通量成正比，即：成正比，即： （二矢量場(chǎng)的旋度（二矢量場(chǎng)的旋度(Rotation) sJ 00limlimslsdlAJsFn矢量場(chǎng)旋度定義為：矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)旋度定義為：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為包含為一矢量，其數(shù)值為包含M點(diǎn)在內(nèi)的小面元點(diǎn)在內(nèi)的小面元邊界的環(huán)量與小面元比值極限的最大值，邊界的環(huán)量與小面元比值極限的最大值，其方向?yàn)闃O限取得最大值時(shí)小面積元的法其方向?yàn)闃O限取得最大值時(shí)小面積元的法線方向，即：線方向，即： Max0limrotsdnlsAAl根據(jù)線積分的計(jì)算公式，不難得到旋度在直角坐標(biāo)根據(jù)線積分的計(jì)算公式，不

5、難得到旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為系中的表達(dá)式為: zyxzyxxyzzxyyzxAAAzyxeeeyAxAexAzAezAyAeArotF 利用旋度的定義式，可得到一般曲線和曲面積分之間的變換關(guān)系式，即Stokes定理 環(huán)量積分旋度的面積分slsdAdAssl（三）、環(huán)量與旋度之間的聯(lián)系（三）、環(huán)量與旋度之間的聯(lián)系Stokes定理定理 方向相反方向相反大小相等大小相等結(jié)果抵消結(jié)果抵消旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式 圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式： 圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式： 球坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算公式球坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算公式y(tǒng)AxAexAzA

6、ezAyAeAxyzzxyyzxrotAAeAzAezAAeAzzzr)(11rotrrrArArrarArAraAAraA)()(sin1)(sinsinGFFGGFGFGFFFFCCCCfffff為常矢量01.5 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度 （一）、無(wú)源場(chǎng) 對(duì)于矢量場(chǎng)A，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有散度為零，即： 則稱A為無(wú)源場(chǎng)。 性質(zhì)一：在無(wú)源場(chǎng)中穿過(guò)場(chǎng)域V中任何一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等。 性質(zhì)二：無(wú)源場(chǎng)存在矢勢(shì)。六、無(wú)源場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)六、無(wú)源場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)0A（二）、無(wú)旋場(chǎng) 對(duì)于矢量場(chǎng)A，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有旋度為零，即： 則稱A為無(wú)旋場(chǎng)。 性質(zhì)一：在無(wú)旋場(chǎng)中，A沿場(chǎng)域V的任何閉合路徑L

7、的環(huán)量為零。即： 性質(zhì)二：無(wú)旋場(chǎng)可以表示為某標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)。 0A0LdlA gradA（三）、調(diào)和場(chǎng)散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)，稱為調(diào)和場(chǎng)。 根據(jù)其無(wú)旋性可得：根據(jù)其無(wú)源性可得：A0A引入Laplacian算子222222zyx 拉普拉斯方程和泊松方程0222222zyx若矢量場(chǎng)僅為無(wú)旋場(chǎng)，例如連續(xù)分布的體電荷內(nèi)部，任意點(diǎn)的散度不為零，須引入泊松方程222222zyx對(duì)于矢量場(chǎng)必需考慮如下問(wèn)題：對(duì)于矢量場(chǎng)必需考慮如下問(wèn)題：（1場(chǎng)的特性：矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，場(chǎng)的特性：矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？是否存在別的特性？（2源的特性：是否存在不同于通量源和旋源的特性：是否存在不同

8、于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？（3場(chǎng)的唯一性：如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)的唯一性：如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)？場(chǎng)？六、六、Helmholtz定理定理1 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的Helmholtz定理定理 空間區(qū)域空間區(qū)域V上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一旋度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一確定，并且可以表示為一無(wú)旋矢量場(chǎng)和一確定，并且可以表示為一無(wú)旋矢量場(chǎng)和一無(wú)源矢量場(chǎng)的疊加，即：無(wú)源矢量場(chǎng)的疊加，即： 其中其中 為無(wú)旋場(chǎng)，為無(wú)旋場(chǎng)， 為無(wú)源場(chǎng)。為無(wú)源場(chǎng)。 FAAAAA2121,1A2AHelmholtz定理

9、明確回答了上述三個(gè)問(wèn)題。即定理明確回答了上述三個(gè)問(wèn)題。即任一矢量場(chǎng)由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無(wú)任一矢量場(chǎng)由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無(wú)源場(chǎng)，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：源場(chǎng)，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無(wú)旋場(chǎng)，由通量源激發(fā)，滿足：另一部分是無(wú)旋場(chǎng)，由通量源激發(fā)，滿足：02 A01 A證明：一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度必?zé)o旋，一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度必?zé)o散。0 xyyxezxxzeyzzyexyx0yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyzA正交坐標(biāo)系下的梯度公式：正交坐標(biāo)系下的梯度公式：332211321qhueqhueqhueuqqq1h2h3hr r正交坐標(biāo)系下的散度計(jì)算公式：正交坐標(biāo)系下的散度計(jì)算公式：2133312232113211hhFqhh