小波分析考試題及答案

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考一、敘述小波分析理論發(fā)展的歷史和研究現(xiàn)狀答：傅立葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域和特征和頻域特征聯(lián)系起來， 能分別從信號的時域和頻域觀察， 但不能把二者有機的結(jié)合起來。 這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息，而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性， 從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率， 不能夠知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾時域和頻域的局部化矛盾。在實際的信號處理過程中， 尤其是對非常平穩(wěn)信號的處理中， 信號在任一時刻附近的頻域特征很重要。 如柴油機

2、缸蓋表明的振動信號就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號， 單從時域或頻域上來分析是不夠的。 這就促使人們?nèi)ふ乙环N新方法，能將時域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征， 構(gòu)成信號的時頻譜，這就是所謂的時頻分析，亦稱為時頻局部化方法。為了分析和處理非平穩(wěn)信號， 人們對傅立葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并開發(fā)了一系列新的信號分析理論：短時傅立葉變換、 時頻分析、 Gabor變換、小波變換Randon-Wigner 變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線形調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅調(diào)頻信號分析等。其中，短時傅立葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的。短時傅立葉

3、變換分析的基本思想是： 假定非平穩(wěn)信號在不同的有限時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號， 從而計算出各個不同時刻的功率譜。 但從本質(zhì)上講， 短時傅立葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法， 因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)， 因而短時傅立葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號的時間尺度 （時間頻率） 分析方法， 具有多分辨率分析（ Multi-resolution ）的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，使一種窗口大小固定不變， 但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。 小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率。在高頻部分具有較高的時間

4、分辨率和較低的頻率分辨率， 很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡。小波分析最早應(yīng)用在地震數(shù)據(jù)壓縮中 , 以后在圖像處理、 故障診斷等方面取得了傳統(tǒng)方法根本無法達(dá)到的效果 . 現(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到了自然科學(xué)、 應(yīng)用學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考科學(xué)等方面 , 小波分析已成為國際研究熱點. 無論是傅里葉分析還是小波分析均以線性變換為基礎(chǔ) , 按非線性傅立葉分析提出了非線性小波變換, 這種非線性小波變換處理非線性問題更為有效.二、分析小波的基本定義答：小波 (Wavelet)這一術(shù)語，顧名思義， “小波 ”就是小的波形。所謂 “小”是指它具有衰減性

5、；而稱之為 “波”則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與 Fourier 變換相比， 小波變換是時間 (空間 )頻率的局部化分析， 它通過伸縮平移運算對信號 (函數(shù) )逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier 變換的困難問題，成為繼 Fourier 變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡” 。小波分析方法是一種窗口大小 （即窗口面積） 固定但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法， 即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具

6、有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，是小波變換具有對信號的自適應(yīng)性。小波分析被看成調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個世紀(jì)以來的工作結(jié)晶， 已經(jīng)和必將廣泛地應(yīng)用于信號處理、圖像處理、量子場論、地震勘探、語音識別與合成、音樂、雷達(dá)、 CT 成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識別、機器視覺、機械故障診斷與監(jiān)控、 分形以及數(shù)字電視等科技領(lǐng)域。 原則上講， 傳統(tǒng)上使用傅立葉分析的地方，都可以用小波分析取代。 小波分析優(yōu)于傅立葉變換的地方是， 它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。設(shè) t L2 R （ L2 R 表示平方可積的實數(shù)空間，即能量有限的信號空間） ，其傅立葉變換為。滿足允許條件（ Admi

7、ssible Condition ）：2C Rd時，我們稱t 為一個基本小波或母小波（ Mother Wavelet）。將母函數(shù)t 經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考對于連續(xù)的情況，小波序列為1t ba, ba.b R; a 0aa其中， a 為伸縮因子， b 為平移因子。對于離散的情況，小波序列為j , k 2 j / 22 j t kj , k Z對于任意的函數(shù) f tL2 R 的連續(xù)小波變換為Wfa,bf ,a ,baR f ttb dt1 / 2a其逆變換為f t1RR12 W fa, bt bdadbCtaa小波變換的時頻窗口特性與短時傅立葉

8、的時頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個矩形 ba,ba0/ a,0/ a ，窗口中心為b,0 / a ，時窗寬和頻窗寬分別為 a 和 / a 。其中 b 僅僅影響窗口在相平面時間軸上的位置，而 a 不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對不同的頻率在時域上的取樣步長是調(diào)節(jié)性的： 在低頻時小波變換的時間分辨率較差，而頻率分辨率較高； 在高頻時小波變換的時間分辨率較高， 而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變換迅速的特點。 這便是它優(yōu)于經(jīng)典的傅立葉變換與短時傅立葉變換的地方。 從總體上來說， 小波變換比短時傅立葉變換具有更好的時頻窗口特性。三、小波分析是傅立葉分析

9、思想方法的發(fā)展與延拓，二者相輔相成，試對小波分析和傅立葉變換進(jìn)行比較答：小波分析是傅立葉分析思想的發(fā)展與延拓，它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分析密切相關(guān)，他的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的，兩者主要的不同點：學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考1、傅立葉變換實質(zhì)是把能量有限信號f(t) 分解到以 exp(jt)為正交基的空間上去；小波變換的實質(zhì)是把能量有限信號f(t)分解到 W-j 和 V-j 所構(gòu)成的空間上去的。2、傅立葉變換用到的基本函數(shù)只有sin( t),cos(t),exp(j，具有t)唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有多樣性，同一個

10、工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析運用到實際中的一個難點問題（也是小波分析研究的一個熱點問題），目前往往是通過經(jīng)驗或不斷地試驗（對結(jié)果進(jìn)行對照分析）來選擇小波函數(shù)。3、在頻域分析中，傅立葉變換具有良好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin( 1t)+0.345sin(2t)+4.23cos(，3t)但在時域中傅立葉變換沒有局部化能力，即無法從 f(t)的傅立葉變換中看出 f(t)在任一時間點附近的性態(tài)。 事實上，F(xiàn)(w)dw 是關(guān)于頻率為 w 的諧波分量的振幅 ，在傅立葉展

11、開式中 ，它是由 f(t) 的整體性態(tài)所決定的。4、在小波分析中，尺度a 的值越大相當(dāng)于傅立葉變換中w 的值越小。5、在短時傅立葉變換中 ，變換系數(shù) S(，)主要依賴于信號在 -，+片段中的情況，時間寬度是 2（因為 是由窗函數(shù) g(t) 唯一確定的，所以 2是一個定值）。在小波變換中，變換系數(shù) Wf（a,b ）主要依賴于信號在 b- a，b+a）片斷中的情況，時 -間寬度是 2a，該時間的寬度是隨尺度 a 變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。6、若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅立葉變換不容之處學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考在于：對短時傅立葉變換來說 ，帶通濾波器的

12、帶寬f與中心頻率 f 無關(guān)；相反小波變換帶通濾波器的帶寬f則正比于中心頻率f。四、闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT 算法的表達(dá)式答： Meyer 于 1986 年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成 L2 R 的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988 年 S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來， 給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。定義：空間2( )2( R) 滿足如下性質(zhì)的一個空間序列LR 中的多分辨分析是指LV j j Z ：（ 1）調(diào)一致性： VjV j 1 ，對任意 jZ（ 2）漸進(jìn)完全性：I V j， close U V jL2 (R)j ZjZ（ 3）伸縮完全性： f (t)Vjf ( 2t )V j 1（ 4）平移不變性：kZ ,(2 j/ 2 t ) Vjj (2j / 2 tk)V j（ 5） Riesz 基存在性：存在(t )V0 ，使得