平行四邊形之存在性問題

1、.中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略綜合題之平行四邊形存在性問題專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計算又好又快如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3 個點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3 個交點如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，靈活運用坐標對稱，可以使得解題簡便例題解析例 1、

2、 如圖 1-1，在平面直角坐標系中，已知拋物線 y x2 2x 3 與 x 軸交于 A、 B 兩點（ A 在 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點 C，頂點為 P，如果以點 P、 A、C、D 為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D 的坐標圖 1-1【解析】 P、A、 C 三點是確定的，過 PAC 的三個頂點分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生 3 個符合條件的點 D（如圖 1-2）由 y x2 2x 3 (x1)24，得 A(3,0)， C(0, 3)，P( 1, 4) 由于 A( 3,0)右3，上 3C(0, 3)，所以 P( 1, 4)右3，上 3D1(2, 7)uuuuuuuuuuuuuur

3、uuuuuuuuuuuuuur由于 C(0, 3) 下3，左 3 A( 3,0)，所以 P( 1, 4)下3，左 3D2( 4, 1)uuuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuuur由于 P( 1, 4)右1，下1C(0, 3) ，所以 A( 3,0)右1，下1 D 3 1)uuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuur( 2,我們看到，用坐標平移的方法，遠比用解析式構(gòu)造方程組求交點方便多了圖 1-2;.例 2、如圖 2-1，在平面直角坐標系中，已知拋物線yx2+2x 3 與 x 軸交于 A、B 兩點，點 M 在這條拋物線上，點P 在 y 軸上，如果以點P、M、 A、B

4、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 M 的坐標圖 2-1【解析】在P、 M、 A、 B 四個點中， A、 B 是確定的，以AB 為分類標準由 y x2 +2x 3 ( x1)( x 3)，得 A( 1，0) ，B(3， 0)如圖 2-2，當 AB 是平行四邊形的對角線時，PM 與 AB 互相平分，因此點M 與點 P關(guān)于 AB 的中點（ 1,0）對稱，所以點M 的橫坐標為2此時 M(2， 3)如圖 2-3，圖 2-4，當 AB 是平行四邊形的邊時，PM/AB， PM AB 4所以點 M 的橫坐標為4 或 4所以 M (4,5) 或(4, 21)我們看到，因為點P 的橫坐標是確定的，在解圖2-2 時

5、，根據(jù)對稱性先確定了點M 的橫坐標；在解圖2-3 和圖 2-4 時，根據(jù)平移先確定了點M 的橫坐標圖 2-2圖 2-3圖 2-4例 3、如圖 3-1，在平面直角坐標系中，直線y x 4 與 x 軸交于點A，與 y 軸交于點B，點 C 在直線 AB 上，在平面直角坐標系中求 一點 D ，使得以 O、A、C、D 為頂點的四邊形是菱形圖 3-1【解析】由y x 4，得 A(4, 0)，直線 AB 與坐標軸的夾角為45°在 O、 A、C、D 四個點中， O、 A 是確定的，以線段OA 為分類標準如圖 3-2，如果 OA 是菱形的對角線，那么點C 在 OA 的垂直平分線上，點C(2,2)關(guān)于O

6、A 的對稱點 D 的坐標為 (2, 2)如果 OA 是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖 3-3，以 O 為圓心， OA 為半徑的圓與直線 AB 的交點恰好為點 B(0, 4)，那么正方形 AOCD 的頂點 D 的坐標為 (4, 4);.如圖3-4，以A 為圓心， AO 為半徑的圓與直線AB 有兩個交點C (422, 2 2) 和C(4 2 2, 2 2) ，點 C 和 C向左平移 4 個單位得到點 D ( 22,2 2) 和D(2 2, 2 2)圖 3-2圖 3-3圖 3-4例 4、如圖 4-1，已知拋物線y4 x2 16 x 與 x 軸的負半軸33交于點 C，點 E 的坐標為 (0, 3)

7、，點 N 在拋物線的對稱軸上，點M 在拋物線上，是否存在這樣的點M、 N，使得以M、 N、 C、 E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M 的坐標；若不存在，請說明理由圖 4-1【解析】 C( 4,0)、E(0, 3)兩點是確定的，點N 的橫坐標 2 也是確定的以 CE 為分類標準，分兩種情況討論平行四邊形：如圖 4-2，當 CE 為平行四邊形的邊時，由于C、 E 兩點間的水平距離為4，所以 M 、N 兩點間的水平距離也為4，因此點 M 的橫坐標為6或2將 x 6 和 x 2 分別代入拋物線的解析式，得M( 6,16) 或 (2, 16) 如圖 4-3，當 CE 為平行四邊形的對角線時

8、，M 為拋物線的頂點，所以M( 2, 16)3圖 4-2圖 4-3例 5、如圖 1，在平面直角坐標系中，拋物線y ax2 2ax3a（ a0）與 x 軸交于 A、B 兩點（點A 在點 B 的左側(cè)），點 D 是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，直線AD 與 y 軸負半軸交于點 C，且 CD 4AC設(shè) P 是拋物線的對稱軸上的一點，點Q 在拋物線上，以點A、 D、P、 Q 為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P 的坐標；若不能，請說明理由;.圖 5-1【解析】由y ax2 2ax 3a a(x 1)(x 3) ，得 A( 1, 0)由 CD 4AC ，得 xD 4所以 D (4, 5a)已知 A( 1

9、, 0) 、 D(4, 5 a)， xP 1，以 AD 為分類標準，分兩種情況討論：如圖 5-2，如果 AD 為矩形的邊，我們根據(jù)AD /QP，AD QP 來兩次平移坐標由于 A、 D 兩點間的水平距離為5，所以點Q 的橫坐標為4所以 Q( 4,21a) 由于 A、 D 兩點間的豎直距離為5a，所以點P 的縱坐標為26a所以 P(1, 26a)根據(jù)矩形的對角線相等，得AP2 QD2所以 22 (26a)2 82 (16a)2整理，得 7a2 1所以 a7此時 P(1， 26 7)77如圖 5-3，如果 AD 為矩形的對角線，我們根據(jù)AP/QD ， AP QD 來兩次平移坐標由于 A、 P 兩點

10、間的水平距離為2，所以點 Q 的橫坐標為 2所以 Q(2,3a)由于 Q、 D 兩點間的豎直距離為8a，所以點 P 的縱坐標為 8a所以 P(1, 8a)再根據(jù) AD 2PQ2，得 52 (5a)2 12 (11a)2整理，得 4a2 1所以 a1 此時 P (1， 4)2我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標間的關(guān)系上面我們根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義“有一個角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程如圖 5-2，如果 ADP 90°，那么 MAND ；如圖 5-3，如果 Q

11、AP 90°，那么GQKAGAKPMDNP圖 5-2圖 5-3;.例 6、如圖 6-1 ，將拋物線 c1： y23 沿 x 軸翻折，得到拋物線c23x現(xiàn)將拋物線 c1向左 平移 m 個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與 x 軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線 c2向右也平移 m 個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為 N，與 x 軸的交點從左到右依次為D、 E在平移過程中，是否存在以點A、 N、E、 M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m 的值；若不存在，請說明理由圖 6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲?，將A、 B、D、 E、 M、 N 六個點及它們的坐標在圖中都標注出來（如圖6-2），如果您看到了MAB 和NED 是邊長為 2 的等邊三角形，那么平移就簡單了如圖 6-3，在兩個等邊三角形平移的過程中，AM 與 EN 保持平行且相等，所以四邊形ANEM 保持平行四邊形的形狀，點O 為對稱中心【解法一】如果 ANE 90°，根據(jù) 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得 AE2EN4而 AEAO OE 2AO，所以 AO 2已知 AB 2，此時 B、O 重合