§1.1.1從梯子的傾斜程度談起(一)

1、 1.1.1 從梯子的傾斜程度談起（一） 教學目標 （一）知識與技能 1. 經歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正切的意義和與 現(xiàn)實生活的聯(lián)系. 2. 能夠用 tanA 表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的 傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算 . 1. 經歷觀察、猜想等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條 理地，清晰地闡述自己的觀點. 2. 體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學習利用數(shù)形結合的思想分析問題 和解決問題.提高解決實際問題的能力. 3. 體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神 . （三）情感與價值觀 1. 積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產生好奇心和求知欲 . 2.

2、 形成實事求是的態(tài)度以及獨立思考的習慣. 教學重點 1. 從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關系. 2. 理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，密切數(shù)學與生活的聯(lián) 系. 教學難點 理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比. 教學方法 引導一探索法. 教具準備 FLASH 寅示 教學過程 1. 創(chuàng)設問題情境，弓 I 入新課 用 FLASH 課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右 分層次出現(xiàn)： 問題 1在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其 他的邊和角嗎？ 問題 2隨著改革開放的深入，上海的城市建設正日新月異地 發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70 年代位于南京西路的國際飯店還一直是 上海最高的

3、大廈，但經過多少年的城市發(fā)展， “上海最高大廈”的桂 冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎 ？ 你能應用數(shù)學知識和適當?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實際高度嗎 ？ 通過本章的學習，相信大家一定能夠解決. 這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.（板書課題 1.1.1 從 梯子的傾斜程度談起）. 2. 講授新課 用多媒體演示如下內容: 師梯子是我們日常生活中常見的物體.我們經常聽人們說這個 梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？ “陡” 或“平緩”是用來描述梯子什么的？請同學們看下圖，并回答問題(用 多媒體演示) (1) 在圖中，梯子 AB 和 EF 哪個更陡？你是

4、怎樣判斷的？你有幾種 判斷方法？ 生梯子 AB 比梯子 EF 更陡. 師你是如何判斷的？ 生從圖中很容易發(fā)現(xiàn)/ ABCN EFD 所以梯子 AB 比梯子 EF 陡. 生我覺得是因為 AC= ED,所以只要比較 BC FD 的長度即可知 哪個梯子陡.BCvFD 所以梯子 AB 比梯子 EF 陡. 師我們再來看一個問題（用多媒體演示） 在下圖中，梯子 AB 和 EF 哪個更陡？你是怎樣判斷的？ 師我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度， 即哪一個更陡，就 比較困難了 .能不能從第（1）問中得到什么啟示呢？ 生在第（1）問的圖形中梯子的垂直高度即 AC 和 ED 是相等的， 而水平寬度 BC 和 FD

5、不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬 度的比值越大，梯子應該越陡. 師這位同學的想法很好，的確如此，在第（2）問的圖中，哪個 梯子更陡，應該從梯子 AB 和 EF 的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學 們算一下梯子 AB 和 EF 哪一個更陡呢? 生AC“， BC 1.5 3 ED _ 3.5 _ 35 FD 一 1.3 一 13 .8 35 - , 3 13 二梯子 EF 比梯子 AB 更陡. 多媒體演示： 想一想 如圖，小明想通過測量 BG:及 AG,算出它們的比，來說明梯 子的傾斜程度；而小亮則認為，通過測量 B2G 及 AG,算出它們的比, 也能說明梯子的傾斜程度你同

6、意小亮的看法嗎？ (1)直角三角形 ABG 和直角三角形 ABG 有什么關系？ (2) 旦和和有什么關系？ AGi AG2 (3) 如果改變 B2 在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結論？ 師我們已經知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述 梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程 度.下面請同學們思考上面的三個問題，再來討論小明和小亮的做法. 生在上圖中，我們可以知道 Rt ABG,和 Rt ABG 是相似的. 因為/ BGA=/BGA= 90,/ BAG=/BAG,根據(jù)相似的條件，得 Rt ABGs Rt ABG. 生由圖還可知：BG 丄 AG, BG 丄 AG,得

7、BG/B Q, Rt ABG s Rt ABG. 生相似三角形的對應邊成比例，得 B1G B2C2 ACi AC2 ，BQ B2C AG AC2 如果改變 R 在梯子上的位置，總可以得到 Rt EGAs Rt Rt BCiA,仍能得到BC! = BC2因此，無論 R 在梯子的什么位置（除 A 外）， AC, AC2 BI Ci B2C2總成立 AC, AC2 心 師也就是說無論 R 在梯子的什么位置（A 除外），/ A 的對邊與 鄰邊的比值是不會改變的. 現(xiàn)在如果改變/ A 的大小，/ A 的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？ 生/A 的大小改變，/ A 的對邊與鄰邊的比值會改變. 師你又能得出什么結

8、論呢？ 生/A 的對邊與鄰邊的比只與/ A 的大小有關系，而與它所在 直角三角形的大小無關.也就是說，當直角三角形中的一個銳角確定 以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定. 師這位同學回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮 的做法，你作何評價？ 生小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度， 因為圖中直 角三角形中的銳角 A 是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一 確定的，與 B、IB2 在梯子上的位置無 關，即與直角三角形的大小無關. 生但我覺得小亮的做法更實際，因為要測量 BC1的長度，需攀 到梯子的最高端，危險并且復雜，而小亮只需站在地面就可以完成 . 師這位同學能將數(shù)學和實際生活緊

9、密地聯(lián)系在一起，值得提倡. 我們學習數(shù)學就是為了更好地應用數(shù)學. 由于直角三角形中的銳角 A 確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨 之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示) 如圖，在 Rt ABC 中，如果銳角 A 確定，那么/ A 的對邊與鄰邊 之比便隨之確定， 這個比叫做/ A 的正切(tangent)，記作 tanA,即 tanA二 1. tanA 是一個完整的符號，它表示/ A 的正切，記號里習慣省去 角的符號“/” . 2. tanA 沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中/ A 的對邊 與鄰邊的比. 3. tanA 不表示“ tan ”乘以“ A” . 4. 初中階段，我們只學習直

10、角三角形中，/ A 是銳角的正切. 思考：1. / B 的正切如何表示？它的數(shù)學意義是什么？ 2. 前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖 1 3,梯子的傾斜 程度與 tanA 有關系嗎？ 生1. / B 的正切記作 tanB,表示/ B 的對邊與鄰邊的比值，即 tanB二 /B 的對邊 /B 的鄰邊 .A 的對邊 .A 的鄰邊 2.我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜 程度，因此，在圖 1 3 中，梯子越陡，tanA 的值越大；反過來，tanA 的值越大，梯子 越陡. 師正切在日常生活中的應用很廣泛，例如建筑，工程技術等 正切經常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在

11、 水平方向上每前進 100 _ 切 - tan a就是 =60 a = a 100 這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即 坡角的正切稱為坡度.坡度越大，坡面就越陡 3. 例題講解 多媒體演示 例 1如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡 分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出 tan a、 tan B的值，比較大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中， . _ Na 的對邊 5 5 tan a m 就升高 60 m,那么山 坡的坡度（即坡角a的正 tan 一1的鄰邊 132 -52 12 乙梯中， tan B /卩的對邊- P 的鄰邊一 8 一 4. 因為

12、tan p tan a，所以乙梯更陡. 例 2在厶 ABC 中，/ C=90 , BC=12cm AB=20crp 求 tanA 和 tanB的值. 分析：要求 tanA，tanB 的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊 AC 的 長度. 解：在 ABC 中，/ C= 90, 所以 AC=. AB2 -BC2 ：202 -122 =16(cm), tan A A的對邊.匹=3 NA 的鄰邊 AC 16 4 tanB= B的對邊二竺 ZB 的鄰邊 BC 12 3 所以tanA=3, 3吧. 4.隨堂練習 1）如圖， ABC 是等腰直角三角形, 你能根據(jù)圖中所給 數(shù)據(jù)求出 tanC 嗎？ 分析：要求 ta

13、nC需從圖中找到/ C 所在的直角三角形，因為 BD 丄 AC 所以/ C 在 Rt BDC 中.然后求出/ C 的對邊與鄰邊的比，即|C 解：ABC 是等腰直角三角形，BDL AC CD= 1AC= 1 X 3= 1.5. 2 2 在 Rt BDC 中, tanC = BD DC 2).如圖，某人從山 到達山頂?shù)狞c B,已知點 B 到山腳的垂直距離為 55 m,求山的坡度.（結果精確到 0.001） 分析：由圖可知，/ A 是坡角，/ A 的正切即 tanA 為山的坡度. 解：根據(jù)題意： 在 Rt ABC 中, AB=200 m BC= 55 m, AC= 2002 -552 =5 1479 5 38.46 =192.30(m). TanA=BC 生 0.286. AC 192.30 所以山的坡度為 0.286. 5. 課時小結 本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起