微積分復(fù)習(xí)附解題技巧

1、.微積分復(fù)習(xí)及解題技巧第一章函數(shù)一、據(jù)定義用代入法求函數(shù)值：典型例題：綜合練習(xí)第二大題之2二、求函數(shù)的定義域： （答案只要求寫成不等式的形式，可不用區(qū)間表示）對于用數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)， 它的定義域就是使這個式子有意義的自變量 x 的取值范圍（集合）主要根據(jù)：分式函數(shù)：分母 0偶次根式函數(shù)：被開方式0對數(shù)函數(shù)式：真數(shù)式0反正（余）弦函數(shù)式：自變量1在上述的函數(shù)解析式中， 上述情況有幾種就列出幾個不等式組成不等式組解之。典型例題：綜合練習(xí)第二大題之 1補(bǔ)充：求 y= 2x 的定義域。（答案： 2 x1）12x2三、判斷函數(shù)的奇偶性：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之3、4.第二章極限與連續(xù)求極限主要根

2、據(jù)：1、常見的極限：1sin xxlim 11lim0(0)lim1exxxxxx 02、利用連續(xù)函數(shù)：lim f (x)f (x0 )xx0初等函數(shù)在其定義域上都連續(xù)。例：1limx1 x13、求極限limf ( x)1xg ( x)的思路：00lim f ( x)C1 (C1 0常數(shù) )lim g( x)C2 (C2 0常數(shù) )xx可考慮以下 9 種可能： 0 型不定式（用羅彼塔法則） 0=0 0=00C 2C1= C1C1 =00C 2 = 型不定0C 2式（用羅彼塔法則）.特別注意：對于f（x）、g（x）都是多項(xiàng)式的分式求極限時，解法見教材 P70 下總結(jié)的“規(guī)律”。以上解法都必須貫穿

3、極限四則運(yùn)算的法則！典型例題：綜合練習(xí)第二大題之3、4；第三大題之 1、3、 5、 7、 8補(bǔ)充 1：若 limsin2 ( x1)1，則 a=2，b=1 .2axbx1xx 1? 2 xx2x 1補(bǔ)充 2： limx1lim111e2xx1xx2補(bǔ)充 3：lim1111lim11111113 3557.(2n1)(2n1)1335.2n 1nn22n 11lim112112n2n補(bǔ)充 4：ln xlimx1x 10 型1x0lim11x1（此題用了“羅彼塔法則” ）.第三章導(dǎo)數(shù)和微分一、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義驗(yàn)證函數(shù)可導(dǎo)性的問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之12二、求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：求導(dǎo)主要方法

4、復(fù)習(xí)：1、求導(dǎo)的基本公式：教材P1232、求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則：教材P1101113、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（ 最重要的求導(dǎo)依據(jù) ）4、隱函數(shù)求導(dǎo)法（包括對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法）6、求高階導(dǎo)數(shù)（最高為二階）7、求微分： dy=y/ dx 即可典型例題：綜合練習(xí)第四大題之1、2、7、9補(bǔ)充：設(shè) y=x21(arctgx) 2 ，求 dy.112x1x2arctgx解： y1 x 22arctgx21 x 21 x 221 xdy= y dx(xx22arctgx2 ) dx11 x.第四章中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、關(guān)于羅爾定理及一些概念關(guān)系的識別問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之16、19二、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

5、求曲線的切、法線方程：典型例題：綜合練習(xí)第二大題之5二、函數(shù)的單調(diào)性（增減性）及極值問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之18，第二大題之 6，第六大題之 2.第五章不定積分第六章定積分理論內(nèi)容復(fù)習(xí)：1、原函數(shù)： F ( x)f ( x)則稱 F（x）為 f（x）的 一個原函數(shù)。2、不定積分：概念： f（x）的所有的原函數(shù)稱f （x）的不定積分。f ( x) dxF (x)C注意以下幾個基本事實(shí)：f (x)dxf ( x)f (x)dxf ( x)Cdf ( x)dxf ( x)dxdf ( x)f (x)C性質(zhì)：af (x)dxaf ( x)dx(注意 a0)f (x)g( x) dxf (x)

6、dxg( x)dx基本的積分公式：教材P2063、定積分：定義幾何意義性質(zhì)：教材P234235 性質(zhì) 13求定積分方法：牛頓萊布尼茲公式習(xí)題復(fù)習(xí)：一、關(guān)于積分的概念題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之22、24、25、第二大題之 11、14.二、求不定積分或定積分：可供選用的方法有直接積分法：直接使用積分基本公式換元積分法：包括第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法分部積分法典型例題：綜合練習(xí)第五大題之 2、3、5、6關(guān)于“換元積分法”的補(bǔ)充題一：dx11d (2x 1)1 ln 2x 1 C2x 122 x 12關(guān)于“換元積分法”的補(bǔ)充題二：xdxx3解：設(shè) x3=t2，即x3 =t，則 dx=

7、2tdt.xdx= (t 23) 2t dt = 21 t 2 16t Cx3t21= 2 t 36t C = 2 ( x 3) 36 x 3 C33關(guān)于“換元積分法”的補(bǔ)充題三：8 dx0 1 3 x解：設(shè) x=t 3，即 3 xt ，則 dx=3t 2dt.當(dāng) x=0 時， t=0；當(dāng) x=8 時， t=2.所以.8 dx2 3t2dt233 1(t 1)223(t 1)dtln 1 t0 1 3 x = 0 1 t01 t20=3ln3（此題為定積分的第二類換元積分法，注意“換元必?fù)Q限”，即變量x 換成變量 t 后，其上、下限也從0、8 變?yōu)?0、2）關(guān)于“分部積分法”的補(bǔ)充題一：xex

8、 dxxdexxexex dx( x1)exC關(guān)于“分部積分法”的補(bǔ)充題二：arctgxdxxarctgxx12 dxarctgx1 ln 1 x 2C1x2關(guān)于“分部積分法”的補(bǔ)充題三：ex ln xdx11 e21 2ee 2d ln x12ee1212 e=ln xdxxln xxxln xxdxex2 12112112211 e21 x 2e1 (e21 e21 )1 (e21)1= 222224（此題為定積分的分部積分法）三、定積分的應(yīng)用（求曲線圍成的平面圖形面積）：典型例題：綜合練習(xí)第六大題之4注意：此題若加多一條直線 y=3x ，即求三線所圍平面圖形的面積，則解法為（草圖略）.1x)dx3(3x13x2 )dxS= (3x1x2 ) dx = 2xdx(3x0011x2 13x21x33=13131= 202319327322213= 3 （平方單位）.使用指南本 復(fù)習(xí)參考資料 應(yīng)當(dāng)與人手一冊的綜合練習(xí)題 配套使用并服從于 綜合練習(xí)題 。另外，請注意如下幾點(diǎn)：本復(fù)習(xí)參考資料中的藍(lán)色字體的“補(bǔ)充”題是以往年級的部分應(yīng)試復(fù)習(xí)題，對今年9 月份考試的同志來說，僅僅作為參考補(bǔ)充。綜合練習(xí)題是我們復(fù)習(xí)重點(diǎn)中的重點(diǎn)，請對照答案將 所有 題目 完整地做一遍（使題目與答案相結(jié)合而不要相分離，以便需要時加快查找的速度和準(zhǔn)確度） 。請將上述做好的