彈塑性力學(xué)-第七章 彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)系解答ppt課件

1、在平面問題中，有些物體的截面幾何形狀在平面問題中，有些物體的截面幾何形狀邊境為圓形、扇形，對(duì)于這類形狀的物邊境為圓形、扇形，對(duì)于這類形狀的物體采用極坐標(biāo)體采用極坐標(biāo) (r,(r,) ) 來解，因?yàn)榇藭r(shí)邊界來解，因?yàn)榇藭r(shí)邊界條件用極坐標(biāo)易描述、簡(jiǎn)便。本章將討論采條件用極坐標(biāo)易描述、簡(jiǎn)便。本章將討論采用極坐標(biāo)求解平面問題一些基本方程和解法用極坐標(biāo)求解平面問題一些基本方程和解法以及算例。以及算例。 采用極坐標(biāo)系則平面內(nèi)任一采用極坐標(biāo)系則平面內(nèi)任一點(diǎn)的物理量為點(diǎn)的物理量為r,r, 函數(shù)。函數(shù)。 x yoPr 膂力：膂力：fr=Kr , f=K面力：面力： 應(yīng)力：應(yīng)力：r, r, , ,r r= = r

2、 rFKFKrr,應(yīng)變：應(yīng)變：r, r, , ,r r= = r r 位移：位移：u r , u r , u u 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間關(guān)系直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間關(guān)系: : x=rcos, y=rsin rrxxrrxsincosrryyrrycossin 1.1 平衡微分方程0)(11rrrrfrrr021frrrrr 1.2 幾何方程幾何方程 rurrurrur1ruruurrr101)(1)(112222222rrrrrrrrrrrr1.3 1.3 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 1.4 1.4 物理方程物理方程 平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)力問題： )(1rrE)(1rErrE)1 (2平面應(yīng)變問題將上

3、式中平面應(yīng)變問題將上式中 ， ，即得。，即得。 21EE11.5 1.5 邊界條件邊界條件 1. 1. 位移邊界條件：位移邊界條件： ， （在（在 su su 上上 ） rruu uu2. 2. 力的邊界條件：力的邊界條件： rrrrFKsnrn),cos(),cos(FKsnrnrr),cos(),cos(（在（在 s s 上上 ）1.5 1.5 邊界條件邊界條件 rrrrFKsnrn),cos(),cos(FKsnrnrr),cos(),cos(環(huán)向邊界環(huán)向邊界 KKrnrrr,:/（r=r0r=r0） 徑向邊界徑向邊界 KKrnsnrr,: )(/（= =0 0）（在（在 s s 上上

4、）1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 基本未知函數(shù)為位移基本未知函數(shù)為位移u r , uu r , u ，應(yīng)變、，應(yīng)變、應(yīng)力應(yīng)力均由位移導(dǎo)出。平面應(yīng)力問題時(shí)的應(yīng)力由位移均由位移導(dǎo)出。平面應(yīng)力問題時(shí)的應(yīng)力由位移表示：表示： )1(1)(122ruurruEErrrr1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 )1(1)(122ruruurEErrr)1()1 (2)1 (2ruruurEErrr 上式代入平衡微分方程可得到用位移表上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程示的平衡微分方程, ,即位移法的基本方程。即位移法的基本方程。0)(1rrrrKrrr021Krrrrr力的邊界條

5、件也同樣可以用位移表示。力的邊界條件也同樣可以用位移表示。 1.7 1.7 按應(yīng)力法求解按應(yīng)力法求解 在直角坐標(biāo)系中按應(yīng)力求解的基本方程為(平面應(yīng)力問題） )(1 ()(002yfxffyxfyxyxyxyyxyxxyx其中其中 22222yx 在極坐標(biāo)按應(yīng)力求解的基本方程為在極坐標(biāo)按應(yīng)力求解的基本方程為（平面應(yīng)力問題）（平面應(yīng)力問題）)1)(1 ()(021012rffrrffrrrfrrrrrrrrrrrr其中其中 22222211rrrr力的邊界條件如前所列。力的邊界條件如前所列。 1.8 1.8 應(yīng)力函數(shù)解法應(yīng)力函數(shù)解法 當(dāng)體力為零當(dāng)體力為零 fr=ffr=f=0=0時(shí)時(shí), , 應(yīng)力法

6、基本方程中應(yīng)力法基本方程中的應(yīng)力分量可以轉(zhuǎn)為一個(gè)待求的未知函數(shù)的應(yīng)力分量可以轉(zhuǎn)為一個(gè)待求的未知函數(shù) ( r, ( r, ) ) 表示表示, ,而應(yīng)力函數(shù)而應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, ) ) 所所滿足方程為滿足方程為 4 ( r, ) = 0 或 0)11(222222rrrr 而極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量r ,r 由 ( r, ) 的微分求得, 即： rrrr1122222rrrrrrrr2211)1(2.1 軸對(duì)稱問題的特點(diǎn)軸對(duì)稱問題的特點(diǎn) 1.1.截面的幾何形狀為圓環(huán)、圓盤。截面的幾何形狀為圓環(huán)、圓盤。 2.2.受力和約束對(duì)稱于中心軸受力和約束對(duì)稱于中心軸, ,因此，可知體因此，可知體 積力分

7、量積力分量 f f=0 =0 ； 在邊界上在邊界上 r=r0 r=r0 ： ， （沿環(huán)向的受力和約束為零）（沿環(huán)向的受力和約束為零） 。 0F0u3.3.導(dǎo)致物體應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布也是軸導(dǎo)致物體應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布也是軸 對(duì)稱的：對(duì)稱的： 在在V V內(nèi)內(nèi) u u=0=0，r r=0=0，r r=0,=0, ur=ur(r) ur=ur(r)， r=r=r(r), r(r), = = (r), (r), r=r=r (r), r (r), = = (r) (r) 。 各待求函數(shù)為各待求函數(shù)為r r的函數(shù)單變量的）的函數(shù)單變量的）2.2 2.2 軸對(duì)稱平面問題的基本公式軸對(duì)稱平面問題的基本公式1

8、. 1. 平面微分方程平面微分方程僅一個(gè)）：僅一個(gè)）： 0rrrfrrd2. 2. 幾何方程二個(gè)）：幾何方程二個(gè)）： drdurrrur 3.變形協(xié)調(diào)方程一個(gè)）：變形協(xié)調(diào)方程一個(gè)）：01)(1)(112222222rrrrrrrrrrrr01)(122drdrrdrdrrrrdrd)(變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 3.變形協(xié)調(diào)方程一個(gè)）：變形協(xié)調(diào)方程一個(gè)）：rrdrd)(變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 由幾何方程：由幾何方程： rurrrdrdurdrd)(或或 rdrdr 4.物理方程物理方程(兩個(gè)兩個(gè))平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 )(1rrE)(1rE或或 )(12rrE)(12rE 平面應(yīng)變問題時(shí)彈

9、性系數(shù)替換。平面應(yīng)變問題時(shí)彈性系數(shù)替換。 5. 按位移法求解按位移法求解將將 r r、 用用ur ur 表示，并代入平衡微表示，并代入平衡微分方程，分方程， 對(duì)于平面應(yīng)力問題對(duì)于平面應(yīng)力問題 )(12rudrduErrr)(12drduruErr 5. 按位移法求解按位移法求解)(12rudrduErrr)(12drduruErr位移法的基本方程為：位移法的基本方程為： 0)1 (12222rrrrfErudrdurdrud0)1 ()(12rrfErudrdrdrd相應(yīng)邊界條件：軸對(duì)稱問題邊界相應(yīng)邊界條件：軸對(duì)稱問題邊界 r=r0r=r0常數(shù)）常數(shù)） 位移邊界條件：位移邊界條件： （在（在

10、su su 上）上） rruu 力的邊界條件：力的邊界條件： （在（在 s s 上）上） rrF 平面應(yīng)力問題的力邊界條件用位移表示：平面應(yīng)力問題的力邊界條件用位移表示： 6. 按應(yīng)力法解按應(yīng)力法解當(dāng)當(dāng)ur ur 由基本方程和相應(yīng)邊界條件求出后，那由基本方程和相應(yīng)邊界條件求出后，那么么相應(yīng)應(yīng)變、應(yīng)力均可求出。相應(yīng)應(yīng)變、應(yīng)力均可求出。 rrrFrudrduE)(12（在（在 s s 上）上）平面應(yīng)力問題)(1 ()(02rfdrdffrdrdrrrrrr應(yīng)力法基本方程應(yīng)力法基本方程 邊界條件為力的邊界條件：邊界條件為力的邊界條件： rrF（在 s 上）其中其中 drdrdrd1222 7.7.按

11、應(yīng)力函數(shù)求解按應(yīng)力函數(shù)求解 當(dāng)無體力時(shí)應(yīng)力法基本方程為：當(dāng)無體力時(shí)應(yīng)力法基本方程為： 0)(02rrrrdrd選取應(yīng)力函數(shù)選取應(yīng)力函數(shù) = = (r) (r)單變量的函單變量的函數(shù)數(shù)應(yīng)力分量與應(yīng)力分量與 (r) (r)的關(guān)系：的關(guān)系： drdrr122drd0r自然滿足平衡微分方程，則應(yīng)力函數(shù)自然滿足平衡微分方程，則應(yīng)力函數(shù) (r) (r)應(yīng)應(yīng)滿足的基本方程為相容方程，即滿足的基本方程為相容方程，即0)1()(222222drddrdrr或或 04四階變系數(shù)的微分方程尤拉方程）四階變系數(shù)的微分方程尤拉方程） 而而 2221dddrr dr那么那么 24211()()ddddrdrr drr d

12、rdr221()ddrrdrdr1()ddrr drdr11()0ddddrrr drdr r drdr24211()()11()0ddddrdrr drr drdrddddrrr drdr r drdr逐次積分四次可將軸對(duì)逐次積分四次可將軸對(duì)稱問題的稱問題的 (r) (r)基本形式得基本形式得到：到： ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D 其中其中A、B、C、D為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，D可去掉?？扇サ?。 將將 (r) 代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，可得平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達(dá)式：可得平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達(dá)式：02)ln23(2)ln2

13、1 (12222rrrCrBrAdrdCrBrAdrdr 對(duì)于圓環(huán)或圓筒，邊界條件僅兩個(gè)，不能對(duì)于圓環(huán)或圓筒，邊界條件僅兩個(gè)，不能確定三個(gè)系數(shù)。確定三個(gè)系數(shù)。 但圓環(huán)或圓筒為復(fù)連域，除但圓環(huán)或圓筒為復(fù)連域，除了邊界條件滿足外還要考慮位移單值條件。了邊界條件滿足外還要考慮位移單值條件。 x y下面將下面將ur ur 表達(dá)式導(dǎo)出表達(dá)式導(dǎo)出（平面應(yīng)力問題為例）（平面應(yīng)力問題為例） 將物理方程代入幾何方程：將物理方程代入幾何方程： )(1rrrEdrdu)(1rrEru將應(yīng)力分量表達(dá)代入幾何方程的第二式，得將應(yīng)力分量表達(dá)代入幾何方程的第二式，得 02)ln23(2)ln21 (12222rrrCrBr

14、AdrdCrBrAdrdrx y應(yīng)力分量表達(dá)代入幾何方程的應(yīng)力分量表達(dá)代入幾何方程的第一式并積分，得第一式并積分，得 FdrEurr)(1FCrrBrrAEur)1 (2ln)1 (21)1 (1(b) )1 (2ln)1 (23)1 (1)(CrrBrrAEErurr(a) )(1rrrEdrdu考慮位移單值性比較考慮位移單值性比較a a和和b b式：式： 4Br-F=0 B=F=0軸對(duì)稱問題的應(yīng)力和位移解為：軸對(duì)稱問題的應(yīng)力和位移解為： CrAr22CrA220r)1 (2)1 (1CrrAEur0uA、C 由兩個(gè)條件確定。由兩個(gè)條件確定。 q對(duì)于無體力圓盤或圓柱）對(duì)于無體力圓盤或圓柱）的

15、軸對(duì)稱問題，則根據(jù)圓盤的軸對(duì)稱問題，則根據(jù)圓盤（或圓柱中心應(yīng)力和位移（或圓柱中心應(yīng)力和位移有限值有限值, ,得得A=0 圖示圓盤受力情況，得應(yīng)力為圖示圓盤受力情況，得應(yīng)力為 r=2C= -q 2.3 2.3 軸對(duì)稱問題舉例軸對(duì)稱問題舉例 例題例題1 1 等厚圓盤在勻速等厚圓盤在勻速 轉(zhuǎn)動(dòng)中計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)中計(jì)算算 （按位移法解）（按位移法解）x ya Pr 知：等厚圓盤繞盤心勻速知：等厚圓盤繞盤心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)單位厚角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)單位厚角速度為 （常數(shù)）、圓盤密度為（常數(shù)）、圓盤密度為 ， 2.3 2.3 軸對(duì)稱問題舉例軸對(duì)稱問題舉例 圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受體力離心力作用：圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受體力離心力作用：fr=Kr=

16、2r，f=K=0 在在r = ar = a邊界上邊界上 （或（或 ） 0FFr0KKr符合軸對(duì)稱問題平面應(yīng)力問題）。符合軸對(duì)稱問題平面應(yīng)力問題）。 x ya Pr 位移法的基本方程：位移法的基本方程： 221(1)()0rddrurdrr drE積分兩次：積分兩次： 22321(1)8rCuC rrrE確定確定C1C1和和C2C2：當(dāng)：當(dāng)r =r =時(shí)，時(shí)，urur為有限值，為有限值，須須C2=0C2=0 x ya Pr 利用利用r = a r = a 時(shí)，時(shí)， 0)(arrrrFK，得，得 222221)3(81)121 (8)1 (aaC代回位移表達(dá)式并求應(yīng)力代回位移表達(dá)式并求應(yīng)力 )(1

17、2rudrduErrrx ya Pr )1 ()1 ()3(83332ararEaur)1 (8)3(2222arar222233118)3(arax ya Pr x yb ra如果圓環(huán)勻速（如果圓環(huán)勻速（）轉(zhuǎn)動(dòng)，）轉(zhuǎn)動(dòng)，則則ur ur 表達(dá)公式中的表達(dá)公式中的C2C20 0 ， C1 和和 C2 由力的邊界條件定：由力的邊界條件定：(rr=a=0, (rr=b=0 322218)1 (rErCrCur例題圓環(huán)或圓筒受內(nèi)外壓力作用。例題圓環(huán)或圓筒受內(nèi)外壓力作用。 知：膂力知：膂力fr=ffr=f=0=0 （或（或K K r=Kr=K=0=0），）， abqaqb力的邊界條件：力的邊界條件： 在

18、在r = a r = a 邊境內(nèi)徑）：邊境內(nèi)徑）： r= -qa，r=0 在在r = b r = b 邊境外徑）：邊境外徑）： r= -qbr= -qb，r r=0 =0 本問題仍為軸對(duì)稱問題，且本問題仍為軸對(duì)稱問題，且體力為零，體力為零， 可采用前述的應(yīng)可采用前述的應(yīng)力函數(shù)求解方程，也可按位力函數(shù)求解方程，也可按位移法求解。移法求解。 按應(yīng)力函數(shù)法求解按應(yīng)力函數(shù)法求解 按應(yīng)力函數(shù)求解前面已導(dǎo)出位移分量和按應(yīng)力函數(shù)求解前面已導(dǎo)出位移分量和應(yīng)力分量表達(dá)式：應(yīng)力分量表達(dá)式： )1 (2)1 (1CrrAEur0uabqaqb平面應(yīng)力問題的應(yīng)力：平面應(yīng)力問題的應(yīng)力： 利用力的邊界條件，得：利用力的邊

19、界條件，得： aqCaA22bqCbA 22CrAr22CrA220rabqaqb代回應(yīng)力表達(dá)式：代回應(yīng)力表達(dá)式： 得得 2222)(abqqbaAab22222abbqaqCbaabqaqb得得 babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111 abqaqb按位移法求解：按位移法求解： 由基本方程由基本方程 0)(1rrudrdrdrd得得 rCrCur21代入應(yīng)力與位移之間關(guān)系式代入應(yīng)力與位移之間關(guān)系式( (平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題) )，有，有 abqaqb討論：討論：(1當(dāng)當(dāng) qa 0，qb = 0 僅受內(nèi)壓，以及僅受內(nèi)壓，以及qb =

20、 0、 b 時(shí)。時(shí)。利用力的邊界條件導(dǎo)出同樣結(jié)果。利用力的邊界條件導(dǎo)出同樣結(jié)果。 22122)1 ()1 (1)(1rCCErudrduErrrqaarqabrb112222 0拉）aqabrb112222 rarqabrb112222 0拉）aqabrb112222 當(dāng)當(dāng)b :+- r aarqra,qra2222 當(dāng) r ，應(yīng)力 0（2 2當(dāng)當(dāng)qa = 0qa = 0，qb qb 0 0 僅受外壓；僅受外壓； qbbrqbara222211 0 (壓) bqbara222211 0壓） r例題例題3. 3. 組合圓筒。組合圓筒。 yxbca內(nèi)筒：內(nèi)徑內(nèi)筒：內(nèi)徑a a，外徑，外徑b b， 彈

21、性系數(shù)彈性系數(shù)E E、， 外筒：內(nèi)徑外筒：內(nèi)徑b b，外徑，外徑c c，彈性系數(shù)，彈性系數(shù)EE、。 內(nèi)筒應(yīng)力和位移：內(nèi)筒應(yīng)力和位移： CrAr22CrA220r平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 )21 (21CrrAEur0u yxbca外筒應(yīng)力和位移：外筒應(yīng)力和位移： 22CrAr22CrA0r12(12 )rAuC rEr0u yxbca 組合圓筒應(yīng)力和位移表達(dá)式組合圓筒應(yīng)力和位移表達(dá)式中中, ,共有四個(gè)待定系數(shù)共有四個(gè)待定系數(shù)A A、C C、AA、CC，利用四個(gè)條件定。，利用四個(gè)條件定。 如果內(nèi)筒受內(nèi)壓如果內(nèi)筒受內(nèi)壓 qa qa 外筒外徑無面力，外筒外徑無面力，則確定系數(shù)的四個(gè)條件為：則確定系數(shù)

22、的四個(gè)條件為： (rr=a= -qa , (r）r=c=0 , (rr=b= (r）r=b ，(urr=b= (ur）r=b yxbca 又如：內(nèi)筒無內(nèi)壓又如：內(nèi)筒無內(nèi)壓qa = 0qa = 0，外筒無外壓，外筒無外壓qc = qc = 0 0，但內(nèi)筒外徑大一點(diǎn)，內(nèi)筒外徑為，但內(nèi)筒外徑大一點(diǎn)，內(nèi)筒外徑為b+b+ ，外，外筒內(nèi)徑仍為筒內(nèi)徑仍為b b，過盈配合問題，過盈配合問題，邊界條件如何寫：邊界條件如何寫： (rr=a= 0 , (r）r=c=0 , ( rr=b= ( r）r=b ， )rrr br buu (或 (ur）r=b= (urr=b + yxbcaMMa r yxb 曲梁為單連域

23、，當(dāng)無體力作用，且受純彎曲作用時(shí)，從受力分析知曲梁 =c的截面上內(nèi)力為M，各截面上的應(yīng)力分布也相同與 無關(guān)的，因此屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問題。 但位移不是軸對(duì)稱的，即但位移不是軸對(duì)稱的，即u u 0 0 ，所，所以不能按軸對(duì)稱問題的位移法求解，但可按以不能按軸對(duì)稱問題的位移法求解，但可按軸對(duì)稱應(yīng)力應(yīng)力函數(shù)解法求應(yīng)力并由應(yīng)軸對(duì)稱應(yīng)力應(yīng)力函數(shù)解法求應(yīng)力并由應(yīng)力導(dǎo)出位移。力導(dǎo)出位移。MMa r yxb按軸對(duì)稱應(yīng)力函數(shù)解：按軸對(duì)稱應(yīng)力函數(shù)解： 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) = = ( r) ( r) ( r)= ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 Alnr+Br2lnr+Cr2 ( (已導(dǎo)出已導(dǎo)出) ) CrBr

24、Adrdrr2)ln21 (12CrBrAdrd2)ln23(2220ra r b, 0 , MMa r yxb 在主要邊界上在主要邊界上 r = a： (rr=a= 0，(r）r=a= 0 ,02)ln21 (2CaBaA（1） MMa r yxb 利用力的邊界條件確定利用力的邊界條件確定 A、B、C： CrBrAdrdrr2)ln21 (120r02)ln21 (2CaBaA r = b： (rr=b= 0，(r）r=b= 0 ， 02)ln21 (2CbBbA（1） （2） MMa r yxb 利用力的邊界條件確定利用力的邊界條件確定 A、B、C： 在次要邊界上不清楚垂在次要邊界上不清楚

25、垂直邊界的面力具體分布，利直邊界的面力具體分布，利用圣維南原理：用圣維南原理： 在在 = 0: = 0: 0badrMMa r yxb22ddr由于主要邊界滿足，則此式自然滿足；由于主要邊界滿足，則此式自然滿足； 22bbbaaadddrdrdrdr1rdr drbrarrrbaba0在在 = 0: = 0: Mdrrba2()( )bbrabaarM（ ）(3) MMa r yxb22bbaadrdrrdrdrbbaaddrdrdrdr22ddr1rdr dr由由1 1）、（）、（2 2）、）、(3)(3)求出求出A A、B B、C C。 ( )baM（ ）(3) 02)ln21 (2CaB

26、aA02)ln21 (2CbBbA（1） （2） ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 解出解出A、B、C 224lnMbAa bNa222()MBbaN2222()2(lnln )MCbabbaaN 222222ln4)(abababN應(yīng)力分量應(yīng)力分量222224lnlnlnrMbra bbbaNrara 22222224lnlnlnMbra bbbabaNrara0r應(yīng)力求出后，依次可求出應(yīng)變和位移。應(yīng)力求出后，依次可求出應(yīng)變和位移。在徐芝綸在徐芝綸(4-12)(4-12)中中I I、K K、H H為剛體位移，為剛體位移， I = u0、K = v0, H = ?？衫眉s束確定，如令

27、可利用約束確定，如令 r0 =(a+b)/2 r0 =(a+b)/2 ， = 0 = 0 處處0ruuur可利用約束確定，如令可利用約束確定，如令 r0 =(a+b)/2 r0 =(a+b)/2 ， = 0 = 0 處處0ruuur得得 H=K =0, H=K =0, 00000)1 (2ln)1 (2)1 ()1 (1rCrBrrBrAEI 從本節(jié)和后面兩節(jié)從本節(jié)和后面兩節(jié)討論一些工程中經(jīng)常用討論一些工程中經(jīng)常用到的一些解，仍采用應(yīng)到的一些解，仍采用應(yīng)力函數(shù)解法。本節(jié)討論力函數(shù)解法。本節(jié)討論一個(gè)無體力的矩形薄板，一個(gè)無體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個(gè)小圓孔圓孔半徑薄板內(nèi)有一個(gè)小圓孔圓孔半徑a a

28、很?。苄。“鍍蓚€(gè)對(duì)邊分別受均勻拉力薄板兩個(gè)對(duì)邊分別受均勻拉力q1q1和和q2q2作用，作用，由于板內(nèi)有微小圓孔，孔邊應(yīng)力將遠(yuǎn)大于距由于板內(nèi)有微小圓孔，孔邊應(yīng)力將遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力稱應(yīng)力集中問題。稱應(yīng)力集中問題。 q2q1q1q2x y圖圖a）q2q1q1q2x y圖圖a）= +q=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2圖圖b）圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 圖圖( a )受力情況，依照線彈性力學(xué)疊加原理：受力情況，依照線彈性力學(xué)疊加原理： 圖圖( a )( a )的解圖的解圖( b )( b )的解圖的解圖( c )( c

29、)的解。的解。 )()()(crbrar)()()(cba)()()(crbrar下面分別討論圖下面分別討論圖( b )( b )和圖和圖( c )( c )的解：的解： 圖圖( b )( b )情況情況, ,遠(yuǎn)離孔的位置遠(yuǎn)離孔的位置應(yīng)力為應(yīng)力為 qbybx)()(0)(bxyq=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2圖圖b）其中其中 q=(q1+q2)/2q=(q1+q2)/2，圖，圖( b )( b )解相當(dāng)圓環(huán)內(nèi)徑無內(nèi)壓解相當(dāng)圓環(huán)內(nèi)徑無內(nèi)壓qa= 0,qa= 0,外徑受外壓外徑受外壓qb = -qb = -q q作用情況作用情況, ,已有解，只須已有解，只須將將a/b a/b

30、 0 0 代入代入, ,得得2)()1 ()1 (21222)(qqraqrabr2)()1 ()1 (212222)(qqraqrab0)(brq=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2圖圖b）圖圖( c )( c )情況，遠(yuǎn)離孔的情況，遠(yuǎn)離孔的位置應(yīng)力為位置應(yīng)力為 x= - x= - y y =q , =q , xy= 0 , xy= 0 , 其中其中 q=(q1 -q2)/2q=(q1 -q2)/2，圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2通過應(yīng)力轉(zhuǎn)換式可得通過應(yīng)力轉(zhuǎn)換式可得 r =qcos2r =qcos2 , , = - = -qcos2qcos2

31、, , r r = -qsin2 = -qsin2 。 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 ?？梢娍梢? 圖圖( c )的應(yīng)力不是的應(yīng)力不是軸對(duì)稱的結(jié)構(gòu)為軸對(duì)軸對(duì)稱的結(jié)構(gòu)為軸對(duì)稱），稱）， 關(guān)鍵是要設(shè)應(yīng)力函數(shù)關(guān)鍵是要設(shè)應(yīng)力函數(shù) ( r, )圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2采用半逆解法：采用半逆解法：（1 1根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力 分量的關(guān)系式判斷分量的關(guān)系式判斷( r, ( r, ) ) 應(yīng)有應(yīng)有cos2cos2 項(xiàng)因子）。項(xiàng)因子）。rrrr11222在較遠(yuǎn)處在較遠(yuǎn)處 qcos2qcos2 22r在較遠(yuǎn)處在較遠(yuǎn)處 - -

32、 qcos2qcos2 圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2)1(rrr在較遠(yuǎn)處在較遠(yuǎn)處 - - qsin2qsin2 （2 2假設(shè)應(yīng)力函數(shù)假設(shè)應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, ) ) 可以分離變量可以分離變量圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 將所設(shè)將所設(shè) ( r, ( r, ) ) 的形式的形式, , 代入代入 4 4 = = 0 0 ，得，得09922cos32223344drdfrdrfdrdrfdrdrfd ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 解出解出 224)(rDCB

33、rArrf代回應(yīng)力函數(shù)代回應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, ),),得得 2cos)(),(224rDCBrArr可求得應(yīng)力分量表達(dá)式為可求得應(yīng)力分量表達(dá)式為可求得應(yīng)力分量表達(dá)式為可求得應(yīng)力分量表達(dá)式為2cos)642(42rDrCBr2cos)6212(42rDBAr2sin)6226(422rDrCBArr應(yīng)力分量中的四個(gè)系數(shù)由四個(gè)力邊界條件確定應(yīng)力分量中的四個(gè)系數(shù)由四個(gè)力邊界條件確定圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2四個(gè)力邊界條件四個(gè)力邊界條件, ,即即 ( (r rr=a= 0 , (r=a= 0 , (r r）r=a= 0 ,r=a= 0 , ( (r rr=

34、b= qcos2r=b= qcos2 , , ( (r r） r = b = -r = b = -qsin2qsin2 ； 由此四各方程解得由此四各方程解得A A、B B、C C、D D。圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2)1 ()(2222babaNbqA64)(4)( 312babaNqB62)(612baNaqC44)(12baNaqD4228642)1 ()()(4)(6)(41bababababaN其中其中 當(dāng)當(dāng) a/b a/b 0 0無限大板中有小無限大板中有小孔）孔）代入上述各系數(shù)表達(dá)式，得代入上述各系數(shù)表達(dá)式，得 N=1, A=0, B=-q/2,

35、C=qa2, D= -qa4/2 再代入上面圖再代入上面圖( c )應(yīng)力表達(dá)式，應(yīng)力表達(dá)式，可得應(yīng)力最后表達(dá)式：可得應(yīng)力最后表達(dá)式：圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/22cos)31)(1 (2222)(raraqcr2cos)31 (44)(raqc2sin)31)(1 (2222)(raraqcr圖圖c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 最后圖最后圖( a )( a )應(yīng)力由圖應(yīng)力由圖(b )(b )應(yīng)力解和圖應(yīng)力解和圖( c )( c )應(yīng)應(yīng)力解相加而得。力解相加而得。 2cos)31)(1 (2)(2)()1 (2222212122)(r

36、araqqqqraar2cos)31 (2)(2)()1 (22212122)(raqqqqraa2sin)31)(1 (2)(222221)(raraqqar當(dāng)當(dāng)q1 = qq1 = q，q2 = 0q2 = 0代入上式，可得齊爾西代入上式，可得齊爾西解解qqx3q-q yqx y3qq-q = 0oq = 90oPa r yxb曲梁無體力作用，曲梁頂部曲梁無體力作用，曲梁頂部受集中力受集中力P P作用。作用。sin2)(baPM22r cosPQ )1(rrr 仍采用半逆解法：仍采用半逆解法：考慮曲梁截面上內(nèi)力表達(dá)式，考慮曲梁截面上內(nèi)力表達(dá)式，推出應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)變化。推出應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)變化

37、。在在 截面內(nèi)力：截面內(nèi)力： 根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式判斷關(guān)系式判斷 ( r, ( r, ) )應(yīng)有應(yīng)有sinsin 項(xiàng)因子）。項(xiàng)因子）。0)3332(sin432223344rfdrdfrdrfdrdrfdrdrfd假設(shè)應(yīng)力函數(shù)假設(shè)應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, ) ) 可以分離變量可以分離變量, , 設(shè)為設(shè)為 ( r, ( r, )=f(r)g( )=f(r)g( )=f(r)sin)=f(r)sin 代入代入 4 4 = 0, = 0, 得得 Pa r yxb 解得解得 f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r rrrr11222sin)22(3r

38、DrCAr22rsin)26(3rDrCAr那么那么 ( r, ( r, )=(Ar3 + Br +Crlnr )=(Ar3 + Br +Crlnr + D/r+ D/rsinsin 其中其中 BrsinBrsin =By =By 可略去?？陕匀?。 將將 ( r, ) 代入應(yīng)力分量表達(dá)式代入應(yīng)力分量表達(dá)式)1(rrrcos)22(3rDrCArA、C、D由力的邊界條件來定。由力的邊界條件來定。力的邊界條件：在主要邊界上力的邊界條件：在主要邊界上在在r = ar = a： r = 0 , r = 0 , r r = 0, = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0 2Aa+C/a-2D/a3=

39、0 在在r = b: r = b: r = 0 , r = 0 , r r = 0, = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0 2Ab+C/b-2D/b3= 0 Pa r yxb 在次要邊界上：在次要邊界上： 在在 =0 ，環(huán)向方向的面力為零，環(huán)向方向的面力為零0fK徑向方向的面力的分布未給出，徑向方向的面力的分布未給出，但給出面力的合力但給出面力的合力 braf drP 滿足滿足 Pa r yxb利用圣維南原理利用圣維南原理 Pdrbar0)(PdrrDrCArba)22(3或或 PbaabDabCabA222222ln)(由上述方程解出由上述方程解出 2Aa+C/a-2D/a3= 0 2

40、Ab+C/b-2D/b3= 0 代回應(yīng)力分量表達(dá)式代回應(yīng)力分量表達(dá)式 sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPrNPA2)(22baNPC222baNPDabbabaNln)()(2222sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPr留意：這個(gè)應(yīng)力解在曲梁兩端是不能用的。留意：這個(gè)應(yīng)力解在曲梁兩端是不能用的。應(yīng)變和位移可由物理和幾何方程導(dǎo)出。應(yīng)變和位移可由物理和幾何方程導(dǎo)出。 楔形體分別受三種不同荷載楔形體分別受三種不同荷載作用時(shí)，應(yīng)力函數(shù)作用

41、時(shí)，應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, ) )的選取考慮：的選取考慮： （1 1采用分離變量法采用分離變量法 ( r, ( r, )=g(r)f()=g(r)f() ) ； ox y /2 /2（2） 考慮應(yīng)力函數(shù)在楔形體邊界上的考慮應(yīng)力函數(shù)在楔形體邊界上的變化規(guī)律，將變化規(guī)律，將 ( r, ) 中的中的g( r)的形的形式假設(shè)出來式假設(shè)出來;（3） 然后利用然后利用 4 = 0 求求 f( ) 的形式；的形式；（4 4利用邊界條件確定利用邊界條件確定f( f( ) )的表達(dá)式的的表達(dá)式的待待 定系數(shù)。定系數(shù)。 情況情況1 1 楔形體不考慮體力，楔形體不考慮體力，楔形體頂部受集中力楔形體頂部受集中力

42、P P作用。作用。 ox yP /2 /2ox yP /2 /2設(shè)應(yīng)力函數(shù)設(shè)應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, )=g(r)f()=g(r)f( ) )且利用無體力時(shí)，應(yīng)力函數(shù)且利用無體力時(shí)，應(yīng)力函數(shù) ( r, ( r, ) ) 在邊界上的值及在邊界上的值及偏微偏微分與邊界上面力的關(guān)系式來分與邊界上面力的關(guān)系式來確定確定 g(r) g(r) 的形式。的形式。BABABBABdsXyydsYxx)()(首先可設(shè)邊界上始點(diǎn)首先可設(shè)邊界上始點(diǎn)A A的的A = 0A = 0ox yP /2 /2A 則邊界上在則邊界上在OA段任意點(diǎn)段任意點(diǎn)B的的 值值為為 B = 0 任意點(diǎn)經(jīng)過任意點(diǎn)經(jīng)過O點(diǎn)點(diǎn),在楔形體左側(cè)

43、的在楔形體左側(cè)的 值為值為 =Prsin(-/2)與與r一次式有關(guān)。一次式有關(guān)?？稍O(shè)可設(shè) ( r , ( r , ) = ) = g(r)f(g(r)f( ) = r f() = r f( ) ) ( r, )的假設(shè)也可以由的假設(shè)也可以由 ( r, )與應(yīng)力分量的關(guān)系及應(yīng)力分量與與應(yīng)力分量的關(guān)系及應(yīng)力分量與集中力集中力P 之間量綱關(guān)系來設(shè)。之間量綱關(guān)系來設(shè)。 ox yP /2 /2A由由 ( r, ( r, ) = r f( ) = r f( ) ) 代入代入 4 4 = 0 = 0 ， 得：得： 0)(2122443fdfddfdr要求要求 0)(22244fdfddfd解得解得 f(f()

44、 = Acos) = Acos+Bsin+Bsin + + (Ccos(Ccos+Dsin+Dsin) ) ( r, )= A r cos + B r sin + r (Ccos +Dsin )由由 ( r, ( r, ) )可得應(yīng)力分量表可得應(yīng)力分量表達(dá)式達(dá)式)sincos(211222CDrrrrr0r系數(shù)系數(shù)C C、D D的確定：的確定： 可見僅靠力的邊界條件不能確定可見僅靠力的邊界條件不能確定所有待定系數(shù)，這是由于本問題所有待定系數(shù)，這是由于本問題的載荷是作用于一點(diǎn)的集中力，的載荷是作用于一點(diǎn)的集中力，在頂點(diǎn)有奇點(diǎn)，待定系數(shù)需靠部在頂點(diǎn)有奇點(diǎn)，待定系數(shù)需靠部分楔形體的平衡而確定。分楔形

45、體的平衡而確定。 首先應(yīng)考慮邊界條件來定，即首先應(yīng)考慮邊界條件來定，即 = = /2 /2 時(shí)，時(shí)，= = 0 , 0 , r r= 0 , = 0 , 自然滿足。自然滿足。ox yP /2 /2A Fx = 0: 22coscos0rrdPsincosPD Fy = 0: 22sinsin0rrdP sinsinPC ox yP /2 /2A r代回應(yīng)力分量表達(dá)式代回應(yīng)力分量表達(dá)式 )sinsinsinsincoscos(2rPr0r 討論：討論： 1. 當(dāng) = 0 ， sincos2rPr2. 當(dāng) = /2， sinsin2rProx yP /2 /2A r 3當(dāng)當(dāng) = 時(shí)楔形體變?yōu)榘霟o限體，受集中力作用：時(shí)楔形體變?yōu)榘霟o限體，受集中力作用： 0rox y P當(dāng)當(dāng) = = , , = = /2 :/2 :2sinrPr 0r2(coscossinsin )rPr ox y P2cosrPr 0r當(dāng)當(dāng) = = , , = 0 := 0 : 利用應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，可得到直角坐標(biāo)利用應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，可得到直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：中的應(yīng)力分量： ox yP222332cos2yx