三維幾何造型技術(shù)

關(guān)于三維幾何造型技術(shù)123.1幾何造型概述

3.1.1幾何造型技術(shù)

幾何造型技術(shù)又稱為幾何建模技術(shù)，是利用計算機以及圖形處理技術(shù)來構(gòu)造物體的幾何形狀，模擬物體的動、靜態(tài)處理過程的技術(shù)。

這種技術(shù)能將物體的形狀及其屬性（顏色、材質(zhì)、精度）存儲在計算機內(nèi)，形成該物體的三維幾何模型，這個模型是對原物體的確切的數(shù)學(xué)描述或是對原物體某種狀態(tài)的真實模擬。這個模型將為各種不同的后續(xù)應(yīng)用提供信息（例如：由模型產(chǎn)生有限元網(wǎng)格；由模型生成數(shù)控加工刀具軌跡，進行碰撞、干涉檢驗；VM；機床模型；刀具模型；夾具模型；零件模型）。第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天3

幾何造型系統(tǒng)：通常把能夠定義、描述、生成幾何模型，并能交互地進行編輯的系統(tǒng)稱為幾何造型系統(tǒng)。第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天43.1.2三維幾何造型在CAD/CAM中的應(yīng)用

三維幾何造型在CAD/CAM中主要應(yīng)用在設(shè)計、圖形、制造和裝配四個方面。

(1)設(shè)計能隨時顯示零件形狀，并能利用剖切來檢查諸如壁的厚薄，孔是否相交等問題。能進行物體的物理特性計算；如計算體積、面積、重心、慣性矩等。能檢查裝配中的干涉。能作運動機構(gòu)的模擬等等。

(2)圖形產(chǎn)生二維工程圖，包括零件圖，裝配圖等。

(3)制造能利用生成的三維幾何模型進行數(shù)控自動編程及刀具軌跡的仿真。此外還能進行工藝規(guī)程設(shè)計等。

(4)裝配在機器人及柔性制造中利用三維幾何模型進行裝配規(guī)劃、機器人視覺識別、機器人運動學(xué)及動力學(xué)的分析等。第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天5SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor目前最流行的三維CAD系統(tǒng)

美、法等國的CAD技術(shù)一直走在世界的前沿，它們擁有許多世界聞名的CAD/CAM系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具備十分強大的功能。國內(nèi):清華大學(xué)、北航、新舟、浙大、華工

第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天6第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天73.1.3三維幾何造型技術(shù)中的幾何元素

1、點幾何造型中最基本的幾何元素在自由曲線和曲面的描述中常用到：用于確定曲線和曲面的位置與形狀。

2、邊相鄰面或多個相鄰面之間的交界，由兩個端點定界，具有方向性。方向為：起點終點?？蔀榭臻g直線或曲線第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天83、環(huán)環(huán)是有序、有向邊組成的面的封閉邊界，環(huán)中的邊不能相交，相鄰兩條邊共享一個端點。環(huán)有內(nèi)外之分，如下圖，環(huán)還有方向性，外環(huán)按逆時針排列，內(nèi)環(huán)按順時針排列。

4、面面是形體表面的一部分，由一個外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)界定其范圍。面有方向性，通過右手定則確定，如下圖，四指方向為面的外環(huán)方向，拇指方向為面的正方向。一個面可以無內(nèi)環(huán)，但必須有外環(huán)，由于環(huán)具有方向性，所以按方向看，環(huán)的左邊為面內(nèi)，環(huán)的右邊為面外。

第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天95、體體是由封閉表面圍成的三維幾何空間。通常把具有維數(shù)一致的邊界所定義的形體稱為正則形體(又稱為流形形體)，如圖（a）所示。（b）中圖形存在懸邊和懸面，維數(shù)不一致，稱為非正則形體。（非流形形體）。（a）（b）第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天10

6、外殼

外殼是指在觀察方向上所能看到的形體的最大外輪廓線。

7、體素體素是指能用有限個尺寸參數(shù)定位和定形的體。體素通常指一些常見的可用以組合成復(fù)雜形體的簡單實體，如長方體、圓柱體、圓錐體、球體、棱柱體、圓環(huán)體等，也可以是一些掃描體或回轉(zhuǎn)體。

3.2三維幾何造型系統(tǒng)的幾種模型

幾何造型系統(tǒng)發(fā)展至今，先后出現(xiàn)了線框模型、表面模型、實體模型、特征模型等，這幾種模型代表了幾何形體在計算機內(nèi)的不同存儲方式，本節(jié)從工程角度出發(fā)，介紹這幾種模型的原理與計算機表達。

第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天113.2.1線框模型

1、建模線框模型是用頂點和棱邊表示三維形體，其棱邊可以為直線、圓弧、二次曲線及樣條曲線組成。它的計算機表示包括兩方面的信息：一類是幾何信息，記錄各頂點的坐標(biāo)值，即頂點表；另一類是拓撲信息，記錄定義每條邊的兩個端點，即棱線表。實際物體是頂點表和棱線表相應(yīng)的三維映象。

第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天12如下圖所示為立方體線框圖，采用8個頂點和12條棱邊。第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天132、優(yōu)缺點優(yōu)點結(jié)構(gòu)簡單，計算機內(nèi)部易于表達，繪制快速；物體的三維數(shù)據(jù)可以產(chǎn)生任意視圖，為生成工程圖帶來了方便缺點有二義性，缺少表面輪廓信息，當(dāng)形狀復(fù)雜、棱線過多時，會引起模糊理解。2.

在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中缺少邊與面、面與體之間關(guān)系的信息。從原理上講，此種模型不能消除隱藏線、計算物性、生成數(shù)控加工刀具軌跡、有限元網(wǎng)格剖分、物體干涉檢驗等。3.缺少拓撲信息，即邊與面、面與體之間關(guān)系的信息，因此不能構(gòu)成實體。第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天143.2.2表面模型（SurfaceModel）

1、建模表面模型也稱曲面模型，通常用于構(gòu)造復(fù)雜的曲面物體，構(gòu)造時常常利用線框功能，先構(gòu)造一線框圖，然后用掃描或旋轉(zhuǎn)等手段變成曲面，也可以直接利用系統(tǒng)提供的許多曲面圖素來建立各種曲面模型。表面模型在計算機中的存儲與線框模型相比多了一個面表，記錄了邊、面間的拓撲關(guān)系。第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天152、優(yōu)缺點優(yōu)點：

(1)能實現(xiàn)消隱、著色、表面積計算、二曲面求交、數(shù)控刀具軌跡生成、有限元網(wǎng)格劃分等。

(2)擅長構(gòu)造復(fù)雜的曲面物體，如模具、汽車、飛機等表面。

缺點：

(1)缺乏面間的拓撲關(guān)系，依然不能構(gòu)成實體，有時產(chǎn)生對物體二義性理解。

(2)操作比較復(fù)雜，要求操作者具備曲面建模的數(shù)學(xué)知識，因此要對操作者進行一定的培訓(xùn)。第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天163.2.3實體模型（SolidModel）

1、建模實體模型與表面模型不同之處在于確定了表面的哪一側(cè)存在實體這個問題。用有向棱邊的右手法則確定所在面外法線的方向，如規(guī)定正向指向體外。如此只需將上圖的面表改為如下，即可確切地分清體內(nèi)體外，形成實體模型。第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天17

2、優(yōu)缺點優(yōu)點：（1）包含的信息全面，不僅記錄了全部幾何信息，而且記錄了全部點、線、面、體的拓撲信息。（2）無二義性?？梢韵[、剖切、有限元網(wǎng)格劃分、生成NC刀具軌跡。（3）可計算物理特性。實體造型包括兩部分：（1）體素定義和描述（2）體素間的布爾運算（構(gòu)成復(fù)雜實體的有效工具）第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天183、常見體素種類第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天19

4、形體的集合運算如果一個實體是由兩個或兩個以上簡單體素經(jīng)過集合運算得到的，那么這個實體的表示就是布爾模型，這種集合運算叫布爾運算。布爾運算最簡單的理解就是在一個物體上增加或減少一部分。例如：C=A<op>B其中A、B為兩個實體，則C為布爾模型，<op>布爾算子，它可以是∪、∩、－。如：

二維布爾運算第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天20A體B體A＋BA－BA∩BAB三維布爾運算第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天21

傳統(tǒng)的點集之間的并、交、差運算可能改變點集的正則性質(zhì)。也就是說，兩個正則點集的集合運算的結(jié)果可能產(chǎn)生一個非正則點集。如圖A、B兩物體求交運算后，原來兩物體間互相重合的部分邊界面被保留而形成懸掛面。有必要對傳統(tǒng)的點的集合運算施加一定的限制，為此定義第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天22線框、表面與實體模型的比較模型表示應(yīng)用范圍局限性二維線框畫二維線框圖（工程圖）無法觀察參數(shù)的變化，不可能產(chǎn)生有實際意義的形體三維線框畫二、三維線框圖不能表示實體、圖形會有二義性表面模型藝術(shù)圖形、形體表面的顯示、數(shù)控加工不能表示實體實體模型物性計算、有限元分析用集合運算構(gòu)造形體只能產(chǎn)生正則形體抽象形體的層次較低第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天23

3.3三維實體表示方法目前實體造型系統(tǒng)開發(fā)中使用的三維實體表示方法有許多，廣泛采用的兩種方法是幾何實體構(gòu)造法和邊界表示法。它們分別是早期和近期CAD開發(fā)中三維形體表示的主要方法，其他表示方法還有掃描表示法、八叉樹表示法、基本體素表示法、空間分割法、實體參數(shù)表示法等。

3.3.1幾何實體構(gòu)造法幾何實體構(gòu)造法（CSG：ConstructiveSolidGeometry）是用簡單實體通過集合運算交、并、差構(gòu)造復(fù)雜實體的方法。是目前最常用的、最重要的一種三維實體表示方法。嚴(yán)格來說CSG法是由簡單的正則集合經(jīng)過正則集合運算構(gòu)成復(fù)雜實體的方法。

用CSG法構(gòu)造的實體模型在計算機中是通過用CSG樹的形式加以表達的，通常采用二叉樹的形式加以描述。第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天24例如：

圖中樹葉分為兩種：一種是基本體素，如P1、P2、P3等；另一種是體素作運動變換時的參數(shù)，如平移參數(shù)Δx等。圖中結(jié)點表示某種運算。有兩類運算子，一類是運動運算子，如平移、旋轉(zhuǎn)等，另一類是集合運算子，如∪*、∩*、－*。

CSG樹中的每個子樹都代表一個集合，它是用算子對體系進行運算后生成的。樹根就是最終拼合而成的物體。第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天25

用CSG樹表示一個形體是無二義性的，但一個形體可以有不同的CSG樹表示，取決于使用的體素、構(gòu)造操作方法和操作順序。

優(yōu)點：

(1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡單，信息量小，易于管理；

(2)每個CSG都和一個實際的有效形體相對應(yīng)；

(3)CSG樹記錄了形體的生成過程，可修改形體生成的各環(huán)節(jié)以改變形體的形狀。

缺點：

(1)不能進行形體的局部修改，如面、邊、點等；

(2)直接基于CSG表達形體，其組合運算及顯示效率很低。第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天263.3.2邊界表示法

邊界表示法（B-rep：BoundaryRepresentation）是以邊界為基礎(chǔ)定義和描述幾何形體的方法。任何一個物體均可以表達為一個有限數(shù)量的邊界表面的集合，這個集合是封閉的，邊界表面由一組面構(gòu)成。這些表面可能是平面，也可能是曲面，均有方向，明確地劃分出物體的里面和外面。每個面由封閉的環(huán)確定其邊界，每個環(huán)由一組邊組成，每條邊由兩個頂點所界定，每個頂點由空間三個坐標(biāo)值來確定，即：

物體面封閉環(huán)邊點第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天27

邊界模型與表面模型區(qū)別在于邊界模型的表面必須封閉、有向，各表面有嚴(yán)格的拓撲關(guān)系，形成一個整體。而表面模型可以不封閉，面的上下都可以有效，不能判斷哪一側(cè)是體內(nèi)與體外，沒提供各面間相互連接的信息。

B-rep法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：

B-rep法中要表達的信息分為兩類：

一類是幾何信息，它反映物體的大小及位置，例如頂點的坐標(biāo)值，面數(shù)學(xué)表達式中的具體系數(shù)等。通常用空間直角坐標(biāo)來表示；

另一類是拓撲信息，是指用來說明體、面、邊及頂點之間連接關(guān)系的這一類信息。例如面f1與哪些面相鄰；面f1由那些邊組成等等。這些都屬于拓撲信息。拓撲信息常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。采用體、面、環(huán)邊和頂點表構(gòu)成。即面—環(huán)—邊—頂點（F—L—E—V）。

第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天28

從理論上講，多面體的面、邊和頂點之間一共有九種拓撲關(guān)系，如圖所示。圖中符號“”表示指針，表示可從它的左端求出它的右端。例如，f{f}表示由一個面找出該面所有相鄰面，面v{f}則表示由一個頂點找出相交于此頂點的所有面等等。面面鄰接關(guān)系面上點的關(guān)系面上邊的關(guān)系點與面連接關(guān)系點點連接關(guān)系點與邊連接關(guān)系邊面鄰接關(guān)系邊點連接關(guān)系邊邊連接關(guān)系第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天29

在這九種不同類型的拓撲關(guān)系中至少必須選擇兩種才能構(gòu)成一個實體的拓撲信息。也可以存儲更多的拓撲關(guān)系。如有名的翼邊結(jié)構(gòu)，它將e{f}、e{f}、e{e}關(guān)系統(tǒng)統(tǒng)存儲起來，并以邊為中心加以安排。如圖：可以方便地查找到這條邊有連接關(guān)系的上下兩頂點、左右兩鄰面及上下左右四條鄰邊。第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天30

在Brep表達中，簡單實體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可用體、面、邊、點四個層次的表描述第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天31Brep表示法的優(yōu)點：

(1)表示形體的點、線、面等幾何元素是顯式表示、使得形體的顯示很快并且很容易確定幾何元素之間的連接關(guān)系；

(2)可對Brep法的形體進行多種操作和局部修改缺點：

(1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要大量存儲空間，維護內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及一致性的程序較復(fù)雜；

(2)對形體的修改操作較難實現(xiàn)。第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天32CSG＋BREP混合表示

從用戶進行造型的角度看，CSG方法比較方便，從對形體的存儲管理和操作的角度看，Brep法更為實用。目前大多數(shù)CAD系統(tǒng)都以CSG＋Brep的混合表示作為形體數(shù)據(jù)表示的基礎(chǔ)：以CSG模型表示幾何造型的特征歷史過程及其特征設(shè)計參數(shù)；用Brep模型維護詳細的幾何信息和顯示、查詢等操作，同時也為布爾運算提供基礎(chǔ)。

第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天33

3.3.3掃描表示法

其基本原理是空間中的二維形體沿著某一路徑掃描時的運動軌跡，將定義一個三維物體。

用掃描法進行實體造型需要兩個因素：

1運動物體的形狀，即基體、曲線、面。

2物體運動的軌跡，稱掃描軌跡，如直線或曲線。

有兩種掃描方法：在這兩類掃描表示中，只要二維集合無二義性，實體就不會有二義性。第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天34

3.3.4空間分割法將空間實體劃分成一個一個網(wǎng)格化的小立方體，尺寸大小均相同，叫體元(cell)，用體元重心處的(x，y，z)坐標(biāo)來表示每個體元，所以實體可用三元組(x，y，z)的集合來表示。該集合可以是有序的，也可以是無序的。此