《2.2 基本不等式》優(yōu)秀教研導(dǎo)學(xué)案

1、第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2 基本不等式（共2課時(shí)）（第1課時(shí)）1. 推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等；2. 通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；通過(guò)多媒體體會(huì)基本不等式等號(hào)成立條件, 掌握運(yùn)用基本不等式求最值；1.從不同角度探索不等式的證明過(guò)程，會(huì)用此不等式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值；2.基本不等式等號(hào)成立條件；一、情境導(dǎo)學(xué) （1）如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。弦圖既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車(chē)，歡迎來(lái)自世界

2、各地的數(shù)學(xué)家們。思考1：這圖案中含有怎樣的幾何圖形？思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（2）探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b（ab）,那么正方形的邊長(zhǎng)為這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為由于4個(gè)直角三角形的面積之和小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：?jiǎn)栴}1.思考證明：你能給出它的證明嗎？二、新知探究基本不等式：如果a>0,b>0,我們用、分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫(xiě)作：基本不等式（a>0,b>0)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（1）在

3、數(shù)學(xué)中，我們稱(chēng)為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。探究1.從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式如果學(xué)生類(lèi)比重要不等式的證明給出證明，再介紹書(shū)上的分析法。分析法證明：證明不等式探究2.理解基本不等式的幾何意義在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？(1)AB表示什么? (2)表示哪個(gè)線(xiàn)段？ (3)對(duì)應(yīng)哪個(gè)線(xiàn)段呢？（4）OD與CD的大小關(guān)系如何？ 典例解析：利用基本不等式求最值例1.基本不等式的使用條

4、件跟蹤訓(xùn)練1下列不等式中，正確的是()Aa4Ba2b24ab C. Dx222若a1，則a的最小值是()A2 Ba C. D33若a，b都是正數(shù)，則的最小值為()A7 B8 C9 D104已知x>0，y>0，且1，則xy的最小值為_(kāi)我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；基本不等式；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).參考答案：?jiǎn)栴}1.證明：因?yàn)?， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立探究1：證明：要證 只要證 只

5、要證 只要證 顯然，是成立的當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（3）中的等號(hào)成立探究2：易證tADtDB，那么D2A·B即D.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”例1（1）解析：（2）解析：例2.（3）.解: , 當(dāng)且僅當(dāng) 2x=(1-2x), 即時(shí), 取“=”號(hào). 當(dāng)時(shí), 函數(shù) y=x(1-2x) 的最大值是.跟蹤訓(xùn)練 （1）達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析：選D.a0，則a4不成立，故A錯(cuò)；a1，b1，a2b24ab，故B錯(cuò)，a4，b16，則，故C錯(cuò)；由基本不等式可知D項(xiàng)正確2.解析：選D.a1，所以a10，所以

6、aa11213.當(dāng)且僅當(dāng)a1即a2時(shí)取等號(hào)3.解析：選C.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以5529，當(dāng)且僅當(dāng)b2a0時(shí)取等號(hào)4.解析：xy(xy)·1010210616.2.2基本不等式（第2課時(shí)）1. 能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題；2. 圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中建立不等關(guān)系，并能正確運(yùn)用基本不等式求最值； 難點(diǎn)：注意運(yùn)用不等式求最大（?。┲档臈l件一、小試牛刀1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)任意的a，bR，若a與b的和為定值，則ab有最大值()(2)若xy4，則

7、xy的最小值為4.()(3)函數(shù)f(x)x2的最小值為21.()2已知xy1且x>0，y>0，則的最小值是()A2 B3 C4 D6二、新知探究問(wèn)題1.用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、 寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？結(jié)論1： 問(wèn)題2.用段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？結(jié)論2： （三）典例解析 均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 例1、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800深為3 m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)

8、最低？最低造價(jià)為多少元？跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3 000 m2，其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2 m，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米(1)分別寫(xiě)出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫(xiě)出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？2.某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為每件x(50x80)元時(shí)，每天銷(xiāo)售的件數(shù)為，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，則銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？【歸納總結(jié)】利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式例2 已知a,

9、b都是正數(shù),且a+b=1,求證:1+1a1+1b9.跟蹤訓(xùn)練3.已知：a，b，cR，求證：abc.1已知正數(shù)a、b滿(mǎn)足ab10，則ab的最小值是()A.10 B25 C5 D22小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aa<v< BvC<v< Dv3某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_4.某單位決定投資3 200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢(qián)，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米

10、長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元，求：倉(cāng)庫(kù)面積S的最大允許值是多少？為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？5.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:1a+1b+1c9.1.利用基本不等式來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式,要懂得利用基本不等式來(lái)求最大（?。┲?.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：先建目標(biāo)函數(shù)，再用基本不等式求函數(shù)的最值，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解。參考答案：一、小試牛刀1.答案：（1） × （2）× （3） 2.解析：法一：4，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，法二：24，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)答案：

11、C二、探究新知問(wèn)題1.解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 m,寬為 m,則 籬笆的長(zhǎng)為2（）m由 ，可得 ，2（）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為10 m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40m問(wèn)題2.解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 m,寬為 m,則2（）=36，=18，矩形菜園的面積為，由 可得 ,可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9 m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81三、典例解析例1.解：設(shè)底面的長(zhǎng)為 m,寬為 m, 水池總造價(jià)為 元，根據(jù)題意，有 由容積為4800可得 由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得即 ， 可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)所以,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40 m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低造價(jià)為2

12、97600元跟蹤訓(xùn)練1 解析(1)由已知xy3 000,2a6y，則y(6<x<500)，S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)·(x5)(y6)3 0306x(6<x<500)(2)S3 0306x3 03023 0302×3002 430當(dāng)且僅當(dāng)6x，即x50時(shí)，“”成立，此時(shí)x50.y60，Smax2 430.即設(shè)計(jì)x50 m，y60 m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2 430 m2跟蹤訓(xùn)練2.解析：方法一：設(shè)當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為每件x元時(shí)，獲得的利潤(rùn)為y，由題意知，y(x50)·(x50)·.x500，x5020，y2

13、500，當(dāng)且僅當(dāng)x50，即x60或x40(舍去)時(shí)，等號(hào)成立，ymax2 500.方法二：由題意知，y(x50)·，令x50t，xt50(t0)，則y2 500，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t10時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x60，ymax2 500.答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格定為60元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最多，最多利潤(rùn)為2 500元例2.:結(jié)合條件a+b=1,將不等式左邊進(jìn)行適當(dāng)變形,然后利用基本不等式進(jìn)行證明即可.證明:因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab,故1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4ba·ab=5+4=9.

14、所以1+1a1+1b9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號(hào)成立跟蹤訓(xùn)練3.證明：由基本不等式：2 2c，同理：2a，2b.三式相加即得：abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析ab22，等號(hào)在ab時(shí)成立，選D2.解析設(shè)從甲地到乙地的路程為s，則v<a<b，vaa>0，v>aa<v<.故選A3.解析：本題考查基本不等式及其應(yīng)用設(shè)總費(fèi)用為y萬(wàn)元，則y×64x4240.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x30時(shí)，等號(hào)成立答案：304.解：設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米，一堵磚墻長(zhǎng)為y米，則頂部面積為Sxy，依題意得，40x2×45y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy1202