必修二立體幾何證明題

1、1.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi中,(I )證明：平面 BD6丄平面BDC(n)平面BDC 1分此棱柱為兩部分,1.【解析】(I)由題設(shè)知- DC1 BC,由題設(shè)知 A1DC1又 DC BC C,面 BDC 丄面 BDC1(n)設(shè)棱錐b由三棱柱ABC (V V1):V1=1：1 ,2.如圖5所示,CD上的點(diǎn)且DF必修二立體幾何經(jīng)典證明試題1側(cè)棱垂直底面，/ ACB=90° , AC=BC= -AA 1, D是棱AA 1的中點(diǎn)求這兩部分體積的比BC丄 CG,BC 丄 AC, CC1 AC C , BCADC 450, CDC1 =900,即 DG DC ,- DC1 丄面 BDC

2、 ,/ DC1 面 BDC1DACC1的體積為V1 , AC=1，由題意得,ABQ1的體積V =1,平面BDC1分此棱柱為兩部分體積之比為在四棱錐P ABCD中，AB 平面PAD ,1AB，PHPAD中AD邊上的高.(1)證明：PH平面ABCD ;(2)若PH1,AD2 , FC(3)證明：EF平面PAB.【解析】(1)證明：因?yàn)锳B 平面1，求三棱錐E BCF的體積;PAD，所以PH因?yàn)镻H PAD中AD邊上的高，所以 PH因?yàn)锳B I AD A，所以PH 平面ABCD。(2)連結(jié)BH，取BH中點(diǎn)G，連結(jié)EG。因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EG / PH。ABCD所以EG 平面ABCD。因?yàn)镻H

3、平面貝V EG PH2Ve bcf 3sBCF EG(3)證明：取PA中點(diǎn)M，連結(jié)MD ,ME。因?yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)?DF / 一 AB，所以 ME/ DF2PD AD，所以MD PA。因?yàn)锳B PAI AB A，所以 MD 平面 PAB ,V1=11:1.AB。AD。AB/CD-FC AD2EGE是PB的中點(diǎn)，所以PDAD , E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB *'。12ME/-AB。2，所以四邊形MEDF是平行四邊形,平面PAD，所以MD 所以EF 平面PAB 。3.如圖，在直三棱柱ABC ABC中，AB1 AC1 ,AD DE ,F為B,G的中點(diǎn).所以 EF / MD。AB。D , E分別是

4、棱BC , CC1 上的點(diǎn)求證:(1)平面ADE 平面BCGQ ；(2)直線A1F /平面【答案】證明:(1)t ABCA,BiCi是直三棱柱， CCi平面ABC o4.如圖,四棱錐AB=i , AD=2 ,(i)證明:(2)證明:(3)又 AD又；AD又 AD(2 ) A1B1又 CCi平面 ABC，二 CC1 AD 。DE , CG, DE 平面 BCCiBi, CC, I DE E平面ACi ,平面又 CC, BiCi,AD 平面 BCC1B1。ADE ,平面 ADE 平面 BCC1B1。F為BiCi的中點(diǎn)， AF BG。A1BC1，且 A| F 平面 A BjCi，CCi平面 BCC,

5、 B, , CC, I B,Ci G , A| F由(i)知，AD 平面 BCCiBiAiF / AD 。AF。平面A BiCi o又 AD 平面ADE, AiF 平面ADE，直線 AiF /平面ADEPABCD中，ABCD為矩形， PAD為等腰直角三角形，/ APD=90。，面PAD丄面ABCD，且E、F分別為PC和BD的中點(diǎn).EF/面 PAD ;面PDC丄面PAD ;求四棱錐PABCD的體積.i分如圖，連接 AC ,v ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn)， AC必經(jīng)過F又E是PC的中點(diǎn)，所以，EF/ AP/ EF在面PAD夕卜，PA在面內(nèi)，EF/面 PAD(2)v 面 PAD 丄面 ABCD

6、, CD 丄 AD ,面 PAD I 面 ABCD=AD , CD 丄面 PAD ,又 AP 面 PAD , AP 丄 CD又 AP丄PD, PD和CD是相交直線， AP丄面PCD又AD 面PAD，所以，面 PDC丄面PAD(3)取AD中點(diǎn)為O,連接PO,因?yàn)槊鍼AD丄面ABCD及厶PAD為等腰直角三角形，所以 PO丄面ABCD ,即PO為四棱錐PABCD的高1 AD=2 , PO=1，所以四棱錐 PABCD 的體積 V PO AB 35.在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是正方形，MA 平面 ABCD , PD/MA , E、(I)求證：平面EFG 平面PDC ； (II )求三棱錐P

7、MAB與四棱錐P 之比.【解析】(I)證明：由已知 MA 平面ABCD , PD?/ MAG、F分別為MB、ABCD的體積所以 PD 平面ABCD又 BC平面ABCD因?yàn)?四邊形ABCC為正方形，所以 PD丄BCAD -3且 AD PD 2MA.PB、PC的中點(diǎn),又在厶PBC中，因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閜d n dc=d 因此G平分為PC的中點(diǎn)，GF / BC因此GF平面EFGBC 丄平面PDCGF丄平面PDC所以 平面EFGL平面PDC.(n)解: 則 所以 由于 所以PDL平面ABCD四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè) MA=1PD=AD=2 , ABCDV p-abcc=1/3S 正方形 abcd P

8、D=8/3DA丄面MAB的距離DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，BFC所以AF/平面BDE6.如圖，正方形 ABCD和四邊形(I)求證：AF/平面BDE(n)求證： CF丄平面BDF;證明：(I)設(shè) AC于BD交于點(diǎn)所以四邊形AG圧為平行四邊形所以AF/ EG因?yàn)镋G 平面BDE,AF(n)連接FG因?yàn)镋F/ CG,EF=CG=1且CE=1,所以平行四邊形 CEFG為菱形。所以 CF丄EG.因?yàn)樗倪呅?ABCD為正方形，所以 BD丄AC.又因?yàn)槠矫?ACEEL平面ABCD且平面ACEFn平面ABCD=AC所以BD丄平面 ACEF所以CF丄BD.又BDn EG=G所以CF丄平面 BDE.7如圖，在

9、多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2 , EF / AB,EF 丄 FB, / BFC=90° BF=FC,H 為BC的中點(diǎn)，(I )求證：FH /平面 EDB;(n)求證：AC丄平面EDB;(川)求四面體 B DEF的體積；8.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E、F分別是A1B、AC的中點(diǎn),D 在 B1C1 上， rA1求證：(1) EF/平面ABC ;(2)平面 AFD 平面 BB1C1C .9如圖4,在邊長為1的等邊三角形 ABC中，D,E分別是點(diǎn)，AD AE, F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)得到如圖5所示的三棱錐A BCF ,其中

10、AB, ACG ,將ABF沿AF折起，BCA三棱錐 Vp-MAB=1/3 X 1/2 X 1 X 2X 2=2/3，所以 Vp-MAB:V p-ABCD=1:4。證明：DE /平面BCF ;證明：CF 平面ABF ; 當(dāng)AD -時(shí),求三棱錐F DEG的體積Vf deg ./3厶AD AED答案】在等邊三角形ABC中，AD AEDB EC ,在折疊后的三棱錐A BCF中DE / /平面 BCF ；也成立，DE /BC , Q DE 平面BCF , BC 平面BCF ,BF CF -在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以AF BC，2.BCQ在三棱錐A BCF中，BC2 BF2 CF2 CF

11、BF Q BF CF F CF 平面 ABF由可知GE/CF ,結(jié)合可得GE平面DFG .10.如圖，在四棱錐 P ABCD 中,AB/CD , AB AD , CD 2AB ,平面 PAD底面 ABCD , PA AD , E 和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證:(I) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD ;(3)平面 BEF【答案】(I)因?yàn)槠矫鍼ADL平面ABCD且PA垂直于這個(gè)平面的交線 AD 所以PA垂直底面ABCD.(II) 因?yàn)?AB/ CD,CD=2AB,E為 CD的中點(diǎn)所以AB/ DE,且AB=DE所以ABEC為平行四邊形， 所以(III)所以所以平面PCDBE/ AD,又因?yàn)?BE 平面PAD,AD 平面PAD所以BE/平面 PAD. 因?yàn)锳B丄AD而且ABED為平行四邊形BE! CD,ADL CD,由(I)知 PAL底面 ABCD,所以 PAL CD所以 CDL平面CDL PD,因?yàn)镋和F分別是 C