解決排列組合問(wèn)題的常用技巧與策略復(fù)習(xí)進(jìn)程

1、解決排列組合問(wèn)題的常用技巧與策略 加法原理的特征是分類解決問(wèn)題，分類必須滿足兩個(gè)條件：類與類必須互斥(不相容)，總類必須完備(不遺漏)；乘法原理的特征是分步解決問(wèn)題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。 分類與分步是解決排列組合問(wèn)題的最基本的思想策略，在實(shí)際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機(jī)結(jié)合，可以是類中有步，也可以是步中有類。 以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用準(zhǔn)加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗(yàn)真?zhèn)巍?（一）（一）.特殊元素的特殊元素的“優(yōu)先優(yōu)先安排法安排法” 對(duì)于特殊元素的排列組合問(wèn)題

2、，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。在操作時(shí)，針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。 例例1： 0、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個(gè)？ 解法一：解法一：(元素優(yōu)先)分兩類：第一類，含0，0在個(gè)位有 種，0在十位有 種； 第二類，不含0，有 種。 故共有 種。 注：注：在考慮每一類時(shí)，又要優(yōu)先考慮個(gè)位。 （二）總體淘汰法（二）總體淘汰法 對(duì)于含有否定詞語(yǔ)的問(wèn)題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減也不能少減， 例例：個(gè)人從左到右站成一排，甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置， 不同的站法有 （三）（三）.相鄰問(wèn)題：捆綁法相鄰問(wèn)題：

3、捆綁法 對(duì)于某些元素要求相鄰排列的問(wèn)題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個(gè)元素再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。 例例3： 5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列， 要求女生排一起，共有幾種排法？（四）不相鄰問(wèn)題用（四）不相鄰問(wèn)題用“插插空法空法” 對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可（注意有時(shí)候兩端的空隙的插法是不符合題意的）. 例例4： 5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？ 例例5： 馬路上有編號(hào)為1、2、3、9的9盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)

4、兩端的路燈，則滿足要求的關(guān)燈方法有幾種？ 解：解：由于問(wèn)題中有6盞亮3盞暗，又兩端不可暗，故可在6盞亮的5個(gè)間隙中插入3個(gè)暗的即可，有 種。 （五）順序固定問(wèn)題用（五）順序固定問(wèn)題用“除法除法”或選位不排或先或選位不排或先定后插定后插 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)。或先在總位置中選出順序一定元素的位置而不參加排列，然后對(duì)其它元素進(jìn)行排列。也可先放好順序一定元素，再一一插入其它元素。 例例6： 5人參加百米跑，若無(wú)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有幾種情況？ 解法三：解法三：先固定甲、乙，再插入另三個(gè)中的第一

5、人有3種方法，接著插入第二人有4種方法，最后插入第三人有5種方法。由乘法原理得共有 種。 （六）分排問(wèn)題用（六）分排問(wèn)題用“直排直排法法” 把n個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，若沒(méi)其他的特殊要求，可用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理 例例7：8個(gè)人坐兩排座位，每排四人，限定甲必須坐前排，乙、丙必須坐在同一排，則有種排法 解：乙、丙可以同在前后兩排就座，兩排可以看成一排來(lái)處理，第一類 ， 甲在前排，乙、丙在前排，有 ，第二類 ，甲在前排，乙、丙在后排，有 所以不同的坐法有+=8640（七）（七）“住店住店”問(wèn)題問(wèn)題 解決“允許重復(fù)排列”的問(wèn)題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可重復(fù)，另一類元素不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元

6、素看著“客”，能重復(fù)的元素看著“店”，再利用分步計(jì)數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店法”。 例例8：名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能種數(shù)是種。（八）相同元素進(jìn)盒，用（八）相同元素進(jìn)盒，用檔板分隔檔板分隔 例例9： 10張參觀公園的門票分給5個(gè)班，每班至少1張，有幾種選法？ 解：解：這里只是票數(shù)而已，與順序無(wú)關(guān)，故可把10張票看成10個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9個(gè)間隔中選4個(gè)位置插入4塊“檔板”分成5格(構(gòu)成5個(gè)盒子)有 種方法。 注：注：檔板分隔模型專門用來(lái)解答同種元素的分配問(wèn)題。 例例10： 從5個(gè)班中選10人組成?；@球隊(duì)(無(wú)任何要求)，有幾種

7、選法？ 解：解：這個(gè)問(wèn)題與例12有區(qū)別，雖仍可看成4塊“檔板”將10個(gè)球分成5格(構(gòu)成5個(gè)盒子)，是球與檔板兩類元素不分順序的排列問(wèn)題。但某些盒子中可能沒(méi)有球，故4塊“檔板”與10個(gè)球一樣也要參與排成一列而占位置，故有 種選法。 （九）不同元素進(jìn)盒，先（九）不同元素進(jìn)盒，先分堆再排列分堆再排列 對(duì)于不同的元素放入幾個(gè)不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于2個(gè)元素時(shí)，不可分批進(jìn)入，必須先分堆再排入。 例例11： 5個(gè)老師分配到3個(gè)班搞活動(dòng)，每班至少一個(gè)，有幾種不同的分法？ 易錯(cuò)題 編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)小球分給3個(gè)小朋友，每人至少一個(gè)，有多少種分法？ 以上介紹了排列組合應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)求解策略，這些策略不是彼此孤