江蘇省2020屆高三尖子生班3月調(diào)研考試數(shù)學試題含附加題(共18頁)

1、2020屆高三尖子生班3月調(diào)研考試數(shù)學試題 注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求.1. 本試卷包含填空題（第1題-第14題）、解答題（第15題-第20題）.本卷滿分160 分 考試時間為120分鐘.2. 答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在規(guī)定位置.3. 請在答題卡上按順序在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色簽字筆.注意字體工整，筆記清楚.4. 如需作圖，需用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.5. 保持答題卡卡面清潔，勿折疊、破損.一律不準用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆數(shù)學（一） 2020.3一、填

2、空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分請把答案寫在答題卡相應位置上1已知集合，則= 2在“一帶一路”（英文：The Belt and Road，縮寫B(tài)&R）知識問答競賽中，“江蘇”代表隊的七名選手的比賽成績的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的方差為 3復數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，為復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)的模為 4 隨機擲出5個標準的骰子，得到5個點數(shù)之和是11的概率為 5 執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則輸出的a的值是 6 曲線與的四個交點所在圓的方程是 7 已知，則的值是 8 在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上.若，則 的最小值是 9 設橢圓）

3、的左焦點為，過橢圓上一點作橢圓的切線交y軸于點若,則此橢圓的離心率為 10在正方體盒子里放入四個半徑為1的球，恰好使得兩個球在下方，另外兩個在上方，每個球都和其他球相切，且它們都和正方體的三個面相切.則這個正方體的棱長為 11已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為2，正數(shù)= 12定義數(shù)列，先給出，接著復制該項，再添加1的后繼數(shù)2，于是，接下來再復制前面所有項，之后再添加2的后繼數(shù)3，如此繼（1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1.）設是的前n項和，則= 13 已知，分別為其左右焦點，為上任意一點，為 平 平分線與x軸交點，過作垂線，垂足分別為M,N,求的最大值 14 已知，且， 則的最大值為 二、解

4、答題：本大題共6小題，共90分.解答時需寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15（本小題滿分14分）如圖，已知四點共面，且, ,. （1） 求；（2） 求.16.（本題滿分14分）如圖,在多面體中，四邊形是菱形，相交于點,平面平面,是中點.(1) 求證：直線平面(2) 求證：直線平面17 （本題滿分14分）如圖，河的兩岸分別有生活小區(qū)和，其中三點共線，與的延長線交于點，測得若以所在直線分別為 x，y軸建立平面直角坐標系xy，則河岸可看成是曲線（其中是常數(shù)） 的一部分，河岸可看成是直線（其中k，m為常數(shù)）的一部分.(1) 求的值(2) 現(xiàn)準備建一座橋,其中M,N分別在DE,AC上，且,的橫坐標為t

5、.寫出橋的長關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并標明定義域；當t為何值時取到最小值?最小值是多少?18 （本題滿分16分）平面直角坐標系中，點是橢圓上任一點，直線截所得的弦MN被OP平分且（1） 判斷四邊形OMPN的形狀；（2） 求PM與的公共點數(shù).19 （本題滿分16分）已知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若有兩個不同的零點.求的取值范圍；證明:當時，20 （本題滿分16分）今有一個“數(shù)列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項，將這樣的操作記為操作。設數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列

6、。（1） 若，進行操作后得到，設前n項和為求.是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由.（2）若，對進行與操作得到，再將中下標除以4余數(shù)為0，1的項刪掉最終得到證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和.2020屆高三尖子生班3月調(diào)研考試數(shù)學試題數(shù)學（二）附加題 2020.0注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求.6. 本試卷包含填空題（第1題-第14題）、解答題（第15題-第20題）.本卷滿分160 分 考試時間為120分鐘.7. 答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在規(guī)定位置.8. 請在答題卡上按順序在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在

7、其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色簽字筆.注意字體工整，筆記清楚.9. 如需作圖，需用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.10. 保持答題卡卡面清潔，勿折疊、破損.一律不準用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆21 選做題（在A、B、C三小題中選做2題，若多做按前兩題計分，每小題10分，計20分請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).）A （選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣，向量，計算B （選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在極坐標系中，圓的方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被截得的弦的長度.C.（選修4-5：不等式選講）已知為

8、正數(shù)，且，求證.必做題（第22、23題，每小題10分，計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）22 （本小題滿分10分）（第22題）如圖，在三棱錐中，且，分別為 中點，平面，（1）求直線與直線夾角的余弦值；（2）求直線與平面夾角的正弦值23 （本小題滿分10分）（1） 設數(shù)列滿足,用數(shù)學歸納法證明.（2）證明：對任意自然數(shù)，都有2020屆高三尖子生班3月調(diào)研考試數(shù)學試題 數(shù)學（一）（參考答案） 2020.3一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分請把答案寫在答題卡相應位置上1已知集合，則= 2在“一帶一路”（英文：The Belt and Road，縮寫B(tài)&R）知識問答競賽

9、中，“江蘇”代表隊的七名選手的比賽成績的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的方差為 3復數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，為復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)的模為 5 隨機擲出5個標準的骰子，得到5個點數(shù)之和是11的概率為 8 執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則輸出的a的值是 129 9 曲線與的四個交點所在圓的方程是 10 已知，則的值是 8 在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上.若，則 的最小值是 15 9 設橢圓）的左焦點為，過橢圓上一點作橢圓的切線交y軸于點若,則此橢圓的離心率為 10在正方體盒子里放入四個半徑為1的球，恰好使得兩個球在下方，另外兩個在上方，每個球都和其他球相

10、切，且它們都和正方體的三個面相切.則這個正方體的棱長為 11已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為2，正數(shù)= 或 3 12定義數(shù)列，先給出，接著復制該項，再添加1的后繼數(shù)2，于是，接下來再復制前面所有項，之后再添加2的后繼數(shù)3，如此繼（1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1.）設是的前n項和，則= 3990 14 已知，分別為其左右焦點，為上任意一點，為 平 平分線與x軸交點，過作垂線，垂足分別為M,N,求的最大值 15 已知，且， 則的最大值為 二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答時需寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15（本小題滿分14分）如圖，已知四點共面，且, ,. （3） 求；（4）

11、 求. 解：（1）在中，因為，所以由正弦定理知，所以 5分（2）在中，由余弦定理知，故，解得或（舍）8分由已知得是銳角，又，所以.所以11分在中，由余弦定理知，解得14分16.（本題滿分14分）如圖,在多面體中，四邊形是菱形，相交于點,平面平面,是中點.(3) 求證：直線平面(4) 求證：直線平面20 （本題滿分14分）如圖，河的兩岸分別有生活小區(qū)和，其中三點共線，與的延長線交于點，測得若以所在直線分別為 x，y軸建立平面直角坐標系xy，則河岸可看成是曲線（其中是常數(shù)） 的一部分，河岸可看成是直線（其中k，m為常數(shù)）的一部分.(3) 求的值(4) 現(xiàn)準備建一座橋,其中M,N分別在DE,AC上，

12、且,的橫坐標為t.寫出橋的長關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并標明定義域；當t為何值時取到最小值?最小值是多少? （1）解：由題意得：OD=BC=4，OB=FC， D（0， ），E（3，4），A（ ，0），C（ ，4），把D（0， ），E（3，4）代入y= 得： ，解得：a=4，b=7，把A（ ，0），C（ ，4）代入y=kx+m得： ，解得：k= ，m=2（2）解：由（1）得：M點在y= 上， M（t， ），t0，3，橋MN的長l為MN到直線y= x2的距離，故l=f（x）= = |4t+ 9|，t0，3；由得：f（t）= |4t+ 9|= |4（t4）+ +7|，而t40， 0，4（t4）+ 2 =1

13、2，當且僅當4（t4）= 時即t=  “=”成立，f（t）min= |12+7|=1答：當t=時取到最小值，為1km21 （本題滿分16分）平面直角坐標系中，點是橢圓上任一點，直線截所得的弦MN被OP平分且（3） 判斷四邊形OMPN的形狀；（4） 求PM與的公共點數(shù).（1） 解：聯(lián)立直線與C2：得， 設，則. ,MN=,又k，相減化簡得,即.又，化簡得：.再設，由.而，故t=1.設0到MN的距離為，則，即O,P到MN的距離相等，故OP被MN平分，所以OMPN是平行四邊形.（2）解： 由上一問知，所以，化簡得，故，所以，得.顯然，故PM與C2相切，公共點數(shù)為122 （本題滿分16分）已

14、知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若有兩個不同的零點.求的取值范圍；證明:當時，（1） 解：解：易知a=0時，只有一個零點，舍去.當時，的零點即為的零點.當時，單調(diào)，至多一個零點，舍去.當時，在增，在減，在增，又,此時至多一個零點，舍去.當時，圖像連續(xù)而不間斷，故有兩個零點.當時，在增，在減，在增，同理知只需，圖像連續(xù)而不間斷，故有兩個零點.綜上所述，.解：由上一問知此時令，則，又注意到，則.由題意知，且，結(jié)合單調(diào)性知，故，化簡得：，同理可得，聯(lián)立兩式得：，由，化簡即得欲證不等式.24 （本題滿分16分）今有一個“數(shù)列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項，并將剩下

15、的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項，將這樣的操作記為操作。設數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列。（2） 若，進行操作后得到，設前n項和為求.是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由.（2）若，對進行與操作得到，再將中下標除以4余數(shù)為0，1的項刪掉最終得到證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和.（1） 解：由知：當時，故. 則. 解：假設存在，由單調(diào)遞增，不妨設 化簡得，顯然左式為偶數(shù)，右式為奇數(shù)，矛盾，故不存在.(5) 解：易知，所以保留，則.又，將刪去，得到，則也即.記，下面證明：.由，知：，同理可得：，合并以上四式

16、，便證明了對任意的，都有.因此，原命題得證.2020屆高三尖子生班3月調(diào)研考試數(shù)學試題數(shù)學（二）附加題(參考答案) 2020.025 選做題（在A、B、C三小題中選做2題，若多做按前兩題計分，每小題10分，計20分請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).）C （選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣，向量，計算解：因為，由，得或 2分當時，對應的一個特征向量為；當時，對應的一個特征向量為 5分設，解得,所以 10分D （選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在極坐標系中，圓的方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被截得的弦的長度.解：的方程化為，兩邊同乘以，得由,得5分其圓心坐標為，半徑,又直線的普通方程為,圓心到直線的距離,弦長10分C.（選修4-5：不等式選講）已知為正數(shù)，且，求證.解：已知為正數(shù)，且，故有 故.必做題（第22、23題，每小題10分，計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）26 （本小題滿分10分）（第22題）如圖，在三棱錐中，且，分別為 中點，