數(shù)列創(chuàng)新題的基本類(lèi)型及求解策略(含答案)

1、精品資料數(shù)列創(chuàng)新題的基本類(lèi)型及求解策略高考創(chuàng)新題，向來(lái)是高考試題中最為亮麗的風(fēng)景線(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題著重考查觀察發(fā)現(xiàn)，類(lèi)比轉(zhuǎn)化以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力當(dāng)然數(shù)列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點(diǎn)考查的一種類(lèi)型下舉例談?wù)剶?shù)列創(chuàng)新題的基本類(lèi)型及求解策略一、創(chuàng)新定義型例 1 已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 anlog n 1 (n2) （ n N），定義使 a1a2a3 Lak 為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù)，則區(qū)間1, 2005 內(nèi)所有的企盼數(shù)的和M_解： anlog n 1(n2) （ nN ）， a1a2 a3 .aklog 2 3log 3 4Llog k1 (k 2)log2 (k2)要使 log 2 ( k2)

2、為正整數(shù)，可設(shè)k( n)22n 1 ，即 k(n) 2n 12 （ nN ）令1 2n 12 20051 n 9 （ nN ）則區(qū)間 1, 2005 內(nèi)所有企盼數(shù)的和99(2 n 1(2 2(232) (24(210Mk(n)2)2)2) .2)n 1n 1(2 22324. 210 )2922 (291) 182056 ，21 M2056 評(píng)析：準(zhǔn)確理解企盼數(shù)的定義是求解關(guān)鍵解題時(shí)應(yīng)將閱讀信息與所學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，側(cè)重考查信息加工能力二、性質(zhì)探求型nn1,2,3,4,5,6例 2 已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 anan 3，則 a2005 _n 7解：由 anan 3 ， n 7 知， an6an 3

3、an 從而當(dāng) n 6 時(shí)，有 an an 6 ，于是知 a2005a334 6 1a1 1 評(píng)析：本題主要通過(guò)對(duì)數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而達(dá)到化歸轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的目的其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵三、知識(shí)關(guān)聯(lián)型可編輯修改精品資料例 3 設(shè)是橢圓x2y21 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21 個(gè)不同的點(diǎn) Pi (i 1, 2, 3,L ) ，76使 PF1, PF2 ,PF3, L組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍為_(kāi)PF解析：由橢圓第二定義知iePFie PPii ，這些線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為右焦點(diǎn)到右PPi i頂點(diǎn)的距離即FP171 ，最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即PF217 1 ，故若公差d 0 ，則

4、7171 ( n1)d ， n21 21， 0d 1 同理，若公差 d0 ，d10則可求得1 d0 10評(píng)析：本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起，形式新穎，內(nèi)容深遂，有一定的難度，可見(jiàn)命題設(shè)計(jì)者的良苦用心解決的關(guān)鍵是確定該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公求出公差的取值范圍四、類(lèi)比聯(lián)想型a1a2a3 Lan(n N ) 也是等差例 4 若數(shù)列 an ( n N ) 是等差數(shù)列， 則有數(shù)列 bnn數(shù)列；類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列 cn 是等比數(shù)列，且cn0 ，則有數(shù)列 dn_也是等比數(shù)列解析：由已知“等差數(shù)列前 n 項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類(lèi)比聯(lián)想“等比數(shù)列前n 項(xiàng)的幾何平

5、均值也應(yīng)該是等比數(shù)列”不難得到dnn c1 c2c3 L cn 也是等比數(shù)列評(píng)析：本題只須由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對(duì)比猜想不難挖掘問(wèn)題的突破口五、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型例 5 將自然數(shù) 1, 2, 3, 4, L 排成數(shù)陳（如右圖） ，在處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎，在轉(zhuǎn)第二個(gè)彎，在轉(zhuǎn)第三個(gè)彎， ，則第 2005 個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為 _可編輯修改精品資料21 22 23 24 25 26|207 891027|1961 211|1854312|17 16 15 14 13解：觀察由起每一個(gè)轉(zhuǎn)彎時(shí)遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, L ”故在第2005 個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為：12(1 2 3 L

6、 1002)1003 1006010 評(píng)析：本題求解的關(guān)鍵是對(duì)圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)具體解題時(shí)需要較強(qiáng)的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力因此，它在高考中具有較強(qiáng)的選拔功能六、圖表信息型例 6 下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：（）（） （）a1j（） （） （） a2 j（） （） （） （） （） a3 j（） （） （）（） （）a4 jai1ai 2ai 3ai 4ai 5aij其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij 表示位于第行第j 列的數(shù)寫(xiě)出 a45 的值；寫(xiě)出 aij 的計(jì)算公式；證明：正整數(shù)在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N1可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積解： a4549 （詳見(jiàn)第二問(wèn)一般性

7、結(jié)論）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列：a1 j43( j1)；第二行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列：a2 j75( j1)，可編輯修改精品資料第行是首項(xiàng)為43(i1) ，公差為 2i1的等差數(shù)列，因此 aij43(i1)(2i1)( j1)2ijiji (2 j1)j ；必要性：若在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i , j 使得 Ni (2 j1)j ，從而 2 N12i (2 j1)2 j1(2i1)(2 j1) 即正整數(shù) 2N1可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積充分性：若2N1 可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積，由于2 N1 是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k ，l ，使得

8、 2N1(2k1)(2l1) ，從而 Nk (2l1)lakl可見(jiàn)在該等差數(shù)陣中綜上所述，正整數(shù)在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N1可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積評(píng)析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力求解關(guān)鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式七、“楊輝三角”型例 7 如圖是一個(gè)類(lèi)似“楊輝三角”的圖形，第行共有個(gè)數(shù)，且該行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是，中間任意一個(gè)數(shù)都等于第n 1行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和，an,1 , an,2 , .an,n (n1, 2, 3, L ) 分別表示第行的第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，第個(gè)數(shù)求 an ,2 (n 2

9、且 nN ) 的通項(xiàng)式122343477451114115.解：由圖易知a2,22, a3,24,a4,2 7,a5,211, L 從而知 an,2 是一階等差數(shù)列，即a3,2a2,22.(1)a4,2a3,23.(2)a5,2a4,24.(3).an ,2a( n1),2n 1.(n1)以上 n 1 個(gè)式相加即可得到：an ,2a2,223 4 .(n(n1)(n2)(n 1)(n 2)1)2an ,222可編輯修改精品資料2nn2即 an ,2(n 2 且 nN )2評(píng)析：“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)問(wèn)題求解這類(lèi)題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行項(xiàng)與行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成一階 （或二階）等差數(shù)列結(jié)合求和方法來(lái)求解有興趣的同學(xué)不妨求出aij (i , jN 且 i j ) 的通項(xiàng)式八、閱讀理解型例 8 電子計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表：十進(jìn)制二進(jìn)制100101110觀察二進(jìn)制位數(shù)，位數(shù)，位數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是解：通過(guò)閱讀，不難發(fā)現(xiàn)：1120,2020121,3120121，4020021122，5120021122，進(jìn)而知 7120121122，寫(xiě)成二進(jìn)制為111于是知二進(jìn)