數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)法指導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)法指導(dǎo)【內(nèi)容綜述】本講就數(shù)學(xué)學(xué)法中常用的幾個(gè)策略作了介紹，第一就是要不斷掌握有用的先進(jìn)武器數(shù)學(xué)公式、定理；第二，要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)理解，在一些利用概念分析，可能減少計(jì)算一的試題中，應(yīng)盡量減少計(jì)長算量，提高解題效率；第三，提供了一個(gè)面對(duì)較難試題的思維策略：反客為主，欲擒故縱第四，其它【要點(diǎn)講解】§ 1. 武器精 ,巧解題若能不斷掌握一些有用的課外公式 ,無論是解高考試題 ,還是解數(shù)競試題都是有用的，尤其是高考現(xiàn)今強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新，出活題考能力；而高中數(shù)競一試又往高考靠，并且數(shù)競從來就是在出活題考能力（當(dāng)然它要求的知識(shí)面更廣，基礎(chǔ)更堅(jiān)深），二者關(guān)系極為密切，這一節(jié)，我們介紹兩個(gè)

2、課外的有用公式實(shí)理，供大家參考。1等差數(shù)列中，證明例 1.設(shè)等差數(shù)列滿足且Sn 為其前 n 項(xiàng)之和，求Sn 中最大者。（ 1995 高中全國數(shù)競賽題）分析：若等差數(shù)列中，滿足則 Sn 最大?；虍?dāng)Sn=Sm 時(shí)，取最大值解：由題設(shè)：得故由等差數(shù)列前n 項(xiàng)和是二次函數(shù)，可見說明本題若用常規(guī)解法，就需由題設(shè)是最大和，求得再去解求得 n=20.計(jì)算量較大。例 2.等差數(shù)列，（ 1995 年全國高考試題）的前n 項(xiàng)和分別為Sn 與T n，若分析本題若按解答題做，推理、論證計(jì)算相當(dāng)繁雜，但若利用公式就非常簡單解例 3.設(shè)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為 Sn,已知,求公差 d 的取值范圍 .精選文庫解 :即又故2三

3、面角余弦公式在如圖三面角O ABC 中。設(shè)面角AOB=Q, AOC=Q 1， BOC=Q 2, 二面角 A OC B大小為，則有公式，稱為三面角余弦公式或三射線定理。當(dāng)時(shí)，就是主幾課本中復(fù)習(xí)題的公式。它的證明可在如圖的基礎(chǔ)上，作 CA 、 CB 分別垂直 OC、于 C、連 AB ，分別在 AOB 、 AOC 、 BOC 得用三角函數(shù)可分別將 AB 、BC 、AC 用Q、 Q1 、Q2 及 OC 的關(guān)系表出，最后再在 ABC 中利用余弦定理求得公式本公式無論在高考試題還是競賽試題,多有應(yīng)用。例 4.已知二面角M AB N 是直二面角， P 是棱上一點(diǎn)， PX 、PY 分別在平面M 、N 內(nèi)，且。

4、求大小 ?(1964,北京賽題 )解 :利用三面角余弦公式得例 5.已知四面體S ABC 中，設(shè)以SC 為棱的二面角為，求與、關(guān)系。-2精選文庫解：由三面角余弦公式及題設(shè)，得，故有解之，得例 6.已知正四棱錐P ABCD 的側(cè)面與底面夾角為L ，相鄰兩側(cè)面的夾角為,求證：（ 1981 上海競賽題）證：設(shè) PO 是棱錐的高， O 是底面 ABCD 的對(duì)角線交點(diǎn)作 OEAD ，則 PEAD ，從而 PEO 是側(cè)面與底面所成角；作 BF PC，連 DF，易證 DFB 即兩側(cè)面間所成二面角的平面角.設(shè)側(cè)棱長為a，底面邊長為b。則側(cè)高為，則由三面角余弦公式有=又由三面角P BCD 知例 7.如圖正方形A

5、BCD所在平面與正方形ABEF所在平面成面角，則異面直線AD與 BF 所成角的余弦是_ 。（ 1996 年全國高考試題）-3精選文庫解 AD ， BF 所成角，即BC 與 BF 所成角，由三面角余弦公式，有說明：由上面幾道在高中競賽或全國高考試題解答中，顯然課外的公式，擔(dān)供了極其簡捷的解法，若不用這二公式，盡管問題也能解決，但要繁雜得多這里我們才給了兩個(gè)課外的有用公式，在本教程的其它章節(jié)，更介紹了許多有用的方法和公式定理，也希望同學(xué)們在今后的解題實(shí)踐中，不斷總結(jié)，發(fā)現(xiàn)更多更好的解題方法，策略和武器，為不好數(shù)學(xué)，爭取得更大成績而努力，§ 2 大概念 小計(jì)算要學(xué)好數(shù)學(xué)，一定要重視概念的學(xué)

6、習(xí)例 8. 已知集合的值。（ 1987全國賽題改編）分析：根據(jù)集合元素的互異性，由 N 知 X，Y 皆不為 0，又由 M=N，故知 可見 ，從而 xy=1 ，進(jìn)而 x、 y 可求解：由題設(shè)知x、y且 xy=1，且 M=N，解方程組得 x=y=-1 ，舍去 x=y=1( 與元素互異矛盾 )代入原式 =-2+2-2+ -2= -2.說明：這時(shí)重在概念分析，計(jì)算量較小。也可發(fā)先就x、 y 是否為 1 討論后得出原式=4002或；進(jìn)而去求x、 y 的值，舍去4002- 解，得出 -2 的正確結(jié)論。例 9. 過拋物線的焦點(diǎn) F 作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段 PF與 FQ的長分別是p、q，求的值（

7、 2000 年全國高考）分析：本題若按解答題作，需對(duì)一般情況進(jìn)行計(jì)算，比較繁雜，而若概念清楚，再結(jié)合拋物線道徑長，可見令p=q 即可迅速求解。解 令 p=q，則-4精選文庫由拋物線，可見，根據(jù)通徑長為，應(yīng)選 C。例 10 如圖 , OA 是圓錐底面中心 O到母線的垂線， OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分。求母線與軸的夾角的余弦值分析若能洞察旋轉(zhuǎn)體體積求法真諦，本題從題設(shè)可轉(zhuǎn)化為以PO原圓錐體積之半，于是可輕松地得出方程解 設(shè)原圓錐母線長為1，則底半徑經(jīng)，（為圓錐頂角之半），高，設(shè) AD PO于 D，則于是由，得解得，應(yīng)選 C說明：在這一節(jié)中，我們主要介紹了解題中減少計(jì)算量的一

8、種方法，希望同學(xué)們加強(qiáng)概念理解，盡量通過多思，找到巧解妙算解決問題的辦法。在今后的章節(jié)中，我們還會(huì)介紹更多的不同于課內(nèi)知識(shí)的數(shù)學(xué)概念和方法，希望大家能夠認(rèn)真學(xué)習(xí)，掌握各類問題的解法。§ 3 反客為主，欲擒故縱數(shù)學(xué)習(xí)題的解決，往往都不是一帆風(fēng)順而是充滿艱險(xiǎn)的。例 11.若試求的值分析欲求有關(guān)的下弦，要先去求有關(guān)的函數(shù)關(guān)系(), 然后再消去從而得出的欲求值 ,這種策略 ,不妨稱之為“反客為主，欲擒故縱，”在很我場合這種策略行之有效。解 由得由得-5精選文庫.于是化簡得(已舍絕對(duì)值 >1 的另根 )例 12.已知求證：分析題設(shè)中有的三角函數(shù)，并有參數(shù)a、b、 c。但題斷中不含的三角函

9、數(shù)，可見應(yīng)設(shè)法消去，為此應(yīng)先求出關(guān)于 a、 b、 c 的關(guān)系，再設(shè)法消去。證：由已知易得由可見代入，再化簡即得說明：這一節(jié)，我們介紹了一種遇到疑難問題時(shí)，可能采用的解決問題的思想方法，也即是戰(zhàn)爭中的正面強(qiáng)改不下時(shí)，就考慮迂回進(jìn)攻的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)，在數(shù)學(xué)競賽試題的解決中，應(yīng)時(shí)刻準(zhǔn)備應(yīng)予這種情況的出現(xiàn)。例 13.當(dāng) x=-1, x=0, x=1, x=2 時(shí)，多項(xiàng)式 取整數(shù)值，求證：對(duì)于所有整數(shù) X ，這個(gè)多項(xiàng)式都取整數(shù)值。 （ 1988 俄）證：注意到（ ）由題設(shè)知d=p(0), a+b+c+d=p(1),都是整數(shù)，故a+b+c 也是整數(shù)。又p(-1)=2b-(a+b+c)+d是整數(shù)，故2b 也是整數(shù)

10、，而p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d是整數(shù)，可見6a 也是整數(shù)。又易證是整數(shù)，從而由（ ）可證各P(x)是整數(shù)。說明為證 P（ x）是整數(shù)，就需證明a、 b、 c、 d 是整數(shù)系數(shù)，這里借助于構(gòu)造 式 ,轉(zhuǎn)證 6a、 2b， a+b+c， d 為整數(shù)，從而證出p（ x）是整數(shù)，這也是迂回證法，競賽數(shù)字中采用的方法很多，希望大家認(rèn)真,能認(rèn)真堅(jiān)持學(xué)習(xí)。-6精選文庫【同步達(dá)綱練習(xí)】1試通過已知錐體, 臺(tái)體公式，概括出一般的擬柱體公式其中分別表示上、下底面積，表示中截面積。用上述公式求解若三棱柱ABC中，若 E、F 分別為 AB，AC中點(diǎn)，平面EF 將三棱柱分成體積為，的兩部分 , 則：=_. （ 1990 年全國高考題） 2. 設(shè) |m| 2，試求關(guān)于 x 的不等式恒成立的 x 取值范圍 3. 關(guān)于 x 的方程有實(shí)根 , 求實(shí)數(shù) a 的取