北航應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題及參考解答

1、北航2010應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題及參考解答09B一、填空題(每小題3分，共15分)y2 + 1/2b設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(O, 4),而(XPX2.,X15)是來自X的樣本，則U = 一牛 2( X + + Xj) 服從的分布是.解：F(1O,5).2, 玄是總體未知參數(shù)o的相合估汁量的一個(gè)充分條件是.解：limE(a)= 0 limVar(&) = 0.“f oc/r»3, 分布擬合檢驗(yàn)方法有_與解：才檢驗(yàn)、柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn).4, 方差分析的目的是解：推斷齊因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響是否顯著.5, 多元線性回歸模型Y=XB + £中，B的最小二乘估計(jì)B的協(xié)方差矩陣Cov(

2、/9) =_解：C0V(b) = b2(X%)=二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1,設(shè)總體XN(1, 9), (X,X2，X9)是X的樣本，則N(0, 1):(B)y_iN(0, 1)：(C)(D)X-1 N(0、1)2, 若總體XNg R),其中/已知，當(dāng)樣本容量"保持不變時(shí)，如果置信度1 a減小，則“的 宜信區(qū)間B_.(A) 長度變大：(B)長度變?。?C)長度不變：(D)前述都有可能.3, 在假設(shè)檢驗(yàn)中，就檢驗(yàn)結(jié)果而言，以下說法正確的是(A) 拒絕和接受原假設(shè)的理由都是充分的：(B) 拒絕原假設(shè)的理由是充分的，接受原假設(shè)的理由是不充分的：(C) 拒絕原假設(shè)的理由是不充分的

3、，接受原假設(shè)的理由是充分的：(D) 拒絕和接受原假設(shè)的理由都是不充分的.4, 對(duì)于單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型，設(shè)»為總離差平方和，»為誤差平方和，Sa為效應(yīng)平方和，則總有<D） S.、與»相互獨(dú)立.5, 在多元線性回歸分析中，設(shè)B是B的最小二乘估計(jì). XB是殘差向量，則 衛(wèi)(A) E(s) = 0K:(B)cov()= o-2/n -x(xxylxf:八，八(D) (A)、(B). (C)都對(duì).（C） 毗是b，的無偏估計(jì);n _ p _ 1三.（本題10分）設(shè)總體XN（“，/）、丫Na®/）, （X“X2,X®）和（乙必，比）分別是來自

4、X和Y的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，乂、7和S；、S；分別是它們的樣本均值和樣本方差，證明/（77| + 心一2）,其中 s?=（耳+（"2 _i）sn + n2 _ 2證明：易知X-rTV-A，+ ),” =（%_力一（“廠乂）MO D由定理可知由獨(dú)立性和z2分布的可加性可得V =（"廠竽+才（耳+冬_ 2）.由U與V得獨(dú)立性和t分布的左義可得C賓心=卩/（卄-2）-" m四.（本題10分）設(shè)總體X的概率密度為fxO） = 120'12(1-&)0,0<x<V 其中參數(shù)&(Ov&vl)其他,未知，(X” X"，

5、X是來自總體的一個(gè)樣本，乂是樣本均值，(I)求參數(shù)e的矩估計(jì)量6：(2)證 明40不是少的無偏估計(jì)量.解：(1)/ +x6 X dx = + 8 2（1 。）42e（x）=l 55心匚-4.令X=E(X)>代入上式得到&的矩估計(jì)量為0 = 2X-.2E（4X2） = 4EX2 =4DX+（EX）2 = 4= ?DX+丄+ 8 + 0, n 4因?yàn)镈(X)>0, &>0,所以E(4X2)>2.故4乂$不是少的無偏估計(jì)量五、(本題10分)設(shè)總體X服從0, 0 (0 > 0)上的均勻分布，X“)是來自總體X的一個(gè) 樣本，試求參數(shù)&的極大似然估計(jì).

6、解；X的密度函數(shù)為I， 0<x<6>0, 其他，似然函數(shù)為L(e)=*, 0 v 壬 v &,? = 1,2,y0,其它顯然&>0時(shí)，厶(&)是單調(diào)減函數(shù)，而&nmaxHK，兀卜所以& = maxX£2，X訃是&的 極大似然估汁.六、(本題10分)設(shè)總體X服從B(l, p)分布,(X”X2,X”)為總體的樣本,證明乂是參數(shù)”的一 個(gè) UMVUE.證明：X的分布律為/（x； p） = p"（l - p）= x = 0,1.容易驗(yàn)證f(x; p)滿足正則條件，于是KM = E ln/（x;p）P(l-P)另

7、一方而即X得方差達(dá)到C-R下界的無偏估il M,故產(chǎn)是"的一個(gè)UMVUE.七、（本題10分）某異常區(qū)的磁場強(qiáng)度服從正態(tài)分布Ngb、由以前的觀測可知“0=56 現(xiàn)有一臺(tái)新儀器，用它對(duì)該區(qū)進(jìn)行磁測，抽測了 16個(gè)點(diǎn),得元= 61, £=400,問此儀器測出的結(jié)果與以往相比是否有明顯的差異（a =0. 05）附表如下:t分布表nn =0. 1a =0. 05a =0. 025141. 34501. 76132. 1448151. 34061. 75312. 1315161. 33681. 74592. 1199na 二0 1a 二0 05a 二0. 0251421. 06423.

8、 68526. 1191522. 30724. 99627. 4881623. 34224.29628. 845x"分布表解：設(shè)弘：“ = “u=56構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確上拒絕威的形式?由a = OO5,左出臨界值Q/2 =/（）,025 =2.1315 ,從而求出拒絕域站>21315而” = 16,無= 60,從而1/1= ¥7長60 5620皿=0.8<2.1315,接受假設(shè)即認(rèn)為此儀器測出的結(jié)果與以往相比無明顯的差異.A> （本題io分）已知兩個(gè)總體x與丫獨(dú)立，“2, si b；未知,XQ和人出）分別是來自X和丫的樣本，求塵的宜信度為1a的宜信區(qū)間.解：設(shè)S；, S；分別表示總體X, 丫的樣本方差，由抽樣分布定理知Pa/2（"1 1丿2 1）V F < 0|_a/2（"l 一 1） = 1 &，一心<企<.W< 匚a/2（&