單因素方差分析在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

1、單因素方差分析在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用摘要:在詳細(xì)闡述單因素方差分析原理的基礎(chǔ)上，通過兩個(gè)具體的數(shù)學(xué)建模案例，說明單因素 方差分系的應(yīng)用及與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系,并利用Mat lab實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)案例的求解。在數(shù)理統(tǒng)汁 的授課過程中，這種結(jié)合不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能培養(yǎng)學(xué)生自己動手、解決問題的 能力。關(guān)鍵詞:單因素方差分析;數(shù)理統(tǒng)訃;數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用;假設(shè)檢驗(yàn)0引言方差分析又稱“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”，是由RA. Fisher發(fā)明的，用于對兩個(gè)及兩個(gè) 以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)。單因素方差分析是檢驗(yàn)在一種因素影響下，兩個(gè)以上總體 的均值彼此是否相等的一種統(tǒng)汁方法。由于單因素方差分析的原理抽彖、計(jì)算繁

2、瑣、導(dǎo)致教 學(xué)枯燥無味?；诖耍闹性敿?xì)闡述了單因素方差分析的原理，通過兩個(gè)具體的數(shù)學(xué)建模案例, 說明單因素方差分系的應(yīng)用及與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系，并利用Mat lab實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)案例的求解。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的授課過程中，這種從理論到應(yīng)用，再從應(yīng)用到上機(jī)實(shí)現(xiàn)的過程,讓學(xué)生體會到“學(xué)以致用”的真正含義，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也提高了學(xué)生的動手能力。1單因素方差分析原理設(shè)單因素A具有r個(gè)水平，分別記為Ai, A：,A：,在每個(gè)水平A： (i =1, 2, r)下，要考察 的指標(biāo)可以看成一個(gè)總體Xi (i =1,2,r)且Xi N(“ i, 02),水平Ai (i =1,2,r)下， 進(jìn)行m次獨(dú)立試驗(yàn)，樣本

3、記為Xu, i =1,2，,r, j =1,2,m, Xi廣N(“ i, ©2)且相互獨(dú)立。1. 1建立假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)為Ho： “ 1二112 二“ x，備擇假設(shè)為Hi： “ 1,心, “ x不全相等。由于 Xh - “ i 二記“二丄 2m 1, n =丄，at = “ i 一 , i =1, 2, , r,則nn數(shù)學(xué)模型為：X：.i = “ + at + £ i.i, i =1, 2, ,r, j =1, 2, , m2 n； ct i =0£ * 2 N(O, O 3),各個(gè)£ ij相互獨(dú)立，“ i和or 2未知故原假設(shè)改寫為:Ho： ai = a：

4、= = ar=0 (1)1. 2構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量為了構(gòu)造檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)星首先，需要找到引起Xij波動的原因。從質(zhì)二“+ ai+ 中可以看岀，若檢驗(yàn)假設(shè)為真，則總的波動純粹是隨機(jī)性引起的;若檢驗(yàn)假設(shè)為假則 X；j的波動是由第i個(gè)水平和隨機(jī)性共同引起的。因而，需要構(gòu)造一個(gè)量來刻畫X；j之間的波 動,并把引起波動的上述兩個(gè)原因用另外兩個(gè)量表示，這就是方差分析中的平方和分解法。1 1idX；-.二一Xi兒 x= - Snn引入 Si 二 SS(Xu-X)= E S (Xu -Xi-) + S S(Xi-X)= SE+ Sa又因?yàn)?Sa 二藝(X 十-X)二 S(ai+ s i- e )Se= S)= S S

5、 ( s u -.)。若H。成立,Sa只反映隨機(jī)波動，若H。不成立,Sa還反映了 A的不同水平效應(yīng)a 單從數(shù)值 上看，當(dāng)H。成立時(shí),9/ (r -1) Se/ (n - r)l,而當(dāng)H。不成立時(shí)，這個(gè)比值將遠(yuǎn)大于1。可 以證明：St/ a 2%2 (n -1) ;Se /% 2 (n- r) ; Sa / a 2%：(r -1),且 Se 與Sa 相互獨(dú)立。故構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 F = (n - r) Sa/ (r - 1)Se F(r -1, n - r) 1. 3對于給定的水平a,確定拒絕域由于H。不真時(shí),Sa值偏大，導(dǎo)致F值偏大。因此，1) 若F > Fx-a (r -l.n - r)時(shí)，

6、拒絕H。,表示因素A的各水平下的效應(yīng)有顯著差異；2) 若F < Fi-a (r -l.n - r)時(shí)，則接受H。,表示因素A的各水平下的效應(yīng)無顯著差異。1. 4將實(shí)際數(shù)據(jù)代入統(tǒng)計(jì)量F中，計(jì)算F值(如表1)并對Ho作出接受或拒絕的判斷 表1収因素方差分析表方差來源平方和自由度均方和F值因素ASar -1MSa = Sa/v -1F = MSa/HSe誤差ESen - rMSe = SE/n - r總和TStn -11. 5 Mat lab 實(shí)現(xiàn)處理均衡數(shù)據(jù)的用法為:p = anoval (x);處理非均衡數(shù)據(jù)的用法為:p = anoval (x, group), 返回值p是一個(gè)概率，當(dāng)p

7、> a時(shí)接受Ho2數(shù)學(xué)建模案例在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用2. 1案例1讓4名學(xué)生前后做3份測驗(yàn)卷，得到如表2的分?jǐn)?shù)，推斷3份測驗(yàn)卷測試的效果是否有顯著 性差異表2學(xué)生測試分?jǐn)?shù)表序號試卷A試卷B試卷C學(xué)生171.773.472.3學(xué)生271.572.672. 1學(xué)生370. 172.370.8學(xué)生470.672.271.6解:編寫程序如下:clc,.clearX =71.773.472. 371.572.672.170.172.370.870.672.271.6;P =anoval(x)xl = x(:, 1) ;x2 = x(:. 2);x3 = x(:, 3);hl, pl = tte

8、st2(xl, x2, 0. 05, 0)h2, p2 = ttest2(xl, x3, 0. 05, 0)hl, p3 = ttest2(x2, x3, 0. 05, 0)求得0. 01 < P =0. 0198 <0. 05,所以拒絕原假設(shè)，說明3份測驗(yàn)卷至少有2份測試的效 果有顯著性差異。通過雙正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的分析，得到hl二1,拒絕原假設(shè),說明第1份測 驗(yàn)卷與第2份測試卷測試的效果有顯著性差異,h2二0,h3二0,接受原假設(shè),說明第1份測驗(yàn) 卷與第3份測試卷、第2份測驗(yàn)卷與第3份測試卷測試的效果沒有顯著性差異，又因?yàn)閜2 二0. 2003, P3 =0. 0754,說明第

9、1份測驗(yàn)卷與第3份測試卷測試的效果更相似。這個(gè)案例 為同一時(shí)間需要區(qū)分A, B卷的出題老師，提供了較好的選擇。2. 2案例2從某學(xué)校同一年級中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，再將他們隨機(jī)分成4組，在2周內(nèi)4組學(xué)生都用 120分鐘復(fù)習(xí)同一組概率公式,第一組每個(gè)星期一復(fù)習(xí)一次60分鐘；第二組每個(gè)星期一和 三兩次各復(fù)習(xí)30分鐘；第三組每個(gè)星期二、四、六三次各復(fù)習(xí)20分鐘;第四組每天(星期天 除外)復(fù)習(xí)10分鐘。2周復(fù)習(xí)之后，相隔2個(gè)月再進(jìn)行統(tǒng)一測驗(yàn)，其結(jié)果如表3所示。推斷 這4種復(fù)習(xí)方法的效果之間有沒有顯著性差異？表3測試成績表序號第一組第二組第三組第四組1242930272262528313202132324

10、282730335222826630解:編寫程序如下:clc, clearX =;x = x (1:5), x (6:10), x (20), x (11:15), x (16:19);g = iones(l, 5), 2*nes(l, 6), 3*nes (1, 5), 4*nes(l, 4);p = anoval (x, g)xl = x(l:5);x2 = x(6:ll);x3 = x(12:16);x4 = x(17:20)l;hl, pl = ttest2(xl, x2, 0. 05, 0)h2, p2 = ttest2(xl, x3, 0. 05, 0)h3, p3 = ttest

11、2(xl, x4, 0. 05,0)h4, p4 = ttest2 (x2, x3, 0. 05, 0)h5, p5 = ttest2(x2, x4, 0. 05, 0)h6, p6 = ttest2(x3, x4, 0. 05, 0)求得0. 01 < P =0. 0140 <0. 05,所以拒絕原假設(shè),說明這4種復(fù)習(xí)方法中至少有2種復(fù) 習(xí)方法的效果之間有顯著性差異。通過雙正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的分析，得到hl二h4二h5二h6 二0,接受原假設(shè),說明第1種與第2種、第2種與第3種、第2種與第4種、第3種與第 4種復(fù)習(xí)方法的效果之間沒有顯著性差異。而h2 =h3=l,拒絕原假設(shè),說明第1種與第3種. 第1種與第4種復(fù)習(xí)方法的效果之間有顯箸性差異。案例2說明，復(fù)習(xí)方法應(yīng)該采用重復(fù) 記憶的方式，一次的復(fù)習(xí)時(shí)間也不能太短。3結(jié)語在實(shí)際授課過程中，將理論知識條理化，擴(kuò)充一些理論與實(shí)際相結(jié)合的例子,對于較復(fù)雜的ir 算方法利用mat lab實(shí)現(xiàn)，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對理論知識的理解，讓學(xué)生深刻體會到理論在 實(shí)際中的應(yīng)用，而且可以加強(qiáng)學(xué)生的動手操作能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，更有利于實(shí)現(xiàn)應(yīng) 用型人才的培