初三幾何5旋轉(zhuǎn)1基本模型(2014-2015)教師

1、 2014年中考解決方案旋轉(zhuǎn)1基本模型學生姓名：上課時間：旋轉(zhuǎn)1中考說明內(nèi)容基本要求略高要求較高要求旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題知識點一、旋轉(zhuǎn)有關(guān)概念旋轉(zhuǎn)基本概念見解決方案高分必備，請配合該課本使用二、旋轉(zhuǎn)秘籍（旋轉(zhuǎn)前提，有等線段）秘籍：四大旋轉(zhuǎn)全等模型（關(guān)鍵找伴隨全等三角形）解讀：等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來等腰三角形

2、旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等） 等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等） 等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等） 不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似） 旋轉(zhuǎn)秘籍：圖形中出現(xiàn)等腰三角形，常考慮將以腰為邊的某三角形繞等腰三角形的頂角所在的頂點旋轉(zhuǎn)一頂角后與另一腰重合圖形中出現(xiàn)等邊三角形，常考慮將含有等邊三角形邊長的某個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)角后與另一邊重合圖形中出現(xiàn)正方形時，?？紤]將含有正方形邊長的某個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)角后與另一邊重合中考滿分必做題等邊三角形【例1】 如圖，已知和都是等邊三角形，、在一條直線上，試說明與 相等的理由【答案】，又【鞏固】已知：如圖，點為

3、線段上一點，是等邊三角形求證：；是等邊三角形；平分【答案】第三問提示，往角兩邊作垂線，利用全等三角形高相等【例2】 平面上三個正三角形，兩兩共只有一個頂點，求證：與平分【答案】連接與，在與中在與中四邊形為平行四邊形，互相平分【例3】 已知，在中，為銳角，是射線上一動點(與不重合)，以為一邊向右側(cè) 作等邊(與不重合)，連接（1）若為等邊三角形，當點在線段上時(如圖1所示)，則直線與直線所夾銳角為_度；（2）若為等邊三角形，當點在線段的延長線上時(如圖2所示)，你在中得到的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）若不是等邊三角形，且(如圖3所示)試探究當點在線段上時，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立

4、？若成立，請說明理由；若不成立，請指出當滿足什么條件時，能使（1）中的結(jié)論成立，并說明理由 【答案】（1）；（2）成立是等邊三角形，是等邊三角形，即直線與直線所夾銳角為（3）原結(jié)論不成立當時，才能使中的結(jié)論成立當時，在上取一點，使得，則是等邊三角形，是等邊三角形，當時，能使中的結(jié)論成立等腰直角三角形【例4】 如圖，中，是中點，與交于，與 交于求證：， 【答案】連結(jié)，是中點且在與中，總結(jié)：若則【鞏固】 在等腰直角中，是的中點，點從出發(fā)向運動， 交于點，試說明的形狀和面積將如何變化 【答案】連接因為且，所以因為是的中點，所以，且，則因為，所以，所以，所以因此是等腰直角三角形，在的運動過程中形狀不變

5、的面積與邊的大小有關(guān)當點從出發(fā)到中點時，面積由大變?。划斒侵悬c時，三角形的面積最??；繼續(xù)向點運動時，面積又由小變大【鞏固】等腰直角三角形，為中點，試猜想，、三者的關(guān)系 【答案】如圖，過點作，交于，連結(jié)，易知，又，又，、又存在另一關(guān)系式 注意：關(guān)于三條線段的兩個結(jié)論【例5】 如圖1，已知中，把一塊含角的直角三角板的直角頂點放在的中點上(直角三角板的短直角邊為，長直角邊為)，將直角三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 在圖1中，交于，交于證明；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板與的重疊部分為四邊形，請說明四邊形的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積； 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，

6、延長交于，延長交于，是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由； 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明【答案】(1) 在中， 方法一：，方法二：四邊形的面積不發(fā)生變化； 由知：，(2) 仍然成立，證明：連結(jié)在中，(3) 【鞏固】在RtABC中，B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點O放在斜邊AC上，將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)（1）當點O為AC中點時， 如圖1， 三角板的兩直角邊分別交，于、兩點，連接，猜想線段、與之間存在的等量關(guān)系（無需證明）； 如圖2， 三角板的兩直角邊分別交，延長線于、兩點，連接，判斷中的猜想是否成立若成立，請證明

7、；若不成立，請說明理由；（2）當點O不是AC中點時，如圖3,，三角板的兩直角邊分別交，于、兩點，若，求的值 圖1 圖2 圖3【答案】（1） 猜想：. 成立. 證明：連結(jié). ,點為的中點,.，. 又，. 又, .在Rt中，, . AO BCEFMN（2）解：如圖，過點O作OMAB于M，ONBC于N.,. °, ,. 和為等腰直角三角形，.， . 正方形【例6】 如圖，正方形的頂點在正方形的中心，且兩個正方形的邊長都為4，則陰影部分面積 為 ( ) 2 4 6 8 【答案】【解析】圖中的陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形，直接求它面積比較困難如果把正方形看作可以繞著點轉(zhuǎn)動，那就轉(zhuǎn)動到右上圖位置

8、，陰影部分就變成一個正方形且面積不變易得它的面積是原來正方形面積的，所以答案選【鞏固】如圖，正方形繞正方形中點旋轉(zhuǎn)，其交點為、，求證：【答案】正方形中，而，注意：正方形的邊被覆蓋部分的總長度為定值：正方形的邊長【例7】 如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，、交于已 知、的長分別為、，求三角形的面積【答案】顯然，所以，所以，所以，則逆時針旋轉(zhuǎn)，則與重合，落在上是等腰直角三角形則，容易得到cm2所以cm2 【例8】 已知：四邊形ABCD是正方形，點E在CD邊上，點F在AD邊上，且AFDE （1）如圖1，判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)果，并加以證明；（2）如圖2，對角線AC與

9、BD交于點O BD，AC分別與AE，BF交于點G，點H求證：OGOH；連接OP，若AP4，OP，求AB的長 ABCDOPEF圖2GHABCDEFP圖1 (2013,7北京市西城八年級第二學期期末)【答案】（1）解： 理由如下：四邊形 是正方形， ，在 和 中， ， ， ， ， ， ， ；（2）證明：四邊形 是正方形， ， （已證）， ，即 ，在 和 中， ， ；解：如圖2，過點 作 于 ，作 于 ， （已證）， ，在 和 中， ， ，四邊形 是正方形， ， ， ， ，在 中， ，正方形 的邊長 AB=OA=×=2【例9】 如圖所示，在四邊形中，于，若四邊形 的面積是16，求的長【答案

10、】如圖，過點作，延長交于點，容易證得(實際上就是把逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)正方形的面積等于四邊形面積為，【例10】 如圖，正方形中，求證： 【答案】延長至，使得，連接易證得：，從而可得：，故【鞏固】如圖，正方形的邊長為，點在線段上運動，平分交邊于點（1）求證：（2）設(shè)()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時的值及若不存在，請說明理由【答案】（1）證明： 如圖，延長至點，使得，連結(jié)因為是正方形，在和中，又 是的平分線，即，即，得證（2），由知，所以在中，由上式可知，當達到最大值時，最大而，所以，當時，最大值為【例11】 如圖，一等腰直角三角尺的兩條直角邊與正方形的兩條邊分別重合在一起現(xiàn)正

11、方形保持不動，將三角尺繞斜邊的中點(點也是中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn)（1）如圖，當與相交于點，與相交于點時，通過觀察或測量，的長度，猜想，滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，線段的延長線與的延長線相交于點，線段的延長線與的延長線相交于點，此時，中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由【答案】證明如下：因為是等腰直角三角形，四邊形是正方形，所以，又，所以即仍然成立 理由是：因為是等腰直角三角形，四邊形是正方形，所以，所以又，所以所以真題拔高如圖，和均為等邊三角形，若，則_【答案】【解析】易知，從而，由知是一條高的一部分，不難算出答案為【例12】 已知中

12、，為邊的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當繞點旋轉(zhuǎn)到于時（如圖1），易證當繞點旋轉(zhuǎn)到和不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立? 若成立，請給予證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明【答案】圖2成立；圖3不成立證明圖2：過點作，則再證，有由信息可知SABC圖3不成立，、的關(guān)系是：【例13】 如圖，在中，、分別是、上的點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)、，得到圖，然后將、分別延長至、，使，連結(jié)、，得到圖，請解答下列問題：（1）若，請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：在圖中，與的數(shù)量關(guān)系是_；在圖中，猜想與的數(shù)量關(guān)系、與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）

13、若（），按上述操作方法，得到圖，請繼續(xù)探究：與的數(shù)量關(guān)系、與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明（09年朝陽二模） 圖 圖 圖 圖【答案】，證明：在和中，由題意知：，又，,，證明如下，,，又，,，,，【例14】 已知，中，為延長線上一點，點在的平分線上，且滿足是等邊三角形（1）求證：；（2）求點到的距離 【答案】 解法一：連結(jié) ， ，平分， ， 是等邊三角形， ， ， ， 是等邊三角形， 解法二：作交于，證明， 證明過程略 解法一：作于，于 ， 是等邊三角形，即點到的距離等于解法二：作于，以下同解法一【例15】 如圖1，若和為等邊三角形，分別的中點，易證：，是 等邊三角形（1）當把繞點旋轉(zhuǎn)到

14、圖2的位置時，是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當時，與及的面積之比；若不是，請說明理由【答案】（1）理由如下:和為等邊三角形 ， （2）是等邊三角形理由如下：， 分別是的中點， ， 是等邊三角形設(shè)，則，為等邊三角形，在中， 為中點， ，為等邊三角形，解法二：是等邊三角形理由如下： ，、分別是、的中點，是等邊三角形設(shè)，則，易證， ，為等邊三角形【例16】 已知：在四邊形中,， 點、分別在、上， 且，試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系.（1）如圖1，若， 則與之間的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖2，若， 你在（1）中

15、得到的結(jié)論是否發(fā)生變化? 寫出你的猜想，并加以證明； （3）如圖3，若， 你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化? 寫出你的猜想，并加以證明. （09年海淀二模） 圖1 圖2 圖3【答案】（1）與之間的數(shù)量關(guān)系為. （2）猜想：（1）中得到的結(jié)論沒有發(fā)生變化.證法一：如圖，過點作交于點， 則，. ，, . . ，. ，.， ， . . . 證法二：如圖，過點作交于點， 則.，. BAC=D， . .，. ， . ， 四邊形是等腰梯形. . . （3）猜想： .證法一：如圖，過點作， 交于點， 則. ， 同（2）可證，. . 即. 證法二：如圖，過點E作，交于點， 則. ， . 同（2）可證，. . 即 . 【例17】 如圖1，兩個等腰直角三角板和有一條邊在同一條直線上， 將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，交直線于點將圖1中的三角板沿直線向右平移，設(shè)、兩點間的距離為圖1 圖2 圖3 解答問題：（1）當點與點重合時，如圖2所示，可得的值為 ； 在平移過程中，的值為 （用含的代數(shù)式表示）； （