![《數(shù)值計算方法》試題集及答案_第1頁](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-12/15/e33a7768-8b4c-4064-ab1b-b9f3ca5a96cf/e33a7768-8b4c-4064-ab1b-b9f3ca5a96cf1.gif)
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文檔簡介
1、計算方法期中復習試題 一、填空題: 1 已知f0, f(2) 12 f(3) 3,則用辛普生(辛卜生)公式計算求得 3 小 x)dX - ,用三點式求得f(1) _。 答案:2.367,0.25 2、f1,f(2) 2,f(3) 1,則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為 _ 拉格朗日插值多項式為 _ 。 1 1 L2(X) -(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)尹 1)(x 2) 3、近似值 x* 0.231關于真值 x 0.229有(2 )位有效數(shù)字; 4、 設f(x)可微,求方程x f(x)的牛頓迭代格式是( ); Xn f(Xn) xn 1 xn 答案 1 f(Xn) 5、
2、對 f(x) x3 x j 差商 fl0,1,2,3】(1 ), f0,1,2,3,4 ( 0 ); &計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差; 7、用二分法求非線性方程 f (x)=0 在區(qū)間(a,b)內的根時,二分 n 次后的誤差限為 b a 2* 1 8 已知 f(1)= 2, f(2) = 3, 4) = 5.9,則二次 Newton 插值多項式中 x2系數(shù)為( 答案:-1, 0.15 ); 度為(5 );11、 兩點式咼斯型求積公式 1 1 1 3 1 0f(x)dx (0f(x)dx 尹(話) . 3 1 f( 2 3 ) ),代數(shù)精 3 13、用二分法求方程f(x)x
3、 x 1 0在區(qū)間0,1內的根,進行一步后根的所在區(qū)間 為 0.5, 1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5, 0.75 。 14、計算積分0.5xdx,取 4 位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309,梯形公式的代數(shù)精度為,辛卜 生公式的代數(shù)精度為 3 15、設 f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,則 h(x) 插值多項式為 N2(x) 16x 7x(x 1) 有(2n 1 )次代數(shù)精度 5 17、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求1 f(x)dx(12 ) 18、 設 f
4、(1)=1, f(2)=2,f (3)=0,用三點式求 f (1) ( 2.5 ) x 4 0在區(qū)間1,2內的根精確到三位小數(shù),需對分22、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在 a,b 上具有直到 _ 2 _ 的連續(xù)導 12、 為了使計算y1 x1 &1)2 (x 1)3的乘除法次數(shù)盡量地少,應將該表 達式改寫為y 10 1 x 1_,為了減少舍入誤差,應將表達式 .2001 .1999 改寫為 2 2001 ,1999 h(x) x(x 2)_, f (x)的二次牛頓 16、 求積公式 b f(x)dx n Akf(Xk) k 0 的代數(shù)精度以( 高斯型)求積公式為最高,具 3
5、19、如果用二分法求方程x 10 )次。 S(x) 20、已知 3 x 1 3 2 (X 1) a(x 1) b(x 1) 2 a=( ),b= ( 3 ),c=( 0 x 1 c 1 x 3 是三次樣條函數(shù),則 1 )。 21、0 (x), !1(x), ,l n (x)是以整數(shù)點 x0 , x1 , n n lk(x) xklj(xk) x k 0 ( 1 ), k 0 (Xj ),當 n n (x: x: 3)lk(x) 4 2 k 0 ( x x 3 ,xn為節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù),則 2 時 ) 數(shù)。改變函數(shù)f(x) x 1 x (x 1)的形式,使計算結果較精確 1
6、C. 2、 舍入誤差是(A )產生的誤差。 A.只取有限位數(shù) B.模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值 C.觀察與測量 D .數(shù)學模型準確值與實際值 3、 3.141580 是n的有(B )位有效數(shù)字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、 用 1+x 近似表示e所產生的誤差是( C )誤差。 A.模型 B.觀測 C .截斷 D.舍入 x 5、用 1 + 3近似表示x所產生的誤差是(D )誤差。 A.舍入 B.觀測 C .模型 D.截斷 6 -324 . 7500 是舍入得到的近似值,它有(C )位有效數(shù)字。 A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 7、設 f (-1)=
7、1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中 x2的系數(shù)為(A ) A. -0 . 5 B . 0 . 5 C . 2 D . -2 8、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C )23、 24、 若用二分法求方程 分 10 次。 2x3, 0 S x 3 2 25、 設 x ax a= o f x 0在區(qū)間1,2內的根,要求精確到第 3 位小數(shù),則需要對 26、 若用復化梯形公式計算 477 個求積節(jié)點。 4 27、 若 f(x) 3x x 1 bx c, 1 。 1 x e 0 1 X 2是 3 次樣條函數(shù),則 dx 6 ,要求誤差不超過10 ,利用余項公式估計,至少用 2x 1,貝
8、q差商 f2,4,8,16,32 1 2 (x)dx 9【f( 28、數(shù)值積分公式 2 _ 。 選擇題 1、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為 1) 8f(0) f的代數(shù)精度為 9、( D )的 3 位有效數(shù)字是 0.236X 102。 (A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2 (C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1 10、用簡單迭代法求方程 f(x)=0 的實根,把方程f(x)=0 表示成 x= (x),則 f(x)=0 的根是 (B )。 (A) y= (x)與 x 軸交點的橫坐標 (A) f(x,x0,x1,x2, ,x(X1)(x x
9、2)(x xn 1)(x xn), Rn(x) f(x) (B) f(n ) Pn(x) f ) (n 1)! (C) f(x,x0,x1,x2. (B) y=x 與 y= (x)交點的橫坐標 (C) y=x 與軸的(D) y=x 與 y= (x)的交點 11、拉格朗日插值多項式的余項是(B ),牛頓插值多項式的余項是(C ) ,xn)0)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x (D) Rn(x) f (x) Pn(x) f(n氣 (n 1)! n 1(X) 2 x (A) xk 1 x (B) 2 ,迭代公式:xk 1 X 1 2 Xk 3 (C)x x2,迭代公式:xk 1 ( 2、1
10、/3 Xk) 3 x (D) x2,迭代公式:Xk 1 2 Xk Xk b f(x)dx (b a 14、在牛頓-柯特斯求積公式: 時,公式的穩(wěn)定性不能保證,所以實際應用中, 式不使用。 a) i 0 當( n Ci(n) f (Xi ) C(n) 中,當系數(shù)Ci是負值 )時的牛頓-柯特斯求積公 12、用牛頓切線法解方程 f(x)=0,選初始值 x0 滿足(A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2, 定收斂到方程 f(x)=0 的根。 13、為求方程 x3x2仁 0 在區(qū)間1.3,1.6內的一個根,把方程改寫成下列形式,并建 立相應的迭代公式,迭代公式不收斂的是(A ) 1 一,迭代公式:Xk
11、1 x 1 (1) n 8, (2) n 7, (3) n 10, (4) n 6, 23、有下列數(shù)表 X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所確定的插值多項式的次數(shù)是( ) O (1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 15、取山1.732計算x (A)28 16.3 ; S(x) 26、已知 ( ) (A)6, 6; 16 16 (B)(4 2、3)2 ; (C) (4 2、3)2 ; (D) C 3 1)4 0 3 x 0 x2 2( x 1)3 a(x 2) b 2 x 4是三次樣條函數(shù),則a,b的值為 (一3 1
12、)4,下列方法中哪種最好?( ) 1 1.5 2 1 2.5 3 3.5 -1 0.5 2.5 :5.0 8.0 11.5 (B)6,8; (C)8, 6; (D)8,& 16、由下列數(shù)表進行 Newt on 插值,所確定的插值多項式的最高次數(shù)是( (A)5 ; (B)4 ; (C) 3 ; (D) 2 0 17、 形如 b f (x)dx A1 f (x1) a A?f(X2) A3f(x3)的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精 度為( ) (A)9 ; (B)7 ; (C) 5 ; (D) 3 0 1&計算 3的 Newton 迭代格式為( ) 3 Xk 3 Xk Xk
13、1 Xk 1 (A) 2 Xk ; (B) 2 19、 用二分法求方程 3 X 4x2 10 103 3 x xk 2 x Xk 1 x k 1 鞏;(C) 2 Xk ; (D) 0在區(qū)間1,2內的實根,要求誤差限為 xk 3 則對分次數(shù)至少為 (A)10; (B)12 ; (C)8; 20、設h(x)是以xk k(k O,1,9)為節(jié)點的 9 (D)9。 Lagrange 插值基函數(shù),則 kli(k) k 0 ( ) (B) k ; (A)x ; 33、5 個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式, (A)5; (B)4 ; x3 2(x (C)6; S(x) 21、已知 (A)6, 6; 35、已知方
14、程 ( ) 1)3 a(x 2) (B)6,8; 2x (C) 至少具有( (D)3 0 2 4是三次樣條函數(shù),則a,b的值為( ) (D)8,& (D) 1。 )次代數(shù)精度 (C)8, 2 附近有根,下列迭代格式中在 6; x0 2不收斂的是 Xk 1 (B) 2 總 3 5 xk (C)xk 1 xk xk 5 - (D) 2x; 5 3xk 2 k 0 0 1 2 3 4 1 2 4 3 -5 7 (A) xk 1 V2xk 5 22、由下列數(shù)據(jù) 確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( ) (A) 4; (B)2; (C)1 ; (D)3。 23、5 個節(jié)點的 Gauss 型求積公式的最
15、高代數(shù)精度為( ) (A)8 ; (B)9; (C)10; (D)11 o 三、 是非題(認為正確的在后面的括弧中打 ,否則打) 1、 已知觀察值(Xi,yi)(i ,2 ,m),用最小二乘法求 n 次擬合多項式Pn(x)時, Pn(x)的次數(shù) n 可以任意取。 ( ) 2 X 2、 用 1- 2近似表示 cosx 產生舍入誤差。 ( ) (X X)(X X2) 2 答案:f(x) 1,x,x是精確成立,即 高,并求其代數(shù)精度;利用此公式丄dx X (保留四位?。?數(shù)精度為 3 2、已知1 f(x)dx 求積公式為1 2A 2B 2 1 f 2 2A B A 2 3 得 1f( 1) f(1)
16、 |f( 1 1 2) f(2) 當f(x)x3時,公式顯然精確成立;當 f(x) 4 X時,左=5,右= 3。所以代 1 3 4 5 2 6 5 4 分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求 f(X)的三次插值多項式P3(X),并求f(2) 的近似值(保留四位小數(shù))。 L(X)2(x 3)(x 4)(x 5) 6(x 1)(x 4)(x 5) 答案: (1 3)(1 4)(1 5) (3 1)(3 4)(3 5) 差商表為 一階均差 二階均差 三階均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 5、已知 -2 -1 0 1 2 4 2 13 5 求f(X)的二次擬合曲線 P2(x)
17、,并求f (0)的近似值。 答案:解: 0 -2 : 4 4 -8 r 16 P -8 16 1 -1 2 1 -1 1 -2 2 2 0 : 1 0 0 :0 :0 0 : 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 r 10 20 1 0 15 10 0 34 3 41 5a 10a2 15 10a1 3 正規(guī)方程組為 10a 34a2 41 6、 已知 sinx 區(qū)間 0.4, 0.8的函數(shù)表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求 sin 0.63891 的近似值,如何選擇節(jié)點
18、才能使誤差最小?并求該近 似值。 答案:解: 應選三個節(jié)點,使誤差 盡量小,即應使2彳儀)1盡量小,最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點 0.5,0.6,0刀最好,實際計算結果 si no.63891 0.596274, 且 7、構造求解方程 ex 10 x 2 0 的根的迭代格式Xn 1 (Xn),n 0,1,2,,討論其收 4 斂性,并將根求出來,|Xn 1 xn I 3。 答案:解:令 f(x)ex 10 x 2, f(0) 2 0, f (1) 10 e 0. 且f (x) ex 10 0對x (,),故 f(x) 0在(0,1)內有唯一實根 將方程 f(x) 0變形為 則當
19、x (0,1)時 x (x)和2 ex),| (x)| 蠱 10 1 故迭代格式 收斂。取x0 .5,計算結果列表如下: n 0 1 2 3 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且滿足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 6 所以 x* 0.090525 008 10、已知下列實驗數(shù)據(jù) xi 1.36 1.95 2.16 f(Xi) 16.844 17.378 18.435 試按最小二乘原理求一
20、次多項式擬合以上數(shù)據(jù) 2 解:當 0 x6 1.278 44 1.278 47 1.278 6 x (Xk) (k 0,1,2,)對任意 Xo 1,2均收斂。 15、用牛頓(切線)法求3的近似值。取 xo=1.7,計算三次,保留五位小數(shù)。 取 xo=1.7,列表如下: 1 2 3 1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(X)及 f (1,5)的近似 值,取五位小數(shù)。 至少有兩位有效數(shù)字。 解方程組 AT AC AT y 19 25 30 38 19.0 32.3 49.0 73.3 (8 分)
21、用最小二乘法求形如y a bx2的經驗公式擬合以下數(shù)據(jù): span 1, x2 其中 解得: ATA 3) (x) (x) 當 x 1,2時, (x) (2), (1) 1,2,且 所以迭代格式Xk 1 解:3是f(x) x2 3 0的正根, f (x) 2x,牛頓迭代公式為 xn 3 Xn 1 Xn 2xn ,即 Xn 1 xn 3 1藥 (n 0,1,2,) 解: L2( ) (X 1)(X 2) (1 1)( 1 2) (x 1)(x 2) (1 1)(1 2) (x 1)(x 1) (2 1)(2 1) 17、n=3,用復合梯形公式求 1 oe dX的近似值(取四位小數(shù)) ,并求誤差估
22、解: oXx T3 1 0 o 2 3e 2(e13 2 3 1 e ) e 1.7342 f (x) ex, f (x) ex, o x 1 時,| f(x)| e 20、 解: x 4 3391 3391 3529603 0.9255577 C 0.0501025 ATy 173.6 179980.7 所以 a 0.9255577, b 0.0501025 1 21、( 15 分)用 n 項估計其誤差。用 值。 e xdx 8 的復化梯形公式(或復化 Simpson 公式)計算0 時,試用余 n 8 的復化梯形公式(或復化 Simpson 公式)計算出該積分的近似 解:RTf 22、( 1
23、5 分)方程 b a 12 h2f () 1 1 1 e0 768 0.001302 0在 x 1.5 附近有根,把方程寫成三種不同的等價形式 (1) 3 *-; X 1 Xn 1 1 - Xn 1 ; (2) x 對應迭代格式 Xn ; ( 3) X; 1。判斷迭代格式在X。1.5的收斂性,選一種收斂格 式計算 x 1.5 附近的根,精確到小數(shù)點后第三位。 1 (X)3(x 1) 1 11 X (1.5) x Vx 1對應迭代格式人 3 X X 1對應迭代格式Xn 1 解: (1) (X) 2x2 (1.5)0.18 1,故收斂; (1.5) 0.17 1,故收斂; 2 3 1.5 1,故發(fā)
24、散。 1.3309 3x2 X0 1.5 x1 1.3572 x2 1.32476 x6 1.32472 25、數(shù)值積分公式形如 1 oxf(x)dx S(x) Af (0) Bf(1) Cf (0) Df (3) 選擇 (X) (1): X5 X6 4 度盡量高;(2)設f(x)C 0,1,推導余項公式 2 3 A 解:將f(x) Ixx ,x分布代入公式得: 構造 Hermite 插值多項式H/x)滿足 1 則有:0 xH3(x)dx S(x), 27、( 10 分)已知數(shù)值積分公式為: f(x) h h 2 0f(x)dx 2f(0) f(h) hf(0) X3 1.3259 x4 1.
25、3249 ? ? ? (1)試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精 1 R(x) 0 xf(x)dx S(x) 1 30,D 3 7 ,B ,B 20 20 H3W) f(xj H3&) f (xj i 0,1 其中 x。 2(X 1)2 4! H3(X) 并估計誤差。 丄 20 OX 1 f(h) ,試確定積分公式中的參數(shù) ,使其 代數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。 解:f (x) 1顯然精確成立; h xdx f (x) X 時,0 h2 h 2 0 h h 1 1 2 2 7 1 28、( 8 分)已知求a(a )的迭代公式為: 其代數(shù)精度是多少? x 2 x 1 解:是
26、。因為f(x)在基點 1、2 處的插值多項式為P(x)C f蘆 2) 31、(12 分)以 100,121,144 為插值節(jié)點,用插值法計算 115的近似值,并利用余項估 h 2 . f(x) 2 x2dx x時, 0 3 h 3 h4 f(x) 3 x dx x時, 0 4 5 h 4 , h f(x) 4 x時, x dx 0 5 所以,其代數(shù)精確度為 3 h s 20 h2 h20 h3 2h 2 h 2 20 h3 1 h20 3h2 2 12 h 5 4 1 小h5 -0 h h 0 4h 2 12 6 12 ; 7 斂性。 Xn Xn 1 1 cos xn (6 分) 4 ,n=0
27、,1,2, 1 1 d X 4 sin x -1 4 對任意的初值X0 0,1,迭代公式都30、(6 分)寫出求方程4x cosx 證明:對一切k 1,2, Xk 9,且序列Xk是單調遞減的, Xk 1 1(Xk 亙) 1 2 a Xk 一 證明: 2 Xk 2 VXk 故對一切 k 1,2, ,Xk 一 a 0 Xk 1 又 Xk 2d x? A 1) 1 所以Xk 1 Xk,即序列Xk是單調遞減有下界,從而 29、( 9 分)數(shù)值求積公式 3 3 f(x)dx 尹(1) f(2)是否為插值型求積公式?為什么? p(x)dx 訓 f(2) 其代數(shù)精度為 1。 1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式,并證明其收 從而迭代過程收斂 迭代過程收斂 、a k 1 用 Newton 插值方法:差分表: 100 121 10 11 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 I 32、
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