高等數(shù)學(xué)課件1-6

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限1夾逼準(zhǔn)則和重要極限夾逼準(zhǔn)則和重要極限2重要極限重要極限0sinlim1xxx 1lim(1)xxex 一一 夾逼準(zhǔn)則和重要極限夾逼準(zhǔn)則和重要極限0sinlim1xxx 定理定理1 100(2)lim( ), lim ( ),xxxxg xah xa那末當(dāng)那末當(dāng)0lim( ).xxf xa 的極限存在的極限存在, , 且且0 xx時時,( )f x(1) (1) 存在存在時時, ,有有( )( )( ),g xf xh x0, 使當(dāng)使當(dāng)00 |xx 設(shè)設(shè)( )yf x ( )yg x 0 x01x 0 x 02x 01x 0 x

2、02x a aa ( )yh x xyo證證0, 00lim( ), lim ( ),xxxxg xah xa所以所以12,0, 使當(dāng)使當(dāng)010 |xx 時時,即即( )ag xa| ( )|g xa 恒有恒有當(dāng)當(dāng)020 |xx 時時,12min , 取取即即( )ah xa當(dāng)當(dāng)00 |xx 時時,即恒有即恒有|( )|,f xa 所以所以0lim( ).xxf xa | ( )|,h xa 恒有恒有( )( )g xh x恒有恒有( )f xa a 定理定理2 2(1)(,(2) lim, lim,nnnnnnnyxznn nyaza為某個正整數(shù)）為某個正整數(shù)）nnyx ,及及nz滿足下列條

3、件滿足下列條件: :如果數(shù)列如果數(shù)列對于自變量其他的趨向過程下的極限對于自變量其他的趨向過程下的極限, 也有類似也有類似的定理的定理, 例如夾逼準(zhǔn)則的數(shù)列形式是例如夾逼準(zhǔn)則的數(shù)列形式是:那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且lim.nnxa 定理定理1 1和定理和定理2 2稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. .注意注意: : 夾逼準(zhǔn)則不僅可以用來判別極限的存在性夾逼準(zhǔn)則不僅可以用來判別極限的存在性, ,還可以用來求極限還可以用來求極限. 例例1 1222111lim().12nnnnn求求解解,11112222 nnnnnnnn21limlim11nnnnnn 又又, 1 22111li

4、m1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2證明證明lim1.nnn 證證顯然顯然1nn 記記1,nnhn則則2(1)(1)12nnnnn nnhnhh 2(1)2nn nh 所以所以21nhn 即即211nnn 因?yàn)橐驗(yàn)?lim(1)1,1nn 所以所以lim1.nnn 例例3求極限求極限1lim(123 ) .xxxxx解解記記1( )(123 ) ,xxxxf x 顯然顯然3( ).f x 因?yàn)橐驗(yàn)?1( )(3 3 )3 3,xxxf x 而而110lim 3lim31uxuxxu 所以所以1lim(123 )3.xxxxx例

5、例4證明證明0sinlim1xxx 證證先證先證0sinlim1.xxx ,o設(shè)單位圓圓心為設(shè)單位圓圓心為c作單位圓的切線，作單位圓的切線，2,xoabs圓心角為 的扇形面積為圓心角為 的扇形面積為3,bdoabs 高為的面積為高為的面積為sin,xbd xab 弧弧tan,xac ,tansinxxx sincos1,xxx 即即1,acacos 得高為的面積為得高為的面積為且且321,sss, (0)2aobxx 圓心角圓心角odaxb00limcoslim11xxx由于由于所以所以0sinlim1xxx 而而000sinsin()sinlimlimlim1xxtxxtxxt 所以所以0s

6、inlim1xxx 例例6 6201coslim.xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例5求求0tanlim.xxx解解0tanlimxxx0sin1limcosxxxx 00sin1limlimcosxxxxx 1 0tanlim1xxx 201cos1lim2xxx 例例7求求0arcsinlim.xxx解解0arcsinlimxxxarcsinux 令令0limsinuuu1 0arcsinlim1xxx 同理同理0arctanlim1xxx 例例8求求0sin2lim.sin

7、3xxx解解0sin2limsin3xxx0sin223lim()23sin3xxxxxxx 2.3 二二 重要極限重要極限1lim(1)xxex在第二節(jié)中在第二節(jié)中,利用單調(diào)有界原理證明了重要極限利用單調(diào)有界原理證明了重要極限1lim(1)nnen現(xiàn)在說明現(xiàn)在說明n換成連續(xù)變量換成連續(xù)變量,x在在,xxx 時時, 極限仍然存在極限仍然存在, 且等于且等于. e例例8證明證明1lim(1).xxex證證先證先證1lim(1).xxex不妨設(shè)不妨設(shè)1,x 取取 ,nx 由于由于1,nxn所以所以1111(1)(1)(1),1nxnnxn , e 11111lim(1)lim(1)lim(1)11

8、1nnxxxnnn, e 1111111nxn 由于由于,xn 1111lim(1)lim(1)lim(1)nnxxxnnn 而而所以由夾逼準(zhǔn)則得所以由夾逼準(zhǔn)則得1lim(1).xxex再證再證1lim(1).xxex令令(1),xt 則則,xt 所以所以111lim(1)lim(1)1xtxtxt 1lim()1tttt 1111lim()lim(1) lim(1)ttttttttt . e 所以所以1lim(1).xxex1,tx 令令0,xt 所以所以10lim(1).ttte例例9 93lim(1) .xxx 求求解解331(lim)3(1)xxx 333lim(1)xxx 原式原式31.e 例例101023lim().2xxxx 求求解解2 2411lim(1) (1)22xxxx原式原式.2e 例例1