f分布t分布和卡方分布

1、§ 1、4常用的分布及其分位數(shù)1、卡平方分布卡平方分布、t分布及 F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)生的 分布,它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布、當(dāng)X 1、X 2、X n相互獨(dú)立且都服從 N( 0 ,1)時(shí),Z=的 分布稱(chēng)為自由度等于n的分布，記作Z(n ),它的分布密度p(z尸式中的=，稱(chēng)為Gamm a函數(shù)J=L= 1 ,=、分布是非對(duì)稱(chēng)分布 具有可加性，即當(dāng)Y與Z相互獨(dú)立，且Y(n),Z(m),則Y+Z( n+m)。證明：先令 X1、X 2、X n、Xn+ 1、Xn+2、X n+m 相 互獨(dú)立且都服從N (0 ,1),再依照分布的定義以及上述隨機(jī)變 量的相互獨(dú)立性，令Y = X+

2、X+ +X,Z = X+X + + X ,Y+ Z = X+X+ +X+ X+X + +X,即可得到 Y+Z(n+m)。2。t分布若X與Y相互獨(dú)立，且XN(0, 1 ),Y(n),則Z =的分布稱(chēng)為自由度等于 n的 t分布，記作Z t( n，它的分布密度P(z)=。請(qǐng)注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù) ，且當(dāng)n> 3。時(shí)，t分 布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的密度曲線(xiàn)幾乎重疊為一。這時(shí) ,t 分布的分布函數(shù)值查N (0,1)的分布函數(shù)值表便能夠得到。3、 F分布 若X與Y相互獨(dú)立，且X( n ),Y-( m), 則Z =的分布稱(chēng)為第一自由度等于 n、第二自由度等于 m的 F分布 記作ZF

3、( n , m),它的分布密度p(z尸請(qǐng)注意:F分布也是非對(duì)稱(chēng)分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當(dāng)ZF (n, m)時(shí),F (m ,n)。4、 t分布與F分布的關(guān)系若 X-t( n),則 Y=XF(1, n)o證:Xt( n ),X的分布密度 p( x )=。Y = X 的分布函數(shù) F(y) =PYy =P Xvy。當(dāng) y。時(shí),F(y)=0,p(y)=0；當(dāng) y>0 時(shí),F(y ) =P X<=2 ,Y=X的分布密度p( y )=,與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y= XF(1, n)o為應(yīng)用方便起見(jiàn)，以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都能夠從各自的函數(shù)值

4、表中查由。然而，解應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4、常用分布的分位數(shù)1)分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)，依照應(yīng)用的需要，有三種不同的稱(chēng)呼，即a分位數(shù)、上側(cè)a分位數(shù)與雙側(cè) a分位數(shù)，它們的定義如下：當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足0 <a1時(shí)，a分位數(shù)是使 P X < X 0 = F ( X 0)= a的數(shù)X a ,上側(cè)a分位數(shù)是使P X >入= 1 - F(入)=a的數(shù)人，雙側(cè)a分位數(shù)是使 P X<入1 =F（入1）=0。5q的數(shù)人1、 使P X> 入 2 =1- F （入 2 ）=0、5 a 的數(shù)入 2、因?yàn)?/p>

5、1- F（入戶(hù)a ,F（入）=1 a，因此上側(cè)a分位數(shù)入 就是1 a分位數(shù)X 1. % ；F（入1 ）= 0。5 a ,1 F（入2 ）= 0、5 a，因此雙側(cè)a 分位 數(shù)入1就是0、5 a分位數(shù)X o、5a，雙側(cè)a分位數(shù)入2就是1 0、5 a 分位數(shù) X 1 0、5a °2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a分位數(shù)記作Ua ,0、5 a分位數(shù)記作u0、5 a ,1-。5 a 分位數(shù)記作 U 1- 0、5a。當(dāng) XN(0,1)時(shí),P XV Ua=F 0,i(ua 戶(hù) a,PXU 0。5a= F 0,1 (u 0。5 a )=0、5a,P X<u 1-0。5 a = F 0,1 (u 1 0、5

6、a 戶(hù)1 0、5依照標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性當(dāng) a =0。5 時(shí),u 口 =0；當(dāng) a <0 o 5 時(shí),U口 V 0。Ua = - U 1 - a。假如在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒(méi)有負(fù)的分位數(shù)，則先查由U 1 - a，然后得到Ua = - U 1 - a。論述如下：當(dāng) X N(0, 1 )時(shí),PX V u 0 = F 0,1 (U 0 戶(hù)a ,P XV U 1- a= F 0,l (U 1 a )=1 - 0C ,PX> U 1-力=1 - F 0,1 (UI- a 尸。，故依照標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，Ua = - u i- ao例如，u o01o = u 0。9

7、0= 1 ° 28 2 ,U 0、05= U 0。95= 1、64 5 ,u o、01 = u °、99= - 2o 326,u 00O25=-U 0。97 5 = 1、960,u 0、005 = Uo、9 95= 2、57 6 o又因?yàn)镻 |X|< U1 0、5 a =1 a，因此標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)a分位數(shù)分別是U 1- 0、5a和-U1- 0。5a。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常用的上側(cè)a分位數(shù)有：a =0、1 0 ,U。、90 = 1、2 8 2 ；a = 0、0 5 , u 0、95= 1、64 5 ;a=0、01,U0O 99=2 o 3 26;a =0o 025,u 0

8、9 75=1、960;a = 0 o 00 5 ,u 0、9 9 5 =2、57 6。3)卡平方分布的a分位數(shù)記作口( n )。a(n)>0,當(dāng)X(n)時(shí),P X /n) = a例如,0、005(4 )=0、21,0、025 (4)=0。4 8 0、0 5 (4)=0、71,0、9 5 (4)=9、49,0、975(4)=11。1,0。995(4)=14。9、4)t分布的a分位數(shù)記作 O ( n )o當(dāng)Xt ( n )時(shí),P X<t ° (n) = a，且與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類(lèi)似，依照t分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，也有ta (n)=- 11- a(n),論述同 ua =- U 1

9、a。例如，t 0、9 5(4)=2 o 1 32,t 0、97 5(4)=2、776,t 0、9 95 (4)= 4、6 0 4 , t 0、00 5 (4)=- 4 o 604, t Oo 025 (4)= - 2、776,t o、05 (4)= -2、1 3 2。另外，當(dāng)n> 30時(shí)，在比較簡(jiǎn)略的表中查不到t 口(n),可用u a作為ta (n)的近似值。Xo*oxOX5)F分布的a分位數(shù)記作F 口(n , m)、F 口( n ,m)0當(dāng)XF(n,m)時(shí),PX < Fa(n,m) = a、另外，當(dāng)a較小時(shí)，在表中查不由F 0 (n, m)須先查Fi- a (m, n),再求 F

10、 8( n , m )=、論述如下：當(dāng) XF(m, n)時(shí)P X F . a(m, n) = 1- a ,P> = 1 a,P =a,又依照F分布的定義，F(xiàn) (n, m),P< F 口(n, m) = a , 因此 F 口(n, m)= o例如，F(xiàn)0、95 (3,4)=6、59,F0O 9 7 5 (3,4)= 9、98,F0、9 9 (3,4)= 1 6、7,F 0、95(4 ,3 )= 9、1 2,F 0、975(4,3)=1 5、1,F 0、9 9 (4,3)=28、7,F 0、0 1 (3,4)= ,F 0、02 5 (3,4)= ,F 0。0 5(3,4)=?！菊n內(nèi)練習(xí)】

11、1、求分位數(shù) 0、05(8)，0、9 5(12)。2、求分位數(shù) t 0、0 5 (8)， t 0。95(1 2)、3、 求分位數(shù) F0o 0 5(7,5)F0、95( 1 0, 1 2 )。4、 由u 0、9 75= 1。9 60寫(xiě)生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè) 分位數(shù)。5、 由t 0、95 (4)=2、1 3 2寫(xiě)生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。6、 若X(4),PX <0。711 =0、05,PX<9、49 = 0。9 5,試寫(xiě)由有關(guān)的分位數(shù)。7、若 XF(5,3), PX<9、01=0、95 ,YF( 3 ,5 ),Y 5、41=0。95,試寫(xiě)由有關(guān)的分位數(shù)。8、 設(shè)X、X、X相互獨(dú)立且都服從 N( 0 ,0、09)分布, 試求 P 1、44 。習(xí)題答案：1、 2。732 1、0、2、 一 1。860，1、 782。3、，3、3 7。4、1、9 6 0為上側(cè)0、0 2 5分位數(shù)，一1、9 60與1、960為雙側(cè)0、0