高等數(shù)學(xué)課件：2-4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三1第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)隱函數(shù)及及由參數(shù)方程由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第二章第二章 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率二、二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、小結(jié)與思考題四、小結(jié)與思考題返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三2一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Derivative of Implicit Function）31xy若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如

2、,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三303275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)例例1 求由方程返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月

3、15日星期三4191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx例例2 求橢圓返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三5)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx例例3 求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三6 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1

4、uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:說明說明:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三7例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三8)4)(3()2)(1(xxxxy(ln)uuu 21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111x

5、xxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x又如又如,返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三9二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則( )0t時, 有ddyxxttyddddtxtydd1dd( )( )tt關(guān)系,( )( )tt( )0t時, 有ddxyyttxddddtytxdd1dd(此時

6、看成 x 是 y 的函數(shù) )返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三10)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddyx)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt ( ) t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxytddxt)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三11點擊圖中任意點動畫開始或暫停返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三12解：解：0 x22sina1 ;2a0y21cosa

7、a返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三13而而ddyxttyx (1cos ) (sin )ata ttsin,1costt所以，所以，k2sin1costtt1于是所求切線方程為于是所求切線方程為121aayx 即即(2).2yxa返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三14解：解：ddyxttyx( sin )( cos )btatcos( sin )btatcot bta (0,2)t 22ddyxddddyxxddcotddbtttax21cscbtxtadd21csscinbtaat23sinbat (0,2).t 返回返回上頁上頁下頁下頁

8、目錄目錄2021年12月15日星期三15) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd例例6 設(shè)由方程返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三16內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法求高階導(dǎo)數(shù)時求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三17思考與練習(xí)思考與練習(xí)1y2y,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1. 設(shè)答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx21 2ln3(2)3(2)xxxxx返回返回上頁上頁下