第六章 二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、 在實(shí)際工程中，僅用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)常常難以正確描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。本章介紹二自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。 最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)是二自由度系統(tǒng)。然而自由度由一增加到二，會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的變化，帶來一系列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高自由度的區(qū)別，僅僅在數(shù)量上和系統(tǒng)的復(fù)雜程度上。因此二自由度系統(tǒng)是本章的重要基礎(chǔ)部分。u 建立系統(tǒng)微分方程建立系統(tǒng)微分方程u 無阻尼二自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼二自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)u 固有頻率和主振型固有頻率和主振型u2m2f2f1m1u111uc )(212uuc )(212uuk23uk23uc 11uk)(212uuc u1u2c3c2m1k1c1m2k2k3)(212u

2、uk假設(shè)：21uu 21uu 1122121221211)()(umucuccukukkf 2212232232122)()(umucuccukkukf 1221212212111)()(fukukkucuccum 2232121223222)()(fukkukucuccum k1、c1拉伸；k2、c2壓縮；k3、c3壓縮寫成矩陣形式：212132222121322221212100ffuukkkkkkuuccccccuumm初始條件：201021)0()0(uuuu201021)0()0(uuuu對(duì)三個(gè)以上自由度系統(tǒng)，可以用同樣的方法得到微分方程組。簡(jiǎn)寫為)()()()(tftKutuCtu

3、M 質(zhì)量矩陣阻尼矩陣剛度矩陣位移向量激勵(lì)向量加速度向量速度向量二自由度微分方程組特點(diǎn)：二自由度微分方程組特點(diǎn)：1、形式上與單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)微分方程相同。但M，K，C不是常數(shù)，而是矩陣。2、通常K，C矩陣不是對(duì)角陣，說明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是關(guān)聯(lián)的。這種運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)稱為耦合耦合，是二自由度區(qū)別于單自由度的基本特征矩陣形式：212132222121322221212100ffuukkkkkkuuccccccuumm211121 222221 21200100kxxJmlJml lkxlJml lJmlx m1u1u2k1m2k2k3微分方程組：0)()(tKutuM 00)0(,)0(uuuu由于單自由度無

4、阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以可以設(shè)想二自由度無阻尼系統(tǒng)也有類似的作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的自由振動(dòng)。由于系統(tǒng)有兩個(gè)自有度，它們的各自運(yùn)動(dòng)未必有相同的幅值，所以方程解的形式為：)sin()sin()(21tttudef其中， u(t)為解的二維向量，表示振幅的二維向量。21頻率、相位相同，但振幅不同。2100mmM22211211kkkkK將解的形式代入到方程組得到：0)(sin(2MKt要使方程任意時(shí)刻成立，必須：0)(2MK即0021222221122111mkkkmk要使方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必須為零，即0det222221122111mkkkmk行列式展開得到：0)()(21212221

5、1222211122mmkkkmkmk可看作是關(guān)于2的二次方程，解得一對(duì)根為：212122211211122212111222122, 1)(4)(212mmkkkmmkmkmmmkmkm為兩個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組。將兩個(gè)根代回到系統(tǒng)的齊次線性方程組得到非零解為：2111122122因此，二自由度無阻尼系統(tǒng)可能產(chǎn)生的振動(dòng)為：)sin()sin()(21rrrrrrrrtttu（r =1,2）說明，二自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)是由兩種不同頻率1、 2的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。（ 1 2 ）分別將1和2稱為系統(tǒng)的第一階固有頻率第一階固有頻率和第二階固有頻第二階固有頻率率，各階固有頻率所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)分別

6、稱為系統(tǒng)的第一階固第一階固有振動(dòng)有振動(dòng)和第二階固有振動(dòng)第二階固有振動(dòng)。每個(gè)根對(duì)應(yīng)一種振動(dòng)每個(gè)根對(duì)應(yīng)一種固有振動(dòng)0021222221122111mkkkmk222221122111mkkkmkrr21（r =1,2）2rr線性方程組特征矩陣特征值（特征根）與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一些概念：一些概念：將固有頻率代入系統(tǒng)線性方程，得到系統(tǒng)作第一、二階固有振動(dòng)時(shí)兩質(zhì)量塊振幅之比，分別為：121111221111mkksdef122111222122mkksdef定義向量11211s12222s分別為第一、二階固有振動(dòng)的振型，簡(jiǎn)稱固有振型固有振型。反映了二自由度系統(tǒng)作固有振動(dòng)時(shí)的形態(tài)。無阻尼系統(tǒng)的固有頻率

7、和固有振型稱為系統(tǒng)的固有模態(tài)固有模態(tài)，因此固有振型向量也稱為模態(tài)向量模態(tài)向量。n21為固有振型矩陣固有振型矩陣，為所有模態(tài)向量組成。無阻尼系統(tǒng)的固有振動(dòng)僅是可能存在的運(yùn)動(dòng)形式。要使系統(tǒng)真正產(chǎn)生固有振動(dòng)，還應(yīng)滿足一定的運(yùn)動(dòng)初始條件。系統(tǒng)產(chǎn)生第 r 階固有振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)初始條件為：rrusin)0(rrrucos)0(r = 1,2即初始位移的幅值組成的向量和初始速度的幅值組成的向量都是某階固有振型，則該振動(dòng)就是該階固有振動(dòng)。固有振動(dòng)的初始條件固有振動(dòng)的初始條件如果系統(tǒng)不滿足產(chǎn)生固有振動(dòng)的初始條件，則自由振動(dòng)將不再是任一階固有振動(dòng)。而是這兩種固有振動(dòng)的線性組合。即其中，常數(shù)1、 2、1、 2由初始條件

8、決定。)sin()sin()()()(222211112211tttututu例題例題:m1u1u2k1m2k2k300.51-1-0.500.51固有振動(dòng)固有振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)00.51-1-0.500.51固有振動(dòng)固有振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)1111設(shè)如圖系統(tǒng)物理參數(shù)為：m1=m2=m；k1=k2=k3=k；系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始條件為：確定系統(tǒng)固有振動(dòng)及自由振動(dòng)，00)0(,01)0(uu并作出振型圖。一階：二階：111112振 型 圖：節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)：在系統(tǒng)振動(dòng)中始終不動(dòng)的點(diǎn)。二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)解耦由于二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程是耦合的，因此需要把耦合的方程在一個(gè)新的坐標(biāo)空間內(nèi)解耦。由于在N自由度無阻

9、尼系統(tǒng)總有N個(gè)線性無關(guān)的固有振型r，因此可以把它作為基底來張成系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)空間。模態(tài)坐標(biāo)下的質(zhì)量矩陣引入坐標(biāo)變換：qu0)()(tKutuM 代入到：其中：u為物理坐標(biāo)，q為模態(tài)坐標(biāo)，為固有振型矩陣。得到：0)()(tqKtqM 兩邊左乘T0)()(tqKtqMTT qTMM其中：模態(tài)坐標(biāo)下的剛度矩陣qTKK均為對(duì)角陣第r階模態(tài)質(zhì)量nqMMMM00000021rTrrMMnqKKKK00000021第r階模態(tài)剛度rTrrKK)1(nr系統(tǒng)方程變成：0)()(tqKtqMqq 由于Mq、Kq是對(duì)角陣，所以系統(tǒng)方程已是獨(dú)立的n個(gè)標(biāo)量函數(shù)qr(t)的微分方程。), 2 , 1(0)()(nrtqKtqM

10、rrrr 說明在模態(tài)坐標(biāo)下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是解耦的。解耦的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)正是它的n個(gè)固有振動(dòng)。), 2 , 1(sincos)(nrtbtatqrrrrr例題例題:已知系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程是固有振型為：11110000213222212121uukkkkkkuumm m1u1u2k1m2k2k3kkkk321mmm21要求對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦。00600220022121qqkkqqmm 2121qquu求解系統(tǒng)固有振型的一種方法是伴隨矩陣法。例：對(duì)二自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)特征矩陣為：23112特征矩陣的伴隨矩陣為：系統(tǒng)特征方程為：023112解得特征根：5 . 2, 12121123取矩陣第一列將代入得到主振型為：

11、5 . 2, 121111122首先求出系統(tǒng)特征矩陣的伴隨矩陣。然后取伴隨矩陣的任意一列非零向量，將第 i 階特征根代進(jìn)去，就可以得到第 i 階固有振型。（ i =1、2.）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程組是首先分析受諧波激勵(lì)的情況：tFtKutuMsin)()( 方程特解為：tUtusin)(21ffF21uuU代入到方程中得到：FUMK)(2定義：MKZdef2)(為系統(tǒng)的動(dòng)剛度矩陣。其元素zij反映了系統(tǒng)第j個(gè)自由度具有單位位移響應(yīng)sint，而其余坐標(biāo)不動(dòng)時(shí)，應(yīng)施加在第i個(gè)自由度上的正弦廣義力的幅值。定義：121)()()(MKZHdefH()為系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)矩陣。)(r則FHU)(其元素hij(

12、)反映了在系統(tǒng)第j個(gè)自由度上施加單位正弦激勵(lì)sint后，第i個(gè)自由度的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值。因此， H()又稱為動(dòng)柔度矩陣。動(dòng)剛度矩陣Z()或頻響函數(shù)矩陣H()在頻率域反映了系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性。從實(shí)驗(yàn)角度來說，多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣比動(dòng)剛度矩陣易于測(cè)取，所以獲得廣泛應(yīng)用。f2f1m1u1u2k1m2k2m1、m2上分別作用簡(jiǎn)諧激勵(lì)力f1=F1sint 和 f2=F2sint。運(yùn)動(dòng)微分方程為11121221()sinm ukk uk uFt 2221222sinm uk uk uFt 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解為兩種固有振動(dòng)的疊加，特解為穩(wěn)定的等幅振動(dòng)，頻率與激振力相同。設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程的解

13、為tBusin11tBusin22B1、B2待定代入微分方程組得到0021222222121BBmkkkmkk0det222222121mkkkmkk由22 21 2111BB2212BB22211211BBBB（固有振型矩陣）（固有振型矩陣）坐標(biāo)變換：iiqu（i=1,2）代入原微分方程得到：iiifqKqM 兩邊左乘 得到：TiTiTiTfqKqM iTiiiifqdiagKqdiagM （i=1,2）（對(duì)角陣）（對(duì)角陣）解耦解耦)1(1111fqkqmT 2222(2)Tm qk qf （表示矢量Tf的第一項(xiàng)）為在坐標(biāo)系 q 下的兩個(gè)單自由度受迫振動(dòng)的微分方程。坐標(biāo)q下的運(yùn)動(dòng)初始條件：1(0)(0)iiqu )0()0(1iiuq1q2q（利用求解單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的方法）坐標(biāo)反變換：iiqu（i=1,2）（得到在物理坐標(biāo)系下的解） 將所有的剛度影響系數(shù)和阻尼影響系數(shù)分別組成矩陣，就得到剛度矩陣和阻尼矩陣。方法介紹： 在多自由度系統(tǒng)中，將除了i坐標(biāo)外其它坐標(biāo)固定，則質(zhì)量i產(chǎn)生單位移動(dòng)后，在質(zhì)量j上產(chǎn)生的力稱為i對(duì)j的剛度影響系數(shù)kji；nnnnnnkkkkkkkkkK2122221