《概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)資料》第2章隨機(jī)變量及其分布ppt課件

1、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為,假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于每每一個(gè)樣本點(diǎn)一個(gè)樣本點(diǎn),變量變量X 都有確定實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)都有確定實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),那么X是定義在上的實(shí)值函數(shù),即),(XX 我們稱這樣的變量X為隨機(jī)變量.定義:隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類(1) 離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量:取值只需有限個(gè)或可列無窮多個(gè)取值只需有限個(gè)或可列無窮多個(gè);延續(xù)隨機(jī)變量延續(xù)隨機(jī)變量: 取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間(2) 非離散隨機(jī)變量非離散隨機(jī)變量2. 離散隨機(jī)變量的概率分布離散隨機(jī)變量的概率分布X)(ixp1x)(1xp2x)(2xp)(ixpixnx)(nxp或記為(1)定義定義),

2、2 , 1()()(ixpxXPii那么稱 p(xi) (i=1,2,) 為 X 的概率分布或概率函數(shù).其一切能夠取值為),( ,21nxxx且定義: 設(shè)X為離散隨機(jī)變量,注：當(dāng)注：當(dāng)X獲得有限個(gè)能夠值時(shí)，獲得有限個(gè)能夠值時(shí)，(2)(2)性質(zhì)性質(zhì)i顯然，概率分布p(xi) 有下面的性質(zhì):;, 2, 1, 0)(10ixpi.1)(20iixp表示有限項(xiàng)的和;當(dāng)X獲得可列無窮多個(gè)能夠值時(shí),i表示收斂級(jí)數(shù)和.超幾何分布超幾何分布 定義定義. .設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的概率分布為的概率分布為kn kMNMnNC CP XkknC(),0,1,2, ; 隨機(jī)變量X服從超幾何分布,其中n, M, N

3、是分布的參數(shù).其中n, M, N 都是正整數(shù)，且n N, MN;那么稱記作XH (n, M, N),nNknMNkMCCC )(kXP), 2 , 1 , 0(nk一批產(chǎn)品共N件, 其中M件次品, N-M件正品,實(shí)例：產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)例：產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)Ｐ碗S機(jī)抽取n件樣品(0nM)按不放回抽樣方式,(設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的次品數(shù)k )此X的概率分布稱為超幾何分布H(n, M, N).求取出的n樣品中恰有k件次品A的概率？)(AP設(shè)隨機(jī)變量X只能夠取0,1兩個(gè)值 , ,)(1 kkqpkXP二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布1, 0k) 10( p且概率分布為1.(01)1.(01)分布分布那么稱X服從(0 - 1)分布

4、或兩點(diǎn)分布.(0 - 1)分布的概率分布也可寫成 X 0 1 pk 1-p p 定義定義. . 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的概率分布為的概率分布為nkqpCkXPknkknn, 2 , 1 , 0,)(; 1, 10qpp其中n,p為分布的參數(shù).2.2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 B (n, p) B (n, p)其中n為正整數(shù)，那么稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB (n, p),注：注：1)()(1000nnkknkknnknqpqpCkXP20 當(dāng)n=1時(shí)，XB(1, p)，即為(0-1)分布.實(shí)例：實(shí)例：在n重伯努利概型中那么X服從二項(xiàng)分布B (n, p) .例如例如設(shè)X表示事件A恰好出現(xiàn)的次數(shù)

5、， X=k的概率為nkqpCkXPknkknn, 2 , 1 , 0,)(隨機(jī)抽取n件樣品(0nM).設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，按放回抽樣方式,設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的次品數(shù)(X=0,1,2,n), 那么)(kXP), 2 , 1 , 0(nkknkknNMNMC)1 ()(故XB (n, M/N).是分布的參數(shù).泊松分布泊松分布 ;, 2, 1, 0,!)(kekkXpk),(PX定義定義. . 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的概率分布為的概率分布為那么稱隨機(jī)變量X服從泊松分布，記作參數(shù))0(其其中中1ee0!kkek0!kkke泊松分布的運(yùn)用泊松分布的運(yùn)用例如：例如：3) 汽車站臺(tái)一天的

6、侯客人數(shù)；5) 某公路段上在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù);2)某交換臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)；1) 某效力設(shè)備在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)；4)某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù);有著廣泛的運(yùn)用.泊松分布在公共事業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)及工業(yè)等領(lǐng)域概率函數(shù)近似等于二項(xiàng)分布B(n,p)的概率函數(shù),nNknMNkMCCC.1,NMqNMp其中當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布H (n, M, N)的,knkknqpC二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系定理定理: :即假設(shè)XH (n, M, N)， 那么當(dāng)N時(shí)，有knkknnNknMNkMNqpCCCClim注：注： 當(dāng)n充分大, p很小 (p0.1), 二項(xiàng)分

7、布B( n, p)的概率函數(shù)近似等于泊松分布),(pnBX設(shè)的概率函數(shù):, 2 , 1 , 0,!limkekqpCkknkknn,0）（常數(shù)np泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系)(P泊松定理：泊松定理：假設(shè)當(dāng)n時(shí)，那么有注：注：即np比較適中時(shí)，npekqpCkknkkn其中,!隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù),Rx定義：設(shè)定義：設(shè)X X為一隨機(jī)變量，為一隨機(jī)變量，的概率P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),F(x)=P (Xx).那么事件“X x記作,21時(shí)當(dāng)xx ).()(12xFxF)(21xXxP注：注：分布函數(shù)分布函數(shù)F (x)的性質(zhì)的性質(zhì)且; 1)(0)2(x

8、F(1) F(x)(1) F(x)是非減函數(shù)是非減函數(shù), , 即假設(shè)x1 x2, 那么);()(21xFxF(3)(3)離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量X X，F(xiàn) (x)F (x)是右延續(xù)函數(shù)是右延續(xù)函數(shù), ,延續(xù)隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)在(-,+ )處處延續(xù).即)()(limaFxFax; 1)(F; 0)(limxFx)(F)(limxFx事件“Xx當(dāng)x-時(shí)是不能夠事件;事件“Xx當(dāng)x+時(shí)是必然事件.定義定義. .假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I IIba,(,dxxfbXaPba)()(函數(shù)f (x)稱為延續(xù)隨機(jī)變量延續(xù)隨機(jī)變量和概率密度延續(xù)隨機(jī)變量和

9、概率密度且存在非負(fù)函數(shù)f (x)， 使得對(duì)于恣意有(有界或無界), 區(qū)間那么稱X為延續(xù)隨機(jī)變量;X的概率密度函數(shù)(probability density function),概率密度概率密度.簡(jiǎn)稱; 0)(0 xXP1.延續(xù)隨機(jī)變量X任取確定值x0的概率等于0,即2. 假設(shè)X是延續(xù)隨機(jī)變量，那么對(duì)恣意x1, x2(x1x2)有.)(21xxdxxf注注:)(21xXxP)(21xXxP)(21xXxP)(21xXxP3.P(A)=0;AP(A)=1A20 20 規(guī)范性規(guī)范性概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì); 0)(xf10 10 非負(fù)性非負(fù)性O(shè))(xfx. 1)(dxxf設(shè)X是延續(xù)隨機(jī)變量,f(x

10、)為X的概率密度，那么延續(xù)延續(xù)X的密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系的密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系dttfxXPxFx)()()(設(shè)延續(xù)X的概率密度f (x)，那么其分布函數(shù)為且在f (x)的延續(xù)點(diǎn)x處，)()(xfxF定義：設(shè)隨機(jī)變量定義：設(shè)隨機(jī)變量X X的概率密度為的概率密度為., 0;,1)(其它bxaabxf那么稱X在區(qū)間a,b上服從均勻分布, ),(baUX其中a, b是分布的參數(shù).均勻分布均勻分布 記作(1) (1) 均勻分布的定義均勻分布的定義x)(xfoabab1),(baUX設(shè)隨機(jī)變量clc注：均勻分布的等能夠特征注：均勻分布的等能夠特征其等能夠性的意義是：X落在區(qū)間a, b中恣意等長(zhǎng)度的

11、子區(qū)間內(nèi)的能夠性是一樣的. 或者說X落在a,b子區(qū)間內(nèi)的概率僅依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無關(guān).)(lcXcPdxablcc1.abl現(xiàn)實(shí)上，對(duì)a, b上的任子區(qū)間c,c+l, 有其中指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0, 0, 0,)(xxexfx. 0),(eX定義定義: : 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的概率密度為的概率密度為那么稱X服從指數(shù)分布，是分布的參數(shù).記作x)(xfo(1) (1) 指數(shù)分布的定義指數(shù)分布的定義 4.隨機(jī)效力系統(tǒng)中的效力時(shí)間；1.它常用于動(dòng)物、電力設(shè)備和電子元件運(yùn)用壽命；2.的通話時(shí)間；3.排隊(duì)時(shí)需求等待時(shí)間；2 2指數(shù)分布的運(yùn)用指數(shù)分布的運(yùn)用 指數(shù)分布在生存分析、可靠

12、性實(shí)際和排隊(duì)論中指數(shù)分布在生存分析、可靠性實(shí)際和排隊(duì)論中有廣泛的運(yùn)用例如：有廣泛的運(yùn)用例如：則則稱稱, ,y yx x, ,對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量, ,設(shè)設(shè)),(YX.的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)是是二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX，yYxXPyxF，二維隨機(jī)變量的結(jié)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的結(jié)合分布函數(shù)1定義定義2幾何意義幾何意義yo(x, y)(X, Y )的概率的無窮為落在以表示平面上的隨機(jī)點(diǎn)矩形區(qū)域內(nèi)左下方頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)yx,X,Yyx,F定義定義 假設(shè)假設(shè)X, YX, Y均為離散隨機(jī)變量，那么均為離散隨機(jī)變量，那么 (X,Y ) (X,Y ) 為二維離散隨機(jī)變量為

13、二維離散隨機(jī)變量, ,且且)1,2,(ji,y,YxXPpjiji則則稱稱) )的的所所有有可可能能取取值值為為( (X,Y), 2 , 1,(),( jiyxji二維離散隨機(jī)變量的結(jié)合概率分布二維離散隨機(jī)變量的結(jié)合概率分布合概率分布。合概率分布。)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián))的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)為(為(X,YXYixxx21jyyy2111p21p1 ip12p22p2ipjp1jp2ijp其中其中滿滿足足：ijp);, 2 , 1,(, 0)1( jipij. 1)2(11 ijijp若若存存在在非非負(fù)負(fù)有平面上的任意區(qū)域使得對(duì)于函數(shù)RxOyyxf),(RdxdyyxfRYXP),(),(，為為二二

14、維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱稱),(YX.),(稱聯(lián)合概率密度)稱聯(lián)合概率密度)稱為聯(lián)合密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱為聯(lián)合密度函數(shù)(簡(jiǎn)yxf二維延續(xù)隨機(jī)變量二維延續(xù)隨機(jī)變量 定義定義 設(shè)設(shè)X, YX, Y均為延續(xù)隨機(jī)變量，均為延續(xù)隨機(jī)變量， 結(jié)合概率密度的性質(zhì)：結(jié)合概率密度的性質(zhì)：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf)連續(xù)，則有)連續(xù)，則有在點(diǎn)(在點(diǎn)(若若另外，另外，yx,yx,f)( 設(shè)設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在落在 G 內(nèi)內(nèi) 的概率為：的概率為： GdxdyyxfGYXP.),(),(這個(gè)公式非常重要！這個(gè)公式非常重要！).

15、,(),(2yxfyxyxF 邊緣分布邊緣分布()iP Xx(,)ijjP Xx Yyijjp ,jiijyYxXPp ， ，21 ji那么隨機(jī)變量那么隨機(jī)變量X的邊緣概率函數(shù)的邊緣概率函數(shù)為為二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量X,YX,Y的結(jié)合概率函數(shù)為的結(jié)合概率函數(shù)為同理隨機(jī)變量同理隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為()jP Yy(,)ijiP Xx Yyijjippip離散隨機(jī)變量的邊緣分布離散隨機(jī)變量的邊緣分布表表示的邊緣分布也可以由下以及YX Y X 1y 2y jy ip 1x 11p 12p jp1 1p 2x 21p 22p jp2 2p ix 1 ip 2ip ijp ip j

16、p 1 p 2 p jp 延續(xù)隨機(jī)變量的邊緣分布延續(xù)隨機(jī)變量的邊緣分布),(),(yxfYX的聯(lián)合密度函數(shù)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 dyyxfxfX，的邊緣密度函數(shù)：的邊緣密度函數(shù)：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X dxyxfyfY，的邊緣密度函數(shù)：的邊緣密度函數(shù)：隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y注：邊緣分布可由結(jié)合分布獨(dú)一確定，但不能由邊注：邊緣分布可由結(jié)合分布獨(dú)一確定，但不能由邊 緣分布確定結(jié)合分布。緣分布確定結(jié)合分布。 求邊緣分布時(shí)如何確定積分區(qū)域及邊緣密度不求邊緣分布時(shí)如何確定積分區(qū)域及邊緣密度不為零的范圍。為零的范圍。 條件分布條件分布1. 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量( X ,Y ) 的條件分布的條件分布

17、,jjiyYPyYxXP 1在在Y= yj 條件下條件下X 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)|jiyYxXP ,jijpp , 2 , 1 i, 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij2在在 X= xi 條件下條件下Y 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù))(),()|(|yfyxfyxfYYX 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X在在Y=yY=y的條件下的條件密度函數(shù)的條件下的條件密度函數(shù)注：條件密度函數(shù)的性質(zhì)與普通密度函數(shù)類似)(),()|(|xfyxfxyfXXY隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y Y在在X=xX=x的條件下的條件密度函數(shù)的條件下的條件密度函數(shù)2. 延續(xù)隨機(jī)變量的條件分布延續(xù)隨機(jī)變量的條件分布 ： (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( ,)( )( )XYf x yfxfyijijppp即隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性解題步驟：解題步驟： ，的分布函數(shù)先求隨機(jī)變量函數(shù)zFYXgZZ, zFzfYXgZZZ的密度函數(shù)再求隨機(jī)變量函數(shù),隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 知二維隨機(jī)變量知二維隨機(jī)變量X,Y的結(jié)合密度為的結(jié)合密度為 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元延續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)變量是二元延續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)