機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)-3運動學(xué)中的矩陣法ppt課件

1、第三章第三章 運動學(xué)中的矩陣法運動學(xué)中的矩陣法 描畫剛體轉(zhuǎn)動有三種方法描畫剛體轉(zhuǎn)動有三種方法:1用繞右手直角坐標(biāo)系的一組轉(zhuǎn)動來描畫。用繞右手直角坐標(biāo)系的一組轉(zhuǎn)動來描畫。u 剛體轉(zhuǎn)動可以幾只旋轉(zhuǎn)矩陣來表示，這幾只旋轉(zhuǎn)矩陣剛體轉(zhuǎn)動可以幾只旋轉(zhuǎn)矩陣來表示，這幾只旋轉(zhuǎn)矩陣都是以繞都是以繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動為根底而導(dǎo)出的。我們稱繞軸的轉(zhuǎn)動為根底而導(dǎo)出的。我們稱繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)矩陣為根本旋轉(zhuǎn)矩陣。軸轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)矩陣為根本旋轉(zhuǎn)矩陣。2用繞空間用繞空間 軸的轉(zhuǎn)動來描畫。軸的轉(zhuǎn)動來描畫。3用歐拉角描畫。用歐拉角描畫。rzyxrrrr1111zyxrrrr2222zyxyyxxrzrrrrrrr121121

2、120000 cossinsincos一、三只根本旋轉(zhuǎn)矩陣一、三只根本旋轉(zhuǎn)矩陣1、繞、繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，假設(shè)固連剛體上的定長矢量軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，假設(shè)固連剛體上的定長矢量繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前設(shè)：角，旋轉(zhuǎn)前設(shè)：旋轉(zhuǎn)后：旋轉(zhuǎn)后：由圖：由圖：3-1 zyxrrrr1111zyxrrrr1112zyxrrrr1111zyxrrrr1111zyxrrrr111210000 cossinsincos10000 ; 12 cossinsincos,zzRrRrzR,寫成矩陣方式：寫成矩陣方式：簡寫成：簡寫成：那么：那么：稱為繞稱為繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。3-2 3-3 對于平面：對于平面：cos

3、sinsincosRxr 1繞12 rRrx, cossinsincos,00001xR 2、軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角的矩陣表示角的矩陣表示 旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣:3-4 3-53-6yr 1繞12 rRry, cossinsincos,00100yRyxzRRR,、 )()()(、 ijijijjikCCCEEE 3、旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角的矩陣表示角的矩陣表示式中：式中：為三只根本旋轉(zhuǎn)矩陣，對于該矩陣有許多表示方法，為三只根本旋轉(zhuǎn)矩陣，對于該矩陣有許多表示方法，都有不同但本質(zhì)一樣，我們常見表示為旋轉(zhuǎn)矩陣：都有不同但本質(zhì)一樣，我們常見表示為旋轉(zhuǎn)矩陣：3-73-8r1,2 rRRRrzyx1 2 rRr cccsssc

4、cscssscsssccssccsscsccRsincossc 、 二、繞直角坐標(biāo)軸的一組旋轉(zhuǎn)二、繞直角坐標(biāo)軸的一組旋轉(zhuǎn)隨剛體旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)次序為：隨剛體旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)次序為：留意：旋轉(zhuǎn)次序?qū)傮w最終位置有影響，即旋轉(zhuǎn)次序留意：旋轉(zhuǎn)次序?qū)傮w最終位置有影響，即旋轉(zhuǎn)次序 不可互換。不可互換。 假設(shè)定長矢量假設(shè)定長矢量先繞先繞z轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞y軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角角繞繞x軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角到達(dá)終點，那么：角到達(dá)終點，那么：其他類推。其他類推。3-93-103-11 xy平面內(nèi)的矩形體，經(jīng)有序列三個平面內(nèi)的矩形體，經(jīng)有序列三個900的旋轉(zhuǎn)后的的旋轉(zhuǎn)后的剛體位置如圖，旋轉(zhuǎn)次序有兩種：剛體位置如圖，旋轉(zhuǎn)次序有兩種： 式式311無普遍價

5、值，詳細(xì)問題需進(jìn)展分析，再構(gòu)成無普遍價值，詳細(xì)問題需進(jìn)展分析，再構(gòu)成完好的旋轉(zhuǎn)矩陣。完好的旋轉(zhuǎn)矩陣。 和與剛體固聯(lián)與剛體固聯(lián)方法：將方法：將是三個方向余弦。以上旋轉(zhuǎn)矩陣僅指繞是三個方向余弦。以上旋轉(zhuǎn)矩陣僅指繞x、y、z坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，現(xiàn)要用該矩陣來描畫相對于一個固定坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)矩陣，現(xiàn)要用該矩陣來描畫相對于一個固定坐標(biāo)系中的系中的uzyxuuu 、 、 uuuuu為旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量，分量為旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量，分量軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角。角。軸和軸和z軸平行，軸平行，這一暫時位置這一暫時位置軸轉(zhuǎn)回原先的位置，這種方法軸轉(zhuǎn)回原先的位置，這種方法u三、繞三、繞第二種表示旋轉(zhuǎn)的方法第二種表示旋轉(zhuǎn)的方法軸的

6、旋轉(zhuǎn)矩陣軸的旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)設(shè)然后使剛體繞然后使剛體繞最后再將最后再將可用五次轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)?？捎梦宕无D(zhuǎn)動來實現(xiàn)。轉(zhuǎn)動剛體使轉(zhuǎn)動剛體使即即z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，角，1,2 rRRRRRryxzxy3-12ur12 rRru, 即為繞恣意軸即為繞恣意軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，角，前后位置的關(guān)系式。前后位置的關(guān)系式。3-13(3-12)中五只矩陣連乘即得中五只矩陣連乘即得uR, 的表達(dá)式。的表達(dá)式。yu sin22zxxuuu sin由圖：由圖：1 1u 是單位矢量是單位矢量2222c coszxzzxuuuosuuzxuucoscossincos , cvusuvuusuvuusuvuuccvusuvuusuvuusuv

7、uucvuRxzyyzxxzyyzyxyzxzyxxu2222,cossincos1csv 、代入代入312展開可得：展開可得：式中：式中：3-143-15四、歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣四、歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角角繞繞N即即x1軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角角繞繞z轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過描畫剛體旋轉(zhuǎn)的第三種方法是用歐拉角表示。描畫剛體旋轉(zhuǎn)的第三種方法是用歐拉角表示。首先繞首先繞 , , , , , 1RRRRxz10000 csscR， csscRx000011 ，進(jìn)動進(jìn)動3-16章動章動3-17自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)3-18 10000 csscRz，其中：其中：0,1 xRx 0, 1zRzx 1，RRRRxz ccssssccccssscccsss

8、ccsscscsccR， 3-19角和轉(zhuǎn) 由于歐拉角是相對位移角，所以還可自轉(zhuǎn)由于歐拉角是相對位移角，所以還可自轉(zhuǎn)即：即： ，RRRR 歐拉公式通常用于定點運動機(jī)構(gòu)的分析，例如蛇螺儀。歐拉公式通常用于定點運動機(jī)構(gòu)的分析，例如蛇螺儀。三只根本旋轉(zhuǎn)矩陣及三只旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，其逆矩陣為三只根本旋轉(zhuǎn)矩陣及三只旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，其逆矩陣為其的轉(zhuǎn)置矩陣。其的轉(zhuǎn)置矩陣。 3-2 剛體的位移矩陣剛體的位移矩陣PQ11qp剛體位置剛體位置E用用表示，由位置表示，由位置1位置位置2可看作矢量可看作矢量到到，其總位移可以看作，其總位移可以看作的平移和繞基點的平移和繞基點角位移之和。角位移之和。 jjqp11q

9、p到到j(luò)jqp jP轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到由由 jjqp jjqp一、平面位移矩陣一、平面位移矩陣 1,2 rRrz jjjjjqp Rqp , jjjjjpqRpq ,11ppqqjj11pqpqjj由由33可寫成：可寫成：而而 知：知： 11, pqRpqjjj 3-20寫成分量的方式得：寫成分量的方式得： yyxxjjjjjyjyjxjxpqpqpqpq11111111cossinsincos 321 1pjp1)(qQ1qjq式中式中為剛體相對固定坐標(biāo)系為剛體相對固定坐標(biāo)系x-y的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。和最終位置和最終位置及轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)角是同時給定，是同時給定，點的起始位置點的起始位置適宜計算適宜計算Q點新位置

10、坐標(biāo)的方式，由式點新位置坐標(biāo)的方式，由式320求解求解得：得：通常，起始位置通常，起始位置因此當(dāng)因此當(dāng)為知，為知，可將可將(320)改成改成 jjjppqRq 11 1 jjjjppRqRq 11 11 重新整理：重新整理：322 1100cossincossinsincossincos111111111111111yxjyjjyjjjyjxjxjjjzjyjxqqpxpppppqqq 1 10 0 111111yxjjyjxqqpRpRqqjj 1 111qDqjj jD1將其寫成將其寫成33矩陣方程：矩陣方程：寫成簡單方式：寫成簡單方式：或：或：那么那么33矩陣矩陣稱為平面位移矩陣。稱為平

11、面位移矩陣。323 324 325 , , , , , RRRu或、R二、空間位移矩陣二、空間位移矩陣剛體空間位移矩陣，類似以上剛體空間位移矩陣，類似以上3-20、3-22、3-25方式的描畫，圖依然適用于空間機(jī)構(gòu)，只需用三維旋轉(zhuǎn)矩陣方式的描畫，圖依然適用于空間機(jī)構(gòu)，只需用三維旋轉(zhuǎn)矩陣替代替代即可。即可。 RRu代替 , 11 ,pqRpqujj jujppqRq 11, 為了方便，現(xiàn)用為了方便，現(xiàn)用于是相應(yīng)表達(dá)式于是相應(yīng)表達(dá)式322成：成：320成：成：324成：成： 1 10 0 0 111,qpRpRqujuj 326 327 328 1 111qDqjjjD1325變成：變成：是一個是

12、一個44的空間位移矩陣。的空間位移矩陣。329 軸挪動，同時又以角位移軸挪動，同時又以角位移 1 jpp 、uussuu 繞 剛體位移根本矩陣方程。剛體位移根本矩陣方程。上，而剛體沿著該軸作螺旋運動，上，而剛體沿著該軸作螺旋運動，沿沿軸旋轉(zhuǎn)。軸旋轉(zhuǎn)。三、螺旋位移矩陣三、螺旋位移矩陣式式326 11 ,pqRpqujj 有時往往用一個特殊點有時往往用一個特殊點P作為參考點，它的兩個位置作為參考點，它的兩個位置如下圖，剛體以線位移如下圖，剛體以線位移那么那么326式變?yōu)椋菏阶優(yōu)椋壕谝粋€固定軸線均在一個固定軸線 11,1 pqRuspquj 330 1 10 0 0 111 ,1,qpRuspRq

13、uuj 1 111qSqjj jS1用用328方式來寫那么上式成為：方式來寫那么上式成為： 可簡寫為：可簡寫為：式中式中稱為有限螺旋位移矩陣。為稱為有限螺旋位移矩陣。為44矩陣。矩陣。331 332 解：根據(jù)參考點解：根據(jù)參考點p運動前后的位置及剛體的轉(zhuǎn)角運動前后的位置及剛體的轉(zhuǎn)角， 構(gòu)成位移矩陣構(gòu)成位移矩陣) 1 1 (1、p)2 3(2、p6012) 1 3(1、q? 2q: 12D例例1 知一個作平面運動的剛體，其運動可用參考點知一個作平面運動的剛體，其運動可用參考點p從從位置到位置到位置的位移以及剛體的轉(zhuǎn)角位置的位移以及剛體的轉(zhuǎn)角來描畫，知剛體上任一點來描畫，知剛體上任一點Q0在第一個

14、位置在第一個位置，求，求Q第二個位置的坐標(biāo)第二個位置的坐標(biāo)時其坐標(biāo)時其坐標(biāo)1006016026060601603606010 01111221212cossincossinsincossincosxxpRpRD四、位移矩陣?yán)缢摹⑽灰凭仃嚴(yán)?732. 34113100634. 05 . 0866. 0366. 3866. 05 . 0122yxqq再由式再由式3-25可得可得: 1 111qDqjj例例2 求例求例1中剛體位置中剛體位置1到位置到位置2的有限旋轉(zhuǎn)中心的有限旋轉(zhuǎn)中心?當(dāng)一個作平面運動的剛體，從位置當(dāng)一個作平面運動的剛體，從位置1到位置到位置2時，該平面時，該平面上總存在一個位置

15、不變的點，此平面可以看作是繞固定平上總存在一個位置不變的點，此平面可以看作是繞固定平面上的這一點作旋轉(zhuǎn)。該點稱為有限轉(zhuǎn)動中心。留意，這面上的這一點作旋轉(zhuǎn)。該點稱為有限轉(zhuǎn)動中心。留意，這一點和速度為零的點速度瞬心概念不能混同。一點和速度為零的點速度瞬心概念不能混同。設(shè)旋轉(zhuǎn)中心設(shè)旋轉(zhuǎn)中心)(yxppp000 、0p100cossincossincossincos120120012121201201212120yyyyxpppinPppDx由于描畫剛體運動位移矩陣無論其所用的參考點是那一點，由于描畫剛體運動位移矩陣無論其所用的參考點是那一點，作得的位移矩陣元素的對應(yīng)值必定是一樣的。因此作得的位移矩陣

16、元素的對應(yīng)值必定是一樣的。因此作為參考點，寫出解析方式的位移矩陣：作為參考點，寫出解析方式的位移矩陣：12D366. 3sin)cos1 (120120yxpp634. 0sin)cos1 (120120 xypp6012232. 3 134. 100yxpp、由上例由上例數(shù)值矩陣第三列各對應(yīng)元素相等得：數(shù)值矩陣第三列各對應(yīng)元素相等得：再用再用代入得：代入得：例例3 由數(shù)值位移矩陣元素求螺旋運動參數(shù)由數(shù)值位移矩陣元素求螺旋運動參數(shù)? 螺旋運動是用來描畫剛體空間有限位移的最簡單運動。因螺旋運動是用來描畫剛體空間有限位移的最簡單運動。因此，用螺旋位移矩陣可方便地描畫空間有限位移。但工程設(shè)計此，用螺

17、旋位移矩陣可方便地描畫空間有限位移。但工程設(shè)計實踐問題中，給定的剛體位置參數(shù)的知數(shù)據(jù)經(jīng)常不是螺旋運動實踐問題中，給定的剛體位置參數(shù)的知數(shù)據(jù)經(jīng)常不是螺旋運動參數(shù)的數(shù)值，我們運用螺旋位移矩陣描畫空間有限位移時，首參數(shù)的數(shù)值，我們運用螺旋位移矩陣描畫空間有限位移時，首先要構(gòu)成數(shù)值位移矩陣，然后可求出相應(yīng)的螺旋運動參數(shù)先要構(gòu)成數(shù)值位移矩陣，然后可求出相應(yīng)的螺旋運動參數(shù)spppuuuzyxzyx和111 、 、 、 、 、 、 jD110003433323124232221141312111aaaaaaaaaaaaDj假設(shè)剛體由位置假設(shè)剛體由位置1到位置到位置j的數(shù)值位移矩陣的數(shù)值位移矩陣為：為：的數(shù)值

18、。的數(shù)值。333 1 10 0 0 111 ,1,qpRuspRquuj 由于無論用那種方式的位移矩陣來描畫空間的有限位移，由于無論用那種方式的位移矩陣來描畫空間的有限位移，對一樣的位移，它們對應(yīng)的元素相等。這樣就可按知的數(shù)值位對一樣的位移，它們對應(yīng)的元素相等。這樣就可按知的數(shù)值位移矩陣，求得相應(yīng)的螺旋位移矩陣的有關(guān)參數(shù)。移矩陣，求得相應(yīng)的螺旋位移矩陣的有關(guān)參數(shù)。1求螺旋轉(zhuǎn)角求螺旋轉(zhuǎn)角 cos)()()(21 222332211cvucvucvuaaazyx213322111aaacos 令式令式331中旋轉(zhuǎn)子陣的對角元素與知的數(shù)值矩陣中旋轉(zhuǎn)子陣的對角元素與知的數(shù)值矩陣式式333中對應(yīng)元素相等

19、，那么其對角線元素的總和亦相中對應(yīng)元素相等，那么其對角線元素的總和亦相等，即：等，即：所以：所以： 334 zyxuuu 、sin22332xuaasin22332aauxsin23113aauysin21221aauz2求求由式由式3-31中旋轉(zhuǎn)子陣的元素得：中旋轉(zhuǎn)子陣的元素得：所以：所以：同理：同理：螺旋軸螺旋軸u的方向余弦的方向余弦335 1p0 xu01xp333234232224131214apappsuaapappsuaapapsuazyzzzyyyzyx342414133222322131211)1 ()1 (aaaaauaauaauppszyxzy3求線位移求線位移s及螺旋軸上

20、參考點及螺旋軸上參考點的坐標(biāo)的坐標(biāo)，為使計算簡化，設(shè)，為使計算簡化，設(shè)這時式這時式331中第四列元素與知的數(shù)值位移矩陣中第四列元素與知的數(shù)值位移矩陣333式的對應(yīng)元素相等，可得方程組：式的對應(yīng)元素相等，可得方程組：寫成矩陣方式得：寫成矩陣方式得： 假設(shè)假設(shè)336 01332211則aaa234224214aaassausausauzyx342414 , , 180121 , 121 , 121332211auauauzyx0 111xzyppps和、這里有兩種特殊情況，如這里有兩種特殊情況，如即位移只沿即位移只沿u方向能挪動方向能挪動s：u方向：方向：當(dāng)當(dāng)時時 s和和p那么由該式求得。那么由該

21、式求得。 由上式可方便地求得由上式可方便地求得 五、數(shù)值位移矩陣的建立五、數(shù)值位移矩陣的建立D1j為剛體為剛體E從第一位置從第一位置E1運動到第運動到第j位置的位移矩陣。位置的位移矩陣。知剛體知剛體E上不共面的四個點上不共面的四個點P、Q、R和和G在位置在位置1和位置和位置j時的坐標(biāo)值。時的坐標(biāo)值。1 1 做平面運動的剛體，其位移能用運動平面上任取的不共線的做平面運動的剛體，其位移能用運動平面上任取的不共線的A、B、C三點的位移完全確定下來。假設(shè)：三點的位移完全確定下來。假設(shè)：三個位移方程可合并成：三個位移方程可合并成：100301110111564122111211675112D 假設(shè)知道平

22、面上恣意兩點的位移，如何構(gòu)成剛體的數(shù)值假設(shè)知道平面上恣意兩點的位移，如何構(gòu)成剛體的數(shù)值位移矩陣？位移矩陣？-90 -1sin ; 0cos1212121 RR 的cossinsincos1RIRR1 TRR 1六、位移矩陣的逆六、位移矩陣的逆對于平面旋轉(zhuǎn)矩陣，可用對于平面旋轉(zhuǎn)矩陣，可用角所構(gòu)成的逆位移來構(gòu)成角所構(gòu)成的逆位移來構(gòu)成，于是，于是:對于上式：對于上式： R是正交矩陣，是正交矩陣，對于空間旋轉(zhuǎn)矩陣仍成立。對于空間旋轉(zhuǎn)矩陣仍成立。 對于位移矩陣，可將位移分解成位移和轉(zhuǎn)動二部分，經(jīng)過對于位移矩陣，可將位移分解成位移和轉(zhuǎn)動二部分，經(jīng)過依次位移矩陣來描畫，即：依次位移矩陣來描畫，即： RTDD

23、D 100001001001222112112313aaaaaaD 111TRDDD 1112121MMMM 100)()(2322131222122321131121111aaaaaaaaaaaaD 1000)()(3433242314133323133432242214123222123431242114113121111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 平面：平面：空間空間44：去計算逆位移矩陣去計算逆位移矩陣ija運用以上等式很容易由位移矩陣元素運用以上等式很容易由位移矩陣元素的各元素，當(dāng)需求反復(fù)計算逆陣時可節(jié)省數(shù)值計算時間。的各元素，當(dāng)需求反復(fù)計算逆陣時可節(jié)省

24、數(shù)值計算時間。 1D一、坐標(biāo)變換矩陣一、坐標(biāo)變換矩陣 設(shè)有兩個原點不重合的坐標(biāo)系設(shè)有兩個原點不重合的坐標(biāo)系和和如圖，其中點如圖，其中點p在在 坐標(biāo)系坐標(biāo)系中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)3-3 坐坐 標(biāo)標(biāo) 變變 換換)(111 , , zyxp) , , (222zyxp) , , ()(1112cbao，在坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為，假設(shè)坐標(biāo)系，假設(shè)坐標(biāo)系的原點的原點O2在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為pooopo2211由圖：由圖：337 112212212211122122122111221221221 , z , z , , , , , , , czzzyyxxzbyzzyyyyxxya

25、xzzxyyxxxx)cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos( 上式可用兩坐標(biāo)系中的軸間夾角的余弦表示：上式可用兩坐標(biāo)系中的軸間夾角的余弦表示：338 將上式寫成齊次的矩陣方式得：將上式寫成齊次的矩陣方式得：1 1000 , , , , , , , , , 1222112121211212121121212111zyxc)zzcos()zycos()zxcos(b)yzcos()yycos()yxcos(a)xzcos()xycos()xxcos(zyx339 1 122221111zyxTzyx340 T21稱為由稱為由系變到系變到系的坐標(biāo)變換

26、矩陣，其中系的坐標(biāo)變換矩陣，其中16個個元素只需元素只需12個有實踐意義，左上角前三列的個有實踐意義，左上角前三列的33矩陣描畫坐標(biāo)矩陣描畫坐標(biāo)系系在系在系中的方位，其九個元素只需均不在同一行或同一中的方位，其九個元素只需均不在同一行或同一列上的三個元素是獨立的。第四列前三個元素表示坐標(biāo)系列上的三個元素是獨立的。第四列前三個元素表示坐標(biāo)系原點原點O2在系在系中的位置坐標(biāo)。中的位置坐標(biāo)。 當(dāng)兩坐標(biāo)的原點重合，即其原點的坐標(biāo)變換時，普通當(dāng)兩坐標(biāo)的原點重合，即其原點的坐標(biāo)變換時，普通仍可用仍可用339式，只是第四列改為式，只是第四列改為0、0、0、1即可，假即可，假設(shè)設(shè)z1與與z2重合如圖，那么重合

27、如圖，那么系到系到系的坐標(biāo)變換矩陣為：系的坐標(biāo)變換矩陣為：10000100000021 cossinsincosT 340 共原點共原點Z軸重合共原點軸重合共原點 將上式與式將上式與式32比較它們方式大致一樣，前面比較它們方式大致一樣，前面33矩陣完全一樣，所不同的只是矩陣完全一樣，所不同的只是對平面也適宜，其原點坐標(biāo)變換矩陣為對平面也適宜，其原點坐標(biāo)變換矩陣為33：1000cossin0sincos21T)(2222 , , zyxr 22121 10000rTrr cossinsincos假設(shè)知假設(shè)知R點在坐標(biāo)系點在坐標(biāo)系里的坐標(biāo)里的坐標(biāo)那么那么R點在點在系里的坐標(biāo)可用系里的坐標(biāo)可用341

28、式求出即：式求出即：341 21rr和 所以從所以從系變到系變到系的坐標(biāo)變換矩陣即為坐標(biāo)系系的坐標(biāo)變換矩陣即為坐標(biāo)系繞繞z軸軸轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過角使其與坐標(biāo)系角使其與坐標(biāo)系重合的旋轉(zhuǎn)矩陣重合的旋轉(zhuǎn)矩陣R。位置不同。位置不同。zyxrrrr111210000 cossinsincos同樣假設(shè)知同樣假設(shè)知R點在點在系里的坐標(biāo)系里的坐標(biāo)1r，求，求R點在點在點的坐標(biāo)，那么：點的坐標(biāo)，那么： 11212 10000rTrr cossinsincos RTRT 21112所以：所以：相當(dāng)于相當(dāng)于繞繞z轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到到重合。重合。342 對于不共原點坐標(biāo)變換，可用同樣方法討論。對于不共原點坐標(biāo)變換，可用同樣方法討論。如圖有

29、兩個坐標(biāo)系如圖有兩個坐標(biāo)系222111yxoyxo及, , 22yxP112 , bao假設(shè)知假設(shè)知P點在點在系的坐標(biāo)：系的坐標(biāo)：o2點在點在系里坐標(biāo)：系里坐標(biāo)： sincossincos22112211xybyyxax1 1 10012221221111yxTyxbayx cossinsincos那么：那么：寫成矩陣方式：寫成矩陣方式： 343 111yxo 21oo 移1o10010 01112baoRoRD cossinsincos 11221DTDT另一方面可以將坐標(biāo)系另一方面可以將坐標(biāo)系看作看作經(jīng)繞經(jīng)繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角，角，所構(gòu)成的，可以把所構(gòu)成的，可以把寫出由寫出由系到系到系的位移矩陣

30、為：系的位移矩陣為：所以：所以： 以上是平面情況，同樣適用于空間坐標(biāo)系。以上是平面情況，同樣適用于空間坐標(biāo)系。 又隨參考系由又隨參考系由點當(dāng)成參考點，點當(dāng)成參考點，344 二、二、DH矩陣矩陣相對位姿矩陣相對位姿矩陣 假設(shè)從空間機(jī)構(gòu)中任取兩相鄰構(gòu)件假設(shè)從空間機(jī)構(gòu)中任取兩相鄰構(gòu)件i和和i+1，如在每個構(gòu)，如在每個構(gòu)件上固連一個坐標(biāo)系，那么件上固連一個坐標(biāo)系，那么i+1構(gòu)件上某點構(gòu)件上某點p在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系i+1和和i中的坐標(biāo)變換可用式中的坐標(biāo)變換可用式(3-39)坐標(biāo)變換矩陣來描畫，對于不共坐標(biāo)變換矩陣來描畫，對于不共原點兩個恣意方位的坐標(biāo)系，會有六個獨立參數(shù)原點兩個恣意方位的坐標(biāo)系，會有六個獨

31、立參數(shù):) , , , , (111 cb,a 哈登伯格哈登伯格Hartenberg和迪納維特和迪納維特Denavit提出提出DH法，可使六個獨立參數(shù)減少到四個。該法稱為法，可使六個獨立參數(shù)減少到四個。該法稱為DH矩陣或位姿矩陣。矩陣或位姿矩陣。 按按DH表示法，圖示五級副轉(zhuǎn)動副或挪動副組成表示法，圖示五級副轉(zhuǎn)動副或挪動副組成的空間機(jī)構(gòu)，兩個相鄰構(gòu)件的空間機(jī)構(gòu)，兩個相鄰構(gòu)件1和和2中，坐標(biāo)系取法為：中，坐標(biāo)系取法為： 有效的方法為先選定各有效的方法為先選定各個坐標(biāo)系的個坐標(biāo)系的Z軸，對于轉(zhuǎn)軸，對于轉(zhuǎn)動副，挪動副，螺旋副及動副，挪動副，螺旋副及級副，圓柱副，級副，圓柱副，Z軸取軸取與運動副軸線相

32、重合；與運動副軸線相重合； Z軸確定后，沿兩個相軸確定后，沿兩個相鄰鄰Z軸如軸如Z1、Z2的最的最短公垂線即最短間隔線確短公垂線即最短間隔線確定定X軸，圖中軸，圖中X2取在取在Z1、 Z2軸最短軸最短d1的延伸線上，的延伸線上，Y軸由右手規(guī)那么決議。軸由右手規(guī)那么決議。 xoo與21111oo4s、由上述規(guī)那么可確定以下參數(shù)：由上述規(guī)那么可確定以下參數(shù)：1、d1是是Z2與與Z1兩軸的垂直間隔，兩軸的垂直間隔，正向一致時取正向一致時取Z；2、1是是Z2與與Z1兩軸間夾角，面對兩軸間夾角，面對x2軸，軸，Z2由由Z1逆時針轉(zhuǎn)為正。逆時針轉(zhuǎn)為正。3、1是是x2與與x1兩軸間夾角，面對兩軸間夾角，面對

33、Z1軸，軸，x1向向x2逆時針轉(zhuǎn)為正。逆時針轉(zhuǎn)為正。是是x1和和x2間的間隔，間的間隔，與與Z1軸方向一致時為正。軸方向一致時為正。 11oo11000 , , , , , , , , , 1222112121211212121121212111zyxc)zzcos()zycos()zxcos(b)yzcos()yycos()yxcos(a)xzcos()xycos()xxcos(zyx11000012221111111111111111111zyxscossinsindsincoscoscossincosdsinsincossincoszyx 由此方程由此方程339式寫成：式寫成：HD矩陣矩

34、陣: 1 ),(1 1222111122221111zyxsdHzyxHzyx 349 1111111 , 3221zyxHHHHzyxnnnnnn HHHHHnn1 , 433221 對于一個具有對于一個具有n個構(gòu)件的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，進(jìn)展延續(xù)變換，即：個構(gòu)件的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，進(jìn)展延續(xù)變換，即：閉環(huán)機(jī)構(gòu)：閉環(huán)機(jī)構(gòu)： DH矩陣在空間機(jī)構(gòu)運動分析和綜合中非常有用，尤矩陣在空間機(jī)構(gòu)運動分析和綜合中非常有用，尤其對于機(jī)器人的運動分析特別有效。其對于機(jī)器人的運動分析特別有效。 H350 351 例：圖示一偏心曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，知機(jī)構(gòu)的尺寸，進(jìn)展運動分例：圖示一偏心曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，知機(jī)構(gòu)的尺寸，進(jìn)展運動分析。析。解：首先建

35、立與各構(gòu)件固聯(lián)的坐標(biāo)系，由于為平面機(jī)構(gòu)那解：首先建立與各構(gòu)件固聯(lián)的坐標(biāo)系，由于為平面機(jī)構(gòu)那么三個轉(zhuǎn)動副軸線垂直紙面，構(gòu)件么三個轉(zhuǎn)動副軸線垂直紙面，構(gòu)件2和構(gòu)件和構(gòu)件1組成挪動副，組成挪動副，z1平行導(dǎo)路。平行導(dǎo)路。 iiiiisdH , , , 101121 , 180 , 90 , sdHH0 , , 0 , 22232dHH0 , , 0 , 33343dHH0 , , 90 , 040414 HH由此可以看出由此可以看出 IHHHH144332214332211 , , , , , 和ddsd0412360 , 20 , 150 , 40 mmdmmdmmd又由：又由：H中的元素是：中的

36、元素是：的函數(shù)，當(dāng)給定的函數(shù)，當(dāng)給定4就可求出就可求出s1 ，2和和3設(shè)：知設(shè)：知352 求：求：s1 ，2 ，3等位置函數(shù)等位置函數(shù)解：代入上述解：代入上述351的結(jié)果如下：的結(jié)果如下： Issinsincossincoscossincos1 0 0 01504060 0 600 0 1 0201504060 0601232320320232320320 00001001對角線為對角線為1，其他均為零，其他均為零 015040020150400601601232232320320ssinsincoscossincos 0320320120 ， 18060 020201502 cos03023

37、0 , 90 6418423401501.s由、行由、行代入得：代入得： 代入得：代入得：，在，在系為系為PPPTP21 DT21 2121THD 10011212118090 , s , , dHTDH因此對矩陣，本質(zhì)上假設(shè)構(gòu)件上有一點為因此對矩陣，本質(zhì)上假設(shè)構(gòu)件上有一點為 P在在系中坐標(biāo)為系中坐標(biāo)為 即只需知道由即只需知道由系位移到系位移到系的位移矩陣得到了系的位移矩陣得到了系系到到系的坐標(biāo)變換，因此式系的坐標(biāo)變換，因此式339知知T21即：即： 上例：上例： T21與與H21的區(qū)別那么在的區(qū)別那么在H-D矩陣在取坐標(biāo)系過程中矩陣在取坐標(biāo)系過程中作了特定商定處置，計算更為簡單，而作了特定商

38、定處置，計算更為簡單，而T21那么為普通式。那么為普通式。 zzyyxxTTbababaababbaba zyxaaaa zyxbbbb34 微分旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣微分旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣 1、矢量積的矩陣表示、矢量積的矩陣表示353 叉積：叉積： bAaaaaaabaxyxzyzb 000354 一、微分旋轉(zhuǎn)矩陣一、微分旋轉(zhuǎn)矩陣 000 xyxzyzaaaaaaAau000 xyxzyzuuuuuuuPuR , uuuuuQsinPcosPPR , 222zzyzxzyyyxzxyxxuuuuuuuuuuuuuuuuQ uuuQPP是是的反對稱矩陣表示法。的反對稱矩陣表示法。上的單位矢量也可用反對稱矩陣表示：上的單位矢量也可用反對稱矩陣表示：利用反對稱可將旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)梅磳ΨQ可將旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：表示為：其中：其中：對于旋轉(zhuǎn)軸對于旋轉(zhuǎn)軸355 356 r1 Rrrr 11 rRrRr rRrRrT1101r rWrRRrT 2、角速度矩陣、角速度矩陣W的旋轉(zhuǎn)可用矩陣方程式描畫，即的旋轉(zhuǎn)