數(shù)值分析試題與答案

1、一、單項選擇題（每小題 3分，共15分）1.和分別作為的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字3.通過點Xo,yoXl,yi的拉格朗日插值基函數(shù)lo Xx 滿足（A . lo Xo = o,li XiB loXo_ o liXi10 Xoi,li Xilo Xoi,li XiA . 4 和 3B . 3 和 2C . 3 和 4D . 4 和 42i2ifx dXfi Af()-f(2)2.已知求積公式i636，則 A _()iii2A .6B. 3C . 2D . 34.設求方程f X o的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速A .超線性B .平方C .線性D.三次Xi2x2X3o2為2x?3x335.

2、用列主元消元法解線性方程組X3x22作第次消元后得到的第 3個方程（)A .X2X32B2x2 1.5x33.52X2 X33Dx2 o.5x3i.5單項選擇題答案得評卷分人、填空題（每小題3分，共15 分）1.設 X (2,3, 4)T,則 lix |1l|X|22.一階均差f X0,X<31333C0,C1C23.已知n 3時，科茨系數(shù)88，那么C334.因為方程f X X4 2X0在區(qū)間1,2上滿足 ，所以f X0在區(qū)間內(nèi)有根。yy 2 yX5.取步長h 0.1，用歐拉法解初值問題y1 1的計算公式.填空題答案1.9 和、292.3.4.Yk 1Yk1.10.110.1kf Xof

3、 X1,k 0,1,2LYo5.得分評卷人1.1012求分21 x的一組數(shù)據(jù)：10 50 2三、計算題（每題15分，共60 分）已知函數(shù)y對于初始值0,0,0，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算1X （保留小數(shù)點后五位數(shù)字）f 15段線性插值函數(shù)，并計算 f的近似值.計算題1.答案1.解 x 0,1，%x x 寫出雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式;x100.51 0.5x0 110x 1,2%xx 21 2x 10.50.20.3x 0.82 1所以分段線性插值函數(shù)為n/ 1 0.5x x 0,1%x0.8 0.3x x 1,2%1.50.8 0.3 1.5 0.3510x1

4、x2 2x37.2x 10x2 2x3 8.32.已知線性方程組N x2 5%4.2計算題2.答案雅可比迭代公1.解原方程組同解變形為x10.1x20.2x30.72x20.1x1 0.2x30.83x30.2x10.2x20.84式為m 1X10.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m0.2x3m0.83m 1X30.2x1m0.2x2m0.84(m 0，仁.)高斯塞德爾迭代法公式m 1X10.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m 10.2x3m0.83m 1m 1m1X30.2X10.2X20.84(m 0,1)用雅可比迭代公式得X 0.720 00,0.830

5、00,0.840 00用高斯-塞德爾迭代公式得X 0.720 00,0.902 00,1.164 403.用牛頓法求方程X3 3x 10在1,2之間的近似根(1 )請指出為什么初值應取(2)請用牛頓法求出近似根,精確到計算題3.答案3解fx33x 13x2 312x240，故取x 2作初始值X3X2迭代公式為XnXoX2X3Xn1X1f Xn 1Xn1Xn 1人1-3xn 13xn 12X31< 21 1)3人11n 1,2,2 33322 11.88889X22 1.888893 1.87945 31.888892 10.00944 0.00011.879453 1 21.879393

6、1.87 9 452 10.00006 0.000121 1 . dx4. 寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分01 x .計算題4.答案4解 梯形公式bf x dxa應用梯形公式得1 dxx1 1 121 0 1 10.75辛卜生公式為x dxb af64f(a b) f b 2應用辛卜生公式得1 dx1 °f 01 04f(' 0) f 1 21 161 011 12536得分評卷人四、證明題（本題10分）3次代數(shù)精確度確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有hhf xdx A1f h證明題答案2證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即Ai,Ao,A

7、,將f x 1，x,x分別代入求積公式，并令其左右相等，得A1 Ao A, 2hh(A1 A) 02 2 3 h2(Ai A)h33Ao4h3。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于h x3dxhx4dxh3h3h3h4h具有三次代數(shù)精確度。填空（共20分，每題2 分）1設x 2.3149541，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值 x=則二階差商XX2，X33.設 X (2, 3, 1)T,則 |X|2l|X|2.設一階差商f X1,X2-f x2f X24 3X2X1fX3f X26 15f X2,X3X3X24 224求方程x2 x 1.25 0的近似根，用迭代公式x x 1-25，取初始值Xo

8、 1，那么 x1°y' f(x,y)5解初始值問題y(xo) yo近似解的梯形公式是yk 1 °1 1A6、5 1，則A的譜半徑27、設 f(x) 3x 5, Xk kh, kf Xn,Xn 1,Xn 2' .：'=0,1,2,，貝J和fXn , Xn 1, Xn 2 , Xn 38、若線性代數(shù)方程組 AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯德爾迭代都 9、 解常微分方程初值問題的歐拉(Euler )方法的局部截斷誤差為 °123y 102310、 為了使計算x 1 (x 1) (x 1)的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應將達式改

9、寫成 °1、2、X1, X2, X3fX2,X3f XK53211X3X4 163、6 和 J44、hyk f xr5、2f Xk 1,yk 16、(A)67、Xn , Xn 1 , Xn 23, fXn , Xn 1 , Xn 2 , Xn 3收斂9、10、y 10(x 1)3(x 1)、計算題(共75分，每題15分)3f(x) X2,Xo1 設1, X2(1)試求1 94 4上的三次Hermite插值多項式x使?jié)M足H(Xj)f(Xj), j 0,1,2,. H'(xJf'(xjx以升冪形式給出(2)寫出余項R(x) f(x) H(x)的表達式計算題1.答案1432

10、63 22331x x x x 一1、( 1)225450450259X/.V2X14XR2)2 已知x =鳳對的卩3)滿足耳，試問如何利用©構造一個收斂的簡單迭代函數(shù)廠；,使'0, 1收斂計算題2.答案2、由x (x)，可得1x 3x (x) 3x x 2( (x) 3x)(x)因 (x)2( '(x) 3),故 | '(x)| 弓(x) -31故 xk1(xk)2(xk) 3xk , k=0,1,.收斂。3.試確定常數(shù)A, B, C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。 試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少它是否為Gauss型的計算題3.答案3、A

11、C ,B 16,a99，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是 Gauss型的4.推導常微分方程的初值問題y' f(x,y)儀)y。的數(shù)值解公式:h '''yn 1 yn 1 3(yn 1 4yn yn 1)(提示：利用Simpson求積公式。計算題4.答案4、數(shù)值積分方法構造該數(shù)值解公式：對方程y f(x)在區(qū)間 xn1,xn1上積分,Xn 1Xn 1y(Xn 1) y(Xn1) f(x,y(x)dx得xn1，記步長為h,Xn 1f (x,y(x)dx對積分Xn 1用Simpson求積公式得Xn 12hh' ''f(X, y(x)d f

12、(Xn !) 4f (Xn) f(Xni)二(n 1 4y. y. 1)Xn163h '''所以得數(shù)值解公式：yn1 yn1 3(yn1 4yn yn1)X12x23x3142x-i5x22X3185.利用矩陣的LU分解法解方程 組 3X1X25X320計算題5.答案11 23A LU21 145、解：35 124y 得 x (1,2,3)t .令 Ly b 得 y (14, 10, 72)T, Ux三、證明題 （5分）1設 八1一，證明解 J八 -的Newton迭代公式是線性收斂的證明題答案1、證明：因f(x) (x3f(Xn) n,nf (Xn)32(Xn a)36

13、Xn (Xn a)5Xn 1 XnXn 1 Xna)2,故 f (x) 6x2 (x30,1,得學縣,n 0,1,.66x.三,而 （x） 6x5 a（肓）3 56 36故此迭達公式是線性收斂的。因迭達函數(shù)(x) 5 X6又x需則(V0)5613a）,由Newton迭達公式：a 3 -x ,310,2、填空題（20分）計算題3.答案（1）.設x* 2.40315是真值x 2.40194的近似值，則x有位有效數(shù)字。（2）.對 f（x） x3 x 1,差商 f0,1,2,3（）。.設 X （2, 3,7）t,則 |X| 。（4）.牛頓一柯特斯求積公式的系數(shù)和n（n）Ckk 0o填空題答案（1）3（

14、 2）1（3）7（4）1二、計算題1）. （ 15分）用二次拉格朗日插值多項式L2（x）計算sin 0.34的值。 插 值節(jié)點和相應的函數(shù)值是（0，0），（，），（，）。計算題1.答案l_2（X）(x X1)(X X2)(X。 xJ(X0 X2)f°(x X0)(X X2) f(X1 X°)(X!X2)(x X0)(X X1)(X2 X°)(X2 X1)1)=0.3333362).( 15分)用二分法求方程f(x) x3 x 1 0在I1。1.5區(qū)間內(nèi)的一個2根，誤差限 10。計算題2.答案N 6兒 1.25x2 1.375x3 1.31252) X4 1.343

15、75 X5 1.328125 冷 1.32031254X1 2X2 X311x1 4x2 2x3183）. （ 15分）用高斯-塞德爾方法解方程組2x1 X2 5x3 22，取x（0）（0,0,0）T，迭代三次（要求按五位有效數(shù)字計算）.k000012 753.81252.537520,209383 17893.680530,240432.59973.18393)迭代公式1 -4(k222/V1 5(k24).(15分)求系數(shù)A，A2和A3,使求積公式1f(x)dx A1 f( 1) A2f( -)A3f (-)對于次數(shù)2的一切多項式都精確成立133計算題4.答案10x1 4x2X355).

16、(10分)對方程組2x110x2 4x38試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由11112A1 A2A 2A1一 A2_ A0A| A2_ A33399313A12A0A4)23x1 2x2 10x315計算題5.答案5)解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10人 4x2 x352x110x2 4x383x1 2x2 10x315故對應的高斯一塞德爾迭代法收斂迭代格式為x1k1)1 (4x2k) x3k) 5)10x2k 1)1 ( 2x(k 1)4x3k) 8)1015)(k 1) x3)取x(0) (OQO)T ,經(jīng)7步迭代可得:x* x(7)(0.999 991 459,

17、 0.999 950 326, 1.000010)T三、簡答題1)( 5分)在你學過的線性方程組的解法中，你最喜歡那一種方法為什么2)( 5分)先敘述Gauss求積公式，再闡述為什么要引入它、填空題(20分)1. 若&=是的近似值，則a有()位有效數(shù)字.2.I°(x), h(x),ln(x)是以0,1，,n為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則).ili(x)i 03. 設f (x)可微，則求方程x f(x)的牛頓迭代格式是 ( ).(k 1)(k)4. 迭代公式X BX f收斂的充要條件(k 1)f (k)上5. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0)的迭代格

18、式x Bx f9x1 x28中的B稱為().給定方程組x1 5x24，解此方程組的雅可比迭代格式為()填空題答案x,Xn 心)1 f (Xn)(B)15.迭代矩陣,Xik1(8 x2k)9x： 1(4 x(k)5一得分評卷人1.根。二、判斷題(共10分)若 f(a)f(b) 0，則 f(x) °在(a,b)內(nèi)一定有( )2.的多項式區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次( )3.Jacobi迭代法收斂若方陣A的譜半徑(A) 1，則解方程組Ax=b的( )4.若f (x)與g (x)都是n次多項式，且在n+1個互異點Xi,。上 f(xi) g(xj，則f(x) g(x)5.差。

19、1 2xx2 近似表示e產(chǎn)生舍入誤判斷題答案1. x 2. x 3. x 4. V 5. x得分評卷人三、計算題（70分）1. （10分）已知f（0） = 1, f（3）二，f=，求過這三點的二次插值基函數(shù)l«x)=(f 0,3,4=(p2(x)=(f ( ).）,）,插值多項式）,用三點式求得計算題1.答案由插值公式可求得它們分別為:3x(x 4)，1>7一x15x(x122033),和62.（15分）已知一兀方程x 3x 1.201）求方程的一個含正根的區(qū)間;2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式（判斷收斂性）;3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式計算題2.答案2.

20、( 1)f(0)1.2 0 , f (2)1.80 又f (x)連續(xù)故在(0,2)內(nèi)有一個正根,x 33x 1.2,(x)(3x1.2)233, maxx (0,2)(x)1 21, xn 13,3Xn 1.2 收斂1.23f '(x)3x2 3,xn 1xn(3)3Xn3x 1.23x2 33.（15分）確定求積公式11f(x)dx Af( 0.5) Bf(xJ Cf (0.5)的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度計算題3.答案3.假設公式對f （x） 1,x, x2,x3精確成立則有A0.5ABx10.5C0.25ABx20.25C0.125AB*0.125C解此方程組

21、得A C求積公式為11f (x)dx4f ( 0.5)13左邊-右邊-65B C 202304 ,B32f(0)4.（ 15分）設初值冋題（1）寫出用Euler方法、4f (0.5),當f (x)x4時,左邊右邊代數(shù)精度為3oy 3x 2y 0 x 1y(0) 1步長h=解上述初值問題數(shù)值解的公式;寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解y1，y2，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案4. (1) yn 1yn0.1(3Xn 2%) 0.3人1.2yn0.2(2) yn 1yn2(3Xn 2yn)3(Xn0.2)2yn1=yn0.1(6xn2yn2yn 10.6)

22、333yn 1C ynXn2440迭達得3336333y11.575, y22.5852402404 0.2405. （15分）取節(jié)點X。 0, xi °5x2 1，求函數(shù)y e x在區(qū)間0,1上的二次插值多項式P2（x），并估計誤差。計算題5.答案0.50.5P2（X）0.5 e0.51(x0°)10.51°.5°(x0°)(x0.5)0.510.5=1+2( e 1)x 2(e2e 1)x(x 0.5)eXMmax yx 0,1x1,eP2(X)3!x(x 0.5)(x 1)10 X 竹寸 F P2(X) -Ix(x °.5)(x

23、1)l、填空題（每題4分，共20分）1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有 和Ij(Xi)2、設lj(x)(j 0,1,2L n)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則(i, j 0,1,2 L n)；7nlj(x)j 03、設lj(x)(j0,1,2L n)是區(qū)間a，b上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為 ;插值型求積公式中求積系數(shù)AjAjj 04、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式為。5、f(x)x2填空題答案1,則 f1,2,3,f1,2,3,401.相對誤差絕對誤差1, i j,2. 0, i j13.至少是nblk(x)dxab-a4. 3b a(b a)4f(4)(),180 2(a,b)5. 10、計算題1、已知函數(shù)y f（x）的相關數(shù)據(jù)i01230123X =怎）13927由牛頓插值公式求三次插值多項式F3（x）,計算題1.答案解：差商表i心荷J臨 AJ+1> g f 兀nAj+2 卞he .a01132229623327864<3由牛頓插值公式:2x283X 1，8 1) 1 23 24 3P3(x) N3(x) 3X1 4 1 33 P3J) OC)2 3 22、（ 10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長h 0.1，y y x