二次根式的化簡與計算的策略與方法

1、二次根式的化簡與計算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學教學的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進行二次根式的化簡與運算時,一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式無忑=向（仃2 口，b> 0）對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算.二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項.運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡是二次根式教學的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運算法則外，還要 掌握一些特殊的方法和技巧，會

2、收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例進行分類解析.1.公式法工 +>2歷ab -b1【例1】計算出十萬；口而曲獷）= 廠*廠=瓜十收【解】原式''. -原式.一 ；：山-，.【解后評注】以上解法運用了 “完全平方公式”和“平方差公式”,從而使計算較為簡便.2.觀察特征法2出十臟-3顯【例2】計算： 2 + 72-76【方法導引】若直接運用根式的性質(zhì)去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分,即得分子，于是可以簡解如下:母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以【解】原式_73(2 + V2-6)_- 2 + /2->/6 -【例3】 把下列各式的分母

3、有理化.G -忑（1）（而一指胸L婦；Jx + 1 + 2 J1-1+ I(力 1 )【方法導引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很 繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式=-述）+卜區(qū)-忑）=而3) 藍-國 區(qū)【方法導引】式可以直接有理化分母，再化簡.但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為"1"式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:-1 +m原式3.運用配方法【例4】化簡解】原式=也-2必1 =炯-2s1 + 1【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負數(shù)，顯然不能等于“4

4、.平方法【例5】化簡-屈* J*匹【解后評注】對于這類共利根式a-也與a +備 的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進行化簡5 .恒等變形公式法【例6】化簡（5+也 布了+ 短+、歷y【方法導弓I】若直接展開，計算較繁，如利用公式ig+by +伍媚=2口 +別，則使運算簡化.【解】原式=曲低-質(zhì)）了+回/-同6 .常值換元法【例7】化簡 71998x1999000x2001 +1【解】令1998 = ;2,則:7 .裂項法1 1 1 A 1+ A +【例8】化簡1+72短S護7?+Tioo【解】原式各項分母有理化得原式一二一三反 尸=1 ， L【例9】化簡【方法導引】這個分數(shù)如果直接有理化分母將十分

5、繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)的分子等于分母的兩個因數(shù) 之和，于是則有如下簡解：_ （號+77）+2+啊1（；厄十曲）：卜+、萬）【解】原式1 卜.18 .構(gòu)造對偶式法用 + 2 +-4 + 23 +2 + J.i -4【例10】化簡 月 + 2 - J儲-I « +2 +dd -4【解】構(gòu)造對偶式，于是沒 = m+2 + J? -4 , 6 =用 + 2-J/-4則二二二，必一；步一*.9 .由里向外，逐層化簡【解】:' J1-而丁，原式卜.J，；.【解后評注】對多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理.10 .由右到左，逐項化簡【例11】化簡【

6、方法導引】原式從右到左是層層遞進的關(guān)系，因此從右向左進行化簡.【解后評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很 強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用.1 .根式變形法【解】將兩個二次根式作變形得3,5=7?看用，5招=7?而歷.乃45, .標 >疝即3出<5招【解后評注】本解法依據(jù)是：當 go,

7、 no時，。方，則內(nèi)而；若a < b,則石 < 新2 .平方法【例2】比較3亞與2g的大小解(3=18(2回=1218 312, .3亞2一【解后評注】本法的依據(jù)是：當 a>d,b>0時，如果J >必，則a汴，如果戶<b'則a b .3 .分母有理化法通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2【例3】比較后1與尬-1的大小2【解】又' 1由 T a/2-14 .分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小.【例4】比較后-而與尼-亞的大小715-./14 =【解】1短+

8、而'又：二一丁 ,二 I. .布而忑不凝.而歷舊<舊舊5 .等式的基本性質(zhì)法【例5】比較 近 iK與而 16的大小【解法1】.行_« +的+閭=/ +小12+ 2/5x7 =12 + 2/35【解后評注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.非負底數(shù)和它們的二 次募的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得又幣+&石+5.幣-&舟后【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 .利用媒介值傳遞法【例6】比較 行+ 3與庶-3 的大小解.2<-/?<3 .幣曲又. 9

9、版 CO .屈-36后+ 3<廝-3【解后評注】適當選擇介于兩個無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進行比較.7 .作差比較法在對兩數(shù)進行大小比較時，經(jīng)常運用如下性質(zhì)： +1 .【例71比較J? + 1與正的大小 + .鳳變+鳳5+1)【解】 顯十 丹.二一、二a > 0, b>0 時,則:8.求商比較法與求差比較法相對應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運用的是如下性質(zhì)，當色loab lOa<b辦，b【例8】比較 "后與2+指 的大小.=74=13-歷【解】1一 13. - 1 5-g<2+后【解后評注】得上所述，含有根式的無理數(shù)大小的比較往往可采

10、用多種方法，來求解.有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.二次根式的化簡與計算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學教學的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進行二次根式的化簡與運算時,一般遵循以下做法：石盛=向（a> 0,0）先將式中的二次根式適當化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算.二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項.運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧

11、與方法二次根式的化簡是二次根式教學的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運算法則外，還要 掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例進行分類解析.1 .公式法x + y + Z歷ab -b1【例1】計算 瓜十方；4而【解】原式原式 " '【解后評注】以上解法運用了 “完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計算較為簡便.2 .觀察特征法2出千娓及【例2】計算：2 + 72-76【方法導引】若直接運用根式的性質(zhì)去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分 母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以后，即得分子，于是可以簡解如下：

12、【解】原式_73(2 + V2-6)_- 2 + /2->/6 -【例3】 把下列各式的分母有理化.G -忑（1）（而一指胸L婦；Jx + 1 + 2 J1-1+ I(力 1 )【方法導引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很 繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式=-述）+卜區(qū)-忑）=而3) 藍-國 區(qū)【方法導引】式可以直接有理化分母，再化簡.但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為"1"式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:-1 +m原式3.運用配方法【例4】化簡解】原式=也

13、-2必1 =炯-2s1 + 1【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負數(shù)，顯然不能等于“4 .平方法【例5】化簡-屈* J*匹【解后評注】對于這類共利根式a-也與a +備 的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進行化簡5 .恒等變形公式法【例6】化簡（5+也 布了+ 短+、歷y【方法導弓I】若直接展開，計算較繁，如利用公式ig+by +伍媚=2口 +別，則使運算簡化.【解】原式=曲低-質(zhì)）了+回/-同6 .常值換元法【例7】化簡 71998x1999000x2001 +1【解】令1998 = ;2,則:7 .裂項法1 1 1 A 1+ A +【例8】化簡1+72短S護7?+Tioo【解】原式各項

14、分母有理化得原式一二一三反 尸=1 ， L【例9】化簡【方法導引】這個分數(shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)的分子等于分母的兩個因數(shù) 之和，于是則有如下簡解：_ （號+77）+2+啊1（；厄十曲）：卜+、萬）【解】原式1 卜.18 .構(gòu)造對偶式法用 + 2 +-4 + 23 +2 + J.i -4【例10】化簡 月 + 2 - J儲-I « +2 +dd -4【解】構(gòu)造對偶式，于是沒 = m+2 + J? -4 , 6 =用 + 2-J/-4則二二二，必一；步一*.9 .由里向外，逐層化簡【解】:' J1-而丁，原式卜.J，；.【解后評注】對多重根式的化簡

15、問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理.10 .由右到左，逐項化簡【例11】化簡【方法導引】原式從右到左是層層遞進的關(guān)系，因此從右向左進行化簡.【解后評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很 強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用.1 .根式變形法【解】將兩個二次根式作變形得3,5=7?看用

16、，5招=7?而歷.乃45, .標 >疝即3出<5招【解后評注】本解法依據(jù)是：當 go, no時，。方，則內(nèi)而；若a < b,則石 < 新2 .平方法【例2】比較3亞與2g的大小解(3=18(2回=1218 312, .3亞2一【解后評注】本法的依據(jù)是：當 a>d,b>0時，如果J >必，則a汴，如果戶<b'則a b .3 .分母有理化法通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2【例3】比較后1與尬-1的大小2【解】又' 1由 T a/2-14 .分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，

17、利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小.【例4】比較后-而與尼-亞的大小715-./14 =【解】1短+而'又：二一丁 ,二 I. .布而忑不凝.而歷舊<舊舊5 .等式的基本性質(zhì)法【例5】比較 近 iK與而 16的大小【解法1】.行_« +的+閭=/ +小12+ 2/5x7 =12 + 2/35【解后評注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.非負底數(shù)和它們的二 次募的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得又幣+&石+5.幣-&舟后【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 .利

18、用媒介值傳遞法【例6】比較 行+ 3與庶-3 的大小解.2<-/?<3 .幣曲又. 9版 CO .屈-36后+ 3<廝-3【解后評注】適當選擇介于兩個無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進行比較.7 .作差比較法在對兩數(shù)進行大小比較時，經(jīng)常運用如下性質(zhì)： +1 .【例71比較J? + 1與正的大小 + .鳳變+鳳5+1)【解】 顯十 丹.二一、二a > 0, b>0 時,則:8.求商比較法與求差比較法相對應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運用的是如下性質(zhì)，當色loab 2lOa<b辦，b【例8】比較 "后與2+指 的大小.=74=13-歷【解

19、】1一 13. - 1 5-g<2+后【解后評注】得上所述，含有根式的無理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來求解.有時還需各種方法配合使 用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很 強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用.1 .根式變形法【例1】比較 3而與班 的大小【解】將兩個二次根式作變形得3君=際、屈,5忑即=品.乃45, .標 而即3石5后【解后評注】本解法依據(jù)是：當。0,時，儀6,則啟而；若。（6,則石心'2 .平方法【例2】比較3亞與2、片的大小【解】（殖卜2（2冏=12.18）12, .赤 2忑i。？【解后評注】本法的依據(jù)是：當 ad,b0時，如果白6，則。汴，如果拿b，則a b .3.分母有理化法通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.【例3】比較后T與也-1的大小1 一 2（+ 1）因4 .分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小.【例4