專題23多邊形內(nèi)角和問(wèn)題(解析版)

1、3專題 23 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題專題知識(shí)回顧1多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。 2多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。3多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫多邊形的外角。 4多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。5正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。 6多邊形內(nèi)角和公式： n 邊形的內(nèi)角和等于（ n-2 ）· 180° 7多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。8. 多邊形對(duì)角線的條數(shù)：（1）從 n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（ n-3 ）條對(duì)

2、角線，把多邊形分成（ n-2 ）個(gè)三角形。（2）n 邊形共有 n（n-3） 條對(duì)角線。2專題典型題考法及解析例題 1】（ 2019 貴州銅仁）如圖為矩形 ABCD，一條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為 a 和 b，則 a+b 不可能是（A 360°B 540°C 630°D720°【答案】 C【解析】 一條直線將該矩形 ABCD分割成兩個(gè)多邊形， 每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都是 180°的倍數(shù)， 都能被 180 整除，分析四個(gè)答案，只有 630 不能被 180 整除，所以 a+b 不可能是 630°【例題 2】（

3、2019 廣西梧州） 正九邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（）A 108°B 120°C 135°D140°【答案】 D【解析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：180°?（ n2）求出該多邊形的內(nèi)角和，再求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)該正九邊形內(nèi)角和 180°×（ 9 2） 1260°，則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù) 【例題 3】（ 2019 湖南湘西州） 已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 1080°，則這個(gè)多邊形是（）A五邊形B六邊形C七邊形D八邊形【答案】 D 【解析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、

4、變 形和數(shù)據(jù)處理。多邊形的內(nèi)角和可以表示成（ n 2）?180°，列方程可求解設(shè)所求多邊形邊數(shù)為 n，則（ n2）?180° 1080°，解得 n 8【例題 4】（2019 海南） 如圖， O與正五邊形 ABCDE的邊 AB、DE分別相切于點(diǎn) B、 D，則劣弧 所對(duì)的圓 心角 BOD的大小為度【解析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出E、 D，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出 OAE、 OCD，從而可求出AOC，然后根據(jù)圓弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題五邊形 ABCDE是正五邊形， EA108° AB、 DE與 O相切， OBA ODE 90°， BOD（ 52）

5、5; 180° 90° 108° 108° 90° 144°。專題典型訓(xùn)練題一、選擇題1（ 2019 湖北咸寧） 若正多邊形的內(nèi)角和是 540°，則該正多邊形的一個(gè)外角為（）A 45°B 60°C 72°D90°【答案】 C【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式 （ n2）?180°求出多邊形的邊數(shù)， 再根據(jù)多邊形的外角和是固定的360°，依此可以求出多邊形的一個(gè)外角正多邊形的內(nèi)角和是 540°，多邊形的邊數(shù)為 540°÷ 180°

6、+25，多邊形的外角和都是 360°， 多邊形的每個(gè)外角 360÷ 5 72°2（ 2019 內(nèi)蒙古巴彥卓爾） 下列命題： 若 x2+kx + 是完全平方式，則 k 1； 若 A（2，6），B（0，4）， P（1，m）三點(diǎn)在同一直線上，則 m5； 等腰三角形一邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸；一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的 2 倍，則這個(gè)多邊形是六邊形其中真命題個(gè)數(shù)是（ ）A 1B 2C 3D4【答案】 B【解析】利用完全平方公式對(duì)進(jìn)行判斷；利用待定系數(shù)法求出直線AB 的解析式，然后求出 m，則可對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外

7、角和對(duì)進(jìn)行判斷若 x2+kx+ 是完全平方式，則 k ± 1，所以錯(cuò)誤；若 A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點(diǎn)在同一直線上，而直線 AB的解析式為 y x+4，則 x1時(shí)， m5， 所以正確；等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸，所以錯(cuò)誤； 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2 倍，則這個(gè)多邊形是六邊形，所以正確3（ 2019 寧夏） 如圖，正六邊形 ABCDEF的邊長(zhǎng)為 2，分別以點(diǎn) A，D為圓心，以 AB，DC為半徑作扇形 ABF，扇形 DCE則圖中陰影部分的面積是（）A 6 B 6 C 12 D 12 【答案】 B【解析】正六邊形 ABCDEF的邊長(zhǎng)為 2，正六

8、邊形 ABCDE的F 面積是： 6×6 ，F(xiàn)AB EDC120°，圖中陰影部分的面積是：6 ，4. （2018 蘇州） 一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（A 27 B 35 C 44 D 54答案】 C 【解析】設(shè)出題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)步代入多邊形的對(duì)角線計(jì)算方法 ，即可解答設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為 x，邊數(shù)為 n，（ n2）× 180° x=1510， 180n=1870+x ，n 為正整數(shù)， n=11 ，5. （2018 齊齊哈爾） 如果一個(gè)多邊形的

9、每一個(gè)外角都是60°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A 3B，4C.5 D.6【答案】 D【解析】由一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60 °，且多邊形的外角和等于 360°，即可求得這個(gè)多邊形的邊數(shù)一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，且多邊形的外角和等于 360°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是： 360÷ 60=66. （ 2018武漢） 一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（）A 27 B 35 C 44 D 54【答案】 C 【解析】設(shè)出題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求

10、解即可，再進(jìn)一 步代入多邊形的對(duì)角線計(jì)算方法 ，即可解答設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為 x，邊數(shù)為 n，（ n2）× 180° x=1510， 180n=1870+x ，n 為正整數(shù)， n=11 ，=447. （ 2018大連） 如圖，在 ABC中， A=40°， D點(diǎn)是 ABC和 ACB角平分線的交點(diǎn)，則 BDC=【解析】由 D點(diǎn)是 ABC和 ACB角平分線的交點(diǎn)可推出 DBC+DCB=70，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求 出 BDC的度數(shù)D點(diǎn)是 ABC和 ACB角平分線的交點(diǎn)，有 CBD=ABD= ABC， BCD= ACD= ACB， ABC+ACB=180 40=140，

11、 OBC+OCB=70， BOC=180 70=1108. （2018 沈陽(yáng)） 若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是 150°，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A6B 12C 16D 187【答案】 B【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案 設(shè)多邊形為 n 邊形，由題意，得 （n2）180°=150n，解得 n=129（ 2018 山東臨沂） 內(nèi)角和為 540°的多邊形是（解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n2）?180°列式進(jìn)行計(jì)算即可求解設(shè)多邊形的邊數(shù)是 n，則（n2）?180°=540°， 解得 n=510. （2018 江蘇鎮(zhèn)江） 已知 n邊形的內(nèi)角和

12、=（ n-2 ）× 180°.n. 若不（1）甲同學(xué)說(shuō)， 能取 360°；而乙同學(xué)說(shuō)， 也能取 630°. 甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù) 對(duì)，說(shuō)明理由；（2）若 n 邊形變?yōu)椋?n+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了 360°，用列方程的方法確定 x. 【答案】 （1） 甲對(duì)，乙不對(duì) , 理由見(jiàn)解析； （ 2） 2.【解析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式判定即可； （ 2）根據(jù)題意列方程，解方程即可 . 試題解析： （1） 甲對(duì)，乙不對(duì) . =360°，（ n-2）× 180°=360°，解得 n=4. =63

13、0°，（ n-2）× 180°=630°，11解得 n=11. n 為整數(shù)， 不能取 630°（2） 由題意得，（ n-2 ）× 180+360=（n+x-2 ）× 180，解得 x=2.11（ 2018 湖南岳陽(yáng)） 已知正多邊形的一個(gè)外角等于 40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A 6B 7C 8 D 9【答案】 D 【解析】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個(gè)外角的度數(shù)，求得邊數(shù)正多邊形的一個(gè)外角等于 40°，且外角和為 360°， 則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是： 360°÷ 40&#

14、176; =912. （ 2018 四川綿陽(yáng)） 一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ）A7 B 7或 8 C 8或 9 D 7或 8或 9【答案】 D【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少 1，或不變首先求得內(nèi)角和為 1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)設(shè)內(nèi)角和為 1080°的多邊形 的邊數(shù)是 n，則（ n2）?180° =1080°，解得： n=8則原多邊形的邊數(shù)為 7 或 8 或 913. （ 2019 大慶模擬題） 將一矩形紙

15、片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和不可能是（ ）A 360° B 540° C 720° D 900°【答案】 D 【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，能夠得出一個(gè)矩形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本 題的關(guān)鍵根據(jù)題意列出可能情況，再分別根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可 將矩形沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180° +180° =360°將矩形從一頂點(diǎn)剪向?qū)?，得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°+360° =540°

16、將矩形沿一組對(duì)邊剪開(kāi)，得到兩個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：360°+360° =720°14. （2019 長(zhǎng)沙模擬題） 若一個(gè)正 n邊形的每個(gè)內(nèi)角為 144° ，則正 n 邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是（）A7 B 10 C 35 D 70 【答案】 C【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角以及多邊形的對(duì)角線，解題的關(guān)鍵是求出正 n 邊形的邊數(shù)本題屬于基 礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形邊的條數(shù)是關(guān)鍵由正 n 邊形的每個(gè)內(nèi)角為 144°結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式， 即可得出關(guān)于 n 的一元一次方程， 解方程即可求出n 的值，將

17、其代入 中即可得出結(jié)論一個(gè)正 n 邊形的每個(gè)內(nèi)角為 144°， 144° n=180°×（ n 2），解得： n=10這個(gè)正 n 邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是： =3515. （ 2018江西） 如圖，五邊形 ABCDE中有一正三角形 ACD，若 AB=DE， BC=AE， E=115°，則 BAE的度 數(shù)為何？（ ）A115 B 120 C125 D130【答案】 C【解析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出ABC 與 AED全等，進(jìn)而得出 B= E，利用多邊形的內(nèi)角和解答即可正三角形 ACD，AC=AD， ACD=ADC= CAD=60°

18、，AB=DE，BC=AE， ABC AED， B= E=115°， ACB= EAD， BAC=ADE， ACB+BAC= BAC+ DAE=180° 115°=65°， BAE=BAC+ DAE+ CAD=65° +60° =125 ° 二、填空題16（ 2019 江蘇淮安） 若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 540°，則該多邊形的邊數(shù)是 【答案】 5【解析】 n 邊形的內(nèi)角和公式為（ n2）?180°，由此列方程求 n 設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 n，則（ n2）?180° 540°，解得 n 517. （ 2019 陜西） 若正六邊形的邊長(zhǎng)為 3，則其較長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為【答案】 6【解析】如圖所示為正六邊形最長(zhǎng)的三條對(duì)角線，由正六邊形性質(zhì)可知，AOB， COD為兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形， AD=2AB=6，故答案為 618（2019 江蘇徐州） 如圖， A、B、 C、D為一個(gè)外角為 40°的正多邊形的頂點(diǎn)若