氣象統(tǒng)計整理

1、第一章 氣象資料及其表示方法一、 數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計特征要素樣本中資料分布的特點-用一些統(tǒng)計量表征。1、 平均值 含義：平均值是要素總體數(shù)學期望的一個估計。反映了該要素的平均（氣候）狀況。 2、 距平 含義：反映數(shù)據(jù)偏離平均值的狀況 ，也是通常所說的異常。*中心化*概念：把資料處理為距平的方法叫中心化特性：距平值的平均值為0，使用方便； 直接作為預(yù)報值，比較直觀（偏高/偏低）。3、 方差和均方差（標準差）含義：是均方差，描述樣本中資料與平均值差異的平均狀況，反映變量圍繞平均值的平均變化程度（離散程度），是方差。標準差大-變化幅度大；均方差小的要素預(yù)報比大容易，變化幅度??；變量減去某常數(shù)后均方差相同

2、。累積頻率：變量小于某上限的次數(shù)與總次數(shù)之比。二、 總體和樣本1、 總體(母體)：統(tǒng)計分析對象的全體。2、樣本：總體中的一部分。三、數(shù)據(jù)的標準化 各要素單位不同、平均值和標準差也不同。為使它們在同一水平上比較，采用標準化方法，使它們變成同一水平的無單位的變量-標準化變量（消除單位量綱的影響）。 證明：（1）標準化變量的平均值為0。（2）標準化變量的方差為1。峰度系數(shù)與偏度系數(shù)是用來衡量隨機變量分布密度曲線形狀的數(shù)字特征，描述了氣候變量的分布特征。偏度系數(shù)：表征曲線峰點對期望值（平均值）偏離的程度。峰度系數(shù)：表征分布形態(tài)圖形頂峰的凸平度（即漸進于橫軸的陡度）。三、 狀態(tài)資料和統(tǒng)計特征1. 狀態(tài)資

3、料（離散型隨機變量）表征氣象要素的各種狀態(tài)，觀測結(jié)果無法用數(shù)據(jù)表示。2. 頻率表、分布列-列出各個狀態(tài)出現(xiàn)的頻率。對樣本而言是頻率表，總體而言就是分布列。四、 多要素的氣象資料兩個方面來研究問題：“R型分析”：研究不同變量（要素）或同一要素不同格點之間的關(guān)系。（行）“Q型分析”：研究樣本之間的關(guān)系（列）。五、 統(tǒng)計量-協(xié)方差和協(xié)方差矩陣1. 協(xié)方差 衡量任意兩個氣象要素（變量）之間關(guān)系的統(tǒng)計量(正、負相關(guān)關(guān)系)（另外一個統(tǒng)計量叫相關(guān)系數(shù)）（距平的內(nèi)積）反映了兩個氣象要素異常關(guān)系的平均狀況，或者兩個變量的正、負相關(guān)關(guān)系。變量自身的協(xié)方差就是方差協(xié)方差帶單位，不同要素之間不好比較，相關(guān)系數(shù)可解決這

4、個問題。2. 協(xié)方差矩陣 m階對稱矩陣,對角線元素是第i個變量的方差,撇號代表距平。六、 區(qū)域資料的整理和利用（1）代表站方法-平均相關(guān)系數(shù)最大的站（2）區(qū)域平均法-區(qū)域平均值要與周圍格點（站點）值區(qū)別大（3）綜合指數(shù)法（各站點要素方差差異較大）<越大，異常越明顯>i表示區(qū)域內(nèi)臺站，j表示觀測資料的年代第二章 選擇最大信息的預(yù)報因子1. 條件概率在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下計算事件A的概率，稱為事件A在事件B已出現(xiàn)條件下的條件概率，記為P(A/B)。2. 天氣預(yù)報指標必須滿足兩個經(jīng)驗性的條件（1） P(A/B)>>P(A)或者P(A/B)<<P(A) -A/B之

5、間有一定聯(lián)系（2） （2）P(A/B)-1或P(A/B)-0 -預(yù)報指標有一定準確率3. 天氣預(yù)報指標的統(tǒng)計檢驗二分類預(yù)報：只預(yù)報事件A出現(xiàn)或者不出現(xiàn)，又稱為正反預(yù)報。P(A)=p,，p+q=1 求n次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)m次的概率4. 定量數(shù)據(jù)時的指標狀態(tài)要素：可以用條件概率選擇預(yù)報因子并且用二項分布檢驗預(yù)報因子的可靠程度。定量數(shù)據(jù)要素：主要用相關(guān)系數(shù)選擇預(yù)報因子或因子集，并用t檢驗方法檢驗其可靠性。5.（1）原始資料：（2）距平（均值為0）（3）標準化距平（標準化后資料均值為0，均方差為1）相關(guān)系數(shù)=協(xié)方差6. 相關(guān)系數(shù)的檢驗正態(tài)總體的相關(guān)檢驗實質(zhì)上是兩個變量間或不同時刻間觀測數(shù)據(jù)的獨立

6、性檢驗。所謂相關(guān)檢驗，就是檢驗 =0的假設(shè)是否顯著 。在假設(shè)總體相關(guān)系數(shù)=0成立條件下，樣本相關(guān)系數(shù)r的概率密度函數(shù)正好是t分布的密度函數(shù)。于是，就可以用t檢驗法來檢驗。 （1）t 檢驗在原假設(shè)=0的條件下，統(tǒng)計量符合自由度為n-2的t分布.給定信度和樣本相關(guān)系數(shù)r，根據(jù)自由度查出,若 ，即 否定=0，總體相關(guān)。反之，接受=0，總體非相關(guān)。（3） 相關(guān)系數(shù)表可以計算統(tǒng)一的判別標準相關(guān)系數(shù)，若，則通過顯著性的t檢驗。實際應(yīng)用中,若已知自由度（n-2）和顯著性水平，查相關(guān)系數(shù)表即可。7.自相關(guān)系數(shù)衡量氣象要素不同時刻之間的關(guān)系密切程度的量是自協(xié)方差和自相關(guān)系數(shù)。8. 落后交叉協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)衡量兩

7、個變量不同時刻之間的相關(guān)密切程度的量，常用落后交叉協(xié)方差和落后交叉相關(guān)系數(shù)表示。9. 高自相關(guān)變量間的相關(guān)系數(shù)及其統(tǒng)計檢驗（1）兩個變量無持續(xù)性（非高自相關(guān)）-t檢驗（2）兩變量本身有強持續(xù)性或高自相關(guān)，t檢驗的自由度不能用，需要計算有效自由度，其中。10. 偏相關(guān)系數(shù)當存在三個以上變量互相影響時（如考慮y和x1、x2之間的關(guān)系），需要考慮消除了x1(x2)影響后，x2(x1)與y的相關(guān)關(guān)系，這時候的相關(guān)系數(shù)稱為偏相關(guān)系數(shù)，記為第三章 氣候穩(wěn)定性檢驗1.步驟(1). 寫出零假設(shè)H0和備選假設(shè)H1；(2). 確定檢驗統(tǒng)計量；(3). 確定顯著性水平；(4). 根據(jù)數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的實現(xiàn)值；(5

8、). 根據(jù)這個實現(xiàn)值計算p-值；(6). 進行判斷：如果p-值小于或等于alpha，就拒絕零假設(shè)，這時犯（第一類）錯誤的概率最多為alpha；如果p-值大于alpha，就不拒絕零假設(shè)，因為證據(jù)不足。2. 氣候穩(wěn)定性檢驗涉及兩種情形（1）某一地區(qū)氣候是否具有穩(wěn)定性比較不同時段氣候變量的均值或者方差是否發(fā)生顯著變化。（2）兩個地區(qū)的氣候變化是否存在顯著差異 也可以通過檢驗均值和方差來判斷。3.平均值的顯著性檢驗（1）u檢驗-檢驗一個/二個總體均值 （2）t檢驗-檢驗一個/二個總體均值t統(tǒng)計量檢驗兩地氣候是否有顯著差異（服從自由度n1+n2-2的t分布）。若，表明兩區(qū)域的均值存在顯著差異。 如果樣本

9、量足夠大，可以近似按下式計算：4.對方差的檢驗（方差反映了某一變量觀測數(shù)據(jù)的偏離程度，它是變量穩(wěn)定與否的重要測度）（1）檢驗-檢驗一個總體方差（2）F 檢驗-檢驗兩個總體方差是否存在顯著差異上述統(tǒng)計量遵從自由度的F分布。若則認為兩地樣本方差有顯著差異，或者說氣候有顯著差異。！分析輸出結(jié)果： 檢驗可通過p（F）值（小于，拒絕）或者t檢驗（大于t，拒絕）第四章 氣候變化趨勢分析一、 線性傾向估計1.回歸系數(shù)b （氣候傾向率）回歸系數(shù)b表示了變量x的趨勢傾向。b符號為正，說明變量隨時間t的增加呈上升趨勢，反之則為下降趨勢，b值的大小反應(yīng)了上升和下降的速率，即傾向程度。2. 相關(guān)系數(shù)r （氣候趨勢系數(shù)

10、） 變量與時間的相關(guān)系數(shù)表示變量x隨時間變化程度。要判斷變化趨勢的程度是否顯著，就要對相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗。二、 滑動平均滑動平均是趨勢擬合技術(shù)最基礎(chǔ)的方法，它相當于低通濾波器。用確定時間序列的平滑值來顯示變化趨勢。三、 累積距平累積距平也是一種常用的、由曲線直觀判斷變化趨勢的方法。對于序列x,其某一時刻t的累積距平表示為：，計算結(jié)果分析1）累積距平曲線呈上升趨勢，表示距平值增加；2）呈下降趨勢，表示距平值減??； 3）從曲線明顯的上下起伏，可以判斷其長期顯著的的演變趨勢及持續(xù)性變化，甚至還可以判斷出發(fā)生突變的大致時間。從曲線小的波動可以考察其短期的距平值變化。四、 五、七和九點二次平滑 對時

11、間序列做五點二次、七點二次和九點二次平滑，與滑動平均一樣，也起到低通濾波的作用，以展示出變化趨勢。 優(yōu)點：可以克服滑動平均削弱過多波幅的缺點。 根據(jù)最小二乘法原理確定系數(shù)，可以得到五點二次、七點二次和九點二次平滑公式。第五章 一元線性回歸一元回歸處理的是兩個變量之間的關(guān)系，即一個預(yù)報量和一個預(yù)報因子之間的關(guān)系。求回歸系數(shù)的方法稱為最小二乘法。距平形式的回歸方程: 當變量為距平時，回歸方程可以不用求a,因為a=0,回歸直線通過原點。，標準化距平形式的回歸方程：利用 ，回歸問題的方差分析（1）意義 評價回歸方程的優(yōu)劣。（2）預(yù)報量的方差可以表示成回歸估計值的方差（回歸方差）和誤差方差（殘差方差）之

12、和。方差分析表明，預(yù)報量y的變化可以看成由前期因子x的變化所引起的，同時加上隨機因素e變化的影響，這種前期因子x的變化影響可以歸為一種簡單的線性關(guān)系，這部分關(guān)系的變化可以用回歸方差的大小來衡量。如果回歸方差大，表明用線性關(guān)系解釋y與x的關(guān)系比較符合實際情況，回歸模型比較好。兩邊同時乘以n變成各變量離差平方和的關(guān)系。， U和Q分別稱為回歸平方和及殘差平方和，稱為總離差平方和。U反映了回歸值的分散程度。Q反映了觀測值偏離回歸直線的程度。1.總平方和()反映因變量的 n 個觀察值與其均值的總離差。2.回歸平方和(U） 反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影響，或者說，是由于 x 與 y 之

13、間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和。3.殘差平方和(Q)反映除 x 以外的其他因素對 y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和。相關(guān)系數(shù)與線性回歸（1）因為回歸方差不可能大于預(yù)報量的方差，可以用它們的比值來衡量方程的擬合效果。即：，上式含義：表明了預(yù)報因子x對預(yù)報量y的方差的線性關(guān)系程度，這一比值又稱為解釋方差。也可以說明相關(guān)系數(shù)的含義：它是衡量兩個變量線性關(guān)系密切程度的量，又被稱為回歸方程的判決系數(shù)。判決系數(shù)R2 (coefficient of determination)1. 回歸平方和占總離差平方和的比例;2. 反映回歸直線的擬合程度；3. 取值范圍在 0

14、 , 1 之間；4. R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差；5. 判決系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2r2（2）回歸系數(shù)b與相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系,r與b同號。回歸方程的顯著性檢驗原假設(shè)回歸系數(shù)b=0的條件下，上述統(tǒng)計量遵從分子自由度為1，分母自由度為（n-2）的F分布，若線性相關(guān)顯著，則回歸方差較大，因此統(tǒng)計量F也較大；反之，F(xiàn)較小。對給定的顯著性水平, 查表得到F臨界值，如果 ,則拒絕原假設(shè)，認為線性相關(guān)顯著。注意: 對于一元線性回歸來說，因為F的相關(guān)系數(shù)表達式開方就是相關(guān)系數(shù)t檢驗的表達式,故回歸方程的檢驗與相關(guān)系數(shù)的檢驗一致?；貧w分析與相關(guān)分析的區(qū)別:1. 相關(guān)分析

15、中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化。2. 相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機變量，自變量 x 可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量。3. 相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制。第六章 多元線性回歸多元回歸就是研究一個預(yù)報量和多個預(yù)報因子之間的關(guān)系。主要討論較為簡單的多元線性回歸。其分析原理與一元線性回歸分析完全相同。一、 線性回歸模型的其他兩種形式距平形式

16、：二、 回歸問題的方差分析和一元回歸問題方差分析類似，預(yù)報量的方差可以表示成回歸估計值的方差（回 歸方差）和誤差方差（殘差方差）之和。三、 復(fù)相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)是衡量一個變量（預(yù)報量）和多個變量（因子）之間的線性關(guān)系程度的量，因為變量之間的關(guān)系可歸結(jié)為一個多元線性回歸方程，所以復(fù)相關(guān)系數(shù)是衡量預(yù)報量和估計量之間線性相關(guān)程度的量，通常記為意義：上式反映了回歸平方和、總離差平方和與復(fù)相關(guān)系數(shù)的關(guān)系?？梢?，復(fù)相關(guān)系數(shù)實際是衡量p個因子對預(yù)報量的線性解釋方差的百分率，其變化在01之間。四、回歸方程的顯著性檢驗 假設(shè)預(yù)報因子與預(yù)報量之間無線性關(guān)系，則回歸系數(shù)應(yīng)該為0。檢驗假設(shè)：計算統(tǒng)計量：，遵從分子自由

17、度為p,分母自由度為n-p-1的F分布，在顯著性水平下，若，認為回歸方程是顯著的。五、預(yù)報值的95%置信區(qū)間 ，六、預(yù)報因子的顯著性檢驗若在預(yù)報因子中減去第i個因子，再建立對y的預(yù)報方程，則回歸系數(shù)、回歸平方和、殘差平方和記為，定義第i個 因子的方差貢獻為是因子離差矩陣的逆矩陣的第i行第i列元素。計算統(tǒng)計量符合自由度為(1，n-p-1)的F分布。給定信度以后，當?shù)趇個因子的方差貢獻是顯著的。七、 利用回歸方程進行預(yù)報的步驟1.確定預(yù)報量并選擇恰當?shù)囊蜃印?.根據(jù)數(shù)據(jù)計算回歸系數(shù)標準方程組所包含的有關(guān)統(tǒng)計量（因子的交叉積、矩陣協(xié)方差陣或相關(guān)矩陣，以及因子與預(yù)報量交叉積向量等）；3.求解線性方程組

18、，定出回歸系數(shù)；4.建立回歸方程并進行統(tǒng)計顯著性檢驗；5.利用已經(jīng)給出的因子帶入回歸方程做出預(yù)報量的估計，求出預(yù)報值的置信區(qū)間。！根據(jù)輸出結(jié)果，寫出相應(yīng)的方程復(fù)相關(guān)系數(shù) 調(diào)整復(fù)相關(guān)系數(shù) 殘差方差的無偏計 13次觀測數(shù)據(jù) 自由度 離差積和 方差的無偏估計Y=62.4054+1.5511x1+0.5102x2+0.1019x3-0.1441x4 第七章 逐步回歸方法既要選擇對預(yù)報量影響顯著的因子，又要使回歸方程的殘差方差估計很小，這樣才有利于氣象預(yù)報。逐步回歸的三種方案1、 逐步剔除方案2、逐步引進方案3、雙重檢驗的逐步回歸方案第八章 氣象場的自然正交展開 m是空間點，n是時間序列長度。氣象場的自然正交展開，是將X分解為時間函數(shù)Z和空間函數(shù)V兩部分,即或者1.含義：場中第i個格點上的第t次觀測值，可以看作是p個空間函數(shù)和時間函數(shù)的線性組合 。上式表明，第t個場可以表示為m個空間典型場，按照不同的權(quán)重線性疊加而成。V的每一列表示一個空間典型場，由于這個場由實際資料確定，故又叫經(jīng)驗正交函數(shù)。上述分解要求滿足下列兩個條件：2.分解方法：A為實對稱矩陣