第四節(jié) 行列式的性質(zhì) 2013-2-27修改

1、 第四節(jié) 行列式的性質(zhì)教學(xué)目的：熟練掌握行列式的初等變換性質(zhì)，并能靈活運用初等變換性質(zhì)進(jìn)行行列式的計算與證明.教學(xué)過程：1.【定義1.5】由個數(shù)排成行列構(gòu)成符號，稱為級行列式.規(guī)定其運算為 .其中：為行列式的一般項，它由位于行列式不同行、不同列的個元素的乘積并冠以符號構(gòu)成，為列標(biāo)排列的逆序數(shù). 的值為取遍行列式各項的代數(shù)和.【表示取遍的所有級排列】注意：(1)可簡寫為或；(2) 中的稱為第行第列元素.(3) 中共有個元素，展開式中共有！項，其中冠正、負(fù)號的項各半.稱為的轉(zhuǎn)置行列式.【性質(zhì)1.1】行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.（行列式轉(zhuǎn)置其值不變）一、行(或列)間的性質(zhì)觀察例子 ， .利用行列

2、式的定義不難證明如下結(jié)論例1.（1）證明：互換行列式的兩行(或兩列),行列式值變號.證明:設(shè)，即變換兩行得到,有 ,(), , , 于是 .（2）證明：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù),等于用數(shù)乘此行列式. （）證明:.（3）證明：用數(shù)去乘以行列式，等于的某一行(某一列)中所有的元素都乘以同一數(shù). （）即 .（4）證明：若行列式的某一行（或某一列）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式等于兩個行列式之和.（拆列（拆行）即 .證明: .（5）證明：把行列式的某一列（或某一行）的各個元素乘以同一個數(shù)后加到另一列（另一行）對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.（倍列加（或倍行加）證明: 右邊.【性質(zhì)1.2

3、】行列式的初等變換性質(zhì)（1）換行（換列）值反號. 記作.（2）倍行（倍列）倍值. 記作 .（3）倍行加（倍列加）值不變. 記作.【性質(zhì)1.3】若行列式的某一行（某一列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和.【拆列（或拆行）】【性質(zhì)1.4】行列式某行（或某列）的公因式可以提到行列式外.【記為 （或）】【推論】用一個數(shù)乘以行列式，等于用這個數(shù)乘以此行列式的某一行（或某一列）.【就是性質(zhì)1.2的（2）】例2.證明（1）如果行列式有兩行(或兩列)完全相同，則.證明: 互換相同的兩行，有 .（換行（列）（2）行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零證明: 【性質(zhì)1.5】具有下列特征

4、之一的行列式值為零.（1）一行(或一列)元素全為零.（2）兩行(或兩列)元素對應(yīng)相等.（3）兩行(或兩列)元素對應(yīng)成比例.（行列式值為零的充分非必要條件）【塊行列式的性質(zhì)】（拉普拉斯定理的特例）.證明: 對上述行列式可以通過倍行加，將左上行列式化為下三角行列式，對上述行列式可以通過倍列加，將右下行列式化為下三角行列式，進(jìn)而證明.令 ；對實施倍行加，對實施倍列加，可以分別將，化為兩個下三角形行列式，從而得到.例 計算 二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用行列式的初等變換把行列式化為上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值例計算行列式 解：.例2 計算 解： .提問：設(shè)，則 .答案：-12.例3

5、計算行列式 解 （循環(huán)行列式）將第列都加到第一列得.例4 計算行列式 解法一： 將第行依次與行交換,再將第列依次與列交換,得.解法二：.解法三：（將第一個行列式再按最后一行展開，第二個行列式按第一列展開）.（同上按照遞推的方法可得）例5 設(shè)是方程 的三個根，則行列式的值為多少？解 是方程 的三個根，由韋達(dá)定理得，（查找一元n次方程的韋達(dá)定理）.例6 計算行列式 解.（提問：還有什么方法？）例7 求證 證明： 左邊（兩個行列式的提取公因式得）（上式作倍列加運算得）（上式提取公因式得）（再作倍列加運算得）（上式提取公因式得）（第二個行列式作兩次換列運算：）.三、課堂練習(xí)：4.計算下列各行列式：（2）；（4）；（3）48 ,（4）40.小結(jié)：（1） 計算行列式常用方法：利用行列式初等變換性質(zhì)把行列式化為上（下）三角形行列式，由對角線上元素乘積算得行列式的值（2） 對行列式進(jìn)行初等變換（換行、換列；倍行、倍列；倍行加、倍列加）時最好使的左上角的元素為“，以降低運算難度. 然后按依次解決一行（列）的辦法作等價變形，盡量回避分?jǐn)?shù)運算.（3）行列式中零元素較多時，可用選元素法使行列式變?yōu)橹挥袠O少數(shù)的非零項，直接用定義計算行列式的值.布置作業(yè)