向量在圓錐曲線中的應(yīng)用

1、向量在圓錐曲線中的應(yīng)用趙春祥由于平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介。因此，向量的引入大大拓寬了解題的思路，使它在研究許多問(wèn)題時(shí)獲得廣泛的應(yīng)用。利用平面向量這一工具解題，可以簡(jiǎn)捷、規(guī)范地處理數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題。下面介紹向量在圓錐曲線中的應(yīng)用。一、在橢圓中的應(yīng)用例1. 橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。解：由題意，設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為：P（x0，y0）、F1（）、F2（），則。由F1PF2為鈍角，得，即。 又點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，所以。 聯(lián)合、不難求得。二、在雙

2、曲線中的應(yīng)用例2. 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為_。解：由已知可得雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(5，0)、F2（5，0）。設(shè)P（x，y），則。因?yàn)椋?，所以。又因?yàn)镻（x，y）在雙曲線上，所以從而y=±。因此，點(diǎn)P到x軸的距離為。三、在拋物線中的應(yīng)用例3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸，證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。證明：如圖，拋物線，焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線為。設(shè)，A、F、B共線，則設(shè)，所以有，由BCx軸，可得。又由點(diǎn)A在拋物線上，得?；?jiǎn)后，得。則，從而。而，即共線，也就是直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。巧

3、用平面向量的數(shù)量積，妙解圓錐曲線問(wèn)題雷文閣兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的定義式含有“角”和“長(zhǎng)度”；而該式又可變形為，此式與三角形正弦面積有關(guān)；數(shù)量積還有坐標(biāo)形式。因此，通過(guò)數(shù)量積可溝通長(zhǎng)度、角、坐標(biāo)及三角形面積之間的關(guān)系。利用數(shù)量積解題，可以避繁就簡(jiǎn)。以下列舉其在圓錐曲線中的應(yīng)用。一、證明問(wèn)題例1. （二冊(cè)上P82）已知一個(gè)圓的直徑的端點(diǎn)是，求證圓的方程是證明：設(shè)是圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，由圓的性質(zhì)知又所以當(dāng)M與A或B重合時(shí)，仍滿足上式，故得證。評(píng)析：由結(jié)論左邊的結(jié)構(gòu)聯(lián)想數(shù)量積的坐標(biāo)式。二、求值問(wèn)題例2（2002年高考題）已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（x，y）使得，成公差小于零的等差數(shù)列。（1）求證；（2）

4、若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，記與的夾角為，求。解：（1）略解：，由直接法得（2）當(dāng)P不在x軸上時(shí)，而所以，當(dāng)P在x軸上時(shí)，上式仍成立。圖1評(píng)析：由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。三、求曲線的方程例3. 如圖2，在中，又E在BC邊上，且滿足，若以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)C、E兩點(diǎn)，求此雙曲線的方程。圖2解：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系，作于D，設(shè)雙曲線方程為由所以同理可求所以所以設(shè)，對(duì)于，由定比分點(diǎn)公式得由C、E在雙曲線上所以得，所以所以雙曲線方程為評(píng)析：由條件中的數(shù)量積，考慮定義式，巧做輔助線，由角的出現(xiàn)考慮解三角形。四、求參數(shù)的取值范圍

5、例4. 已知橢圓，長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為A、B，如果橢圓上存在一點(diǎn)Q，使，求這個(gè)橢圓的離心率的取值范圍。圖3解：設(shè)又Q滿足消x得由得評(píng)析：由面積相等法，借助數(shù)量積，建立變量y與待求參數(shù)e（用a，b，c的關(guān)系表示）的函數(shù)關(guān)系，比用余弦定理或其它方法方便。問(wèn)題1解:(1)當(dāng)直線AB軸時(shí),在中,令,有,則,得.(2)當(dāng)直線AB與軸不互相垂直時(shí),設(shè)AB的方程為:由,消去,整理得,顯然.設(shè),則,得=+=+ = =.綜(1),(2)所述,有.ypQo問(wèn)題2解:設(shè)點(diǎn)P,Q,M的坐標(biāo)分別為,x由條件知 , +得即,將,代入得,于是點(diǎn)M的軌跡方程為.問(wèn)題3解:(I)C的焦點(diǎn)為F(1,0),直線的斜率為1,所以的方程為,把它代入,整理得設(shè)A,B則有.+1=.,所以與夾角的大小為.(II)由題設(shè)得