2018版高中數(shù)學蘇教版必修四學案：1.3.1三角函數(shù)的周期性

1、1.3.1三角函數(shù)的周期性【學習目標】1了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2理解函數(shù) y= sin x, y= cos x, y= tan x 都是周期函數(shù)，都存在最小正周期.3.會求函數(shù) y= Asin(wx+及 y= Acos(wx+冊的周期.U問題導學-知識點一周期函數(shù)思考 單擺運動、時鐘的圓周運動、四季變化等，都具有周期性變化的規(guī)律，對于正弦、余 弦函數(shù)是否也具有周期性？請說明你的理由.梳理(1)周期函數(shù)的定義一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個 _ T,使得定義域內(nèi)的每一個x 值，都滿足_，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T 叫做這個函數(shù)的周期.最小正周期對于一個周期

2、函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個 _ ，那么這個最小的正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期.知識點二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期思考6n是正弦函數(shù) y= sin x(x R)的一個周期嗎？章三角函數(shù)3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)梳理(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kk Z 且 kz0)都是它們的周期，它們的最小正周期都是 2n.(2)正切函數(shù)的周期正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是n.函數(shù) y=Asin(wx+和 y=Acos(x+冊的周期一般地，函數(shù) y=Asin(3x+Q和 y=Acos(3x+$)(其中 A, w, $為常數(shù)，且 Az0,w0)的周 ”2

3、n期 T =.w題型探究-類型一求三角函數(shù)的周期例 1 求下列函數(shù)的周期：n nx ,n(1)y= 3sinQx+ 6)；(2)y= 2cos(- 2 + 4)；(3)y= |sin x|.反思與感悟求三角函數(shù)的周期，通常有三種方法：(1) 定義法.(2) 公式法：對 y=As in (wx+或 y=Acos(wx+ $)(A, w, $是常數(shù)，且 Az0, wz0)，有 T=|W|.觀察法(圖象法).1n跟蹤訓練 1 (1)函數(shù) y= 3cosgx 6)的最小正周期為 _.n(2)y = 2cos(wx+舌舌) )的最小正周期為n,貝U w=_.類型二利用周期求函數(shù)值 例 2 若 f(x)是

4、以寸為周期的奇函數(shù)，且 f 乩=1，求 f!55的值.反思與感悟 利用函數(shù)的周期性，可以把 x+ nT(n Z)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為 x 的函數(shù)值.(2)利用函數(shù)性質(zhì)，將所求轉(zhuǎn)化為可求的x 的函數(shù)值，從而可解決求值問題.跟蹤訓練 2 定義在 R 上的函數(shù) f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是n,且當 x 0,n時，f(x)= sin x,求 f 冒的值.類型三函數(shù)周期性的綜合應用 例 3 設 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，f(x+ 2) = - f(x)，當 00)的周期為 4，貝V 3=_.3 .函數(shù) ypcosT 2x I 的最小正周期為 _ .4 .求下列函數(shù)的最小正周期.n

5、(1) f(x)= cos( 2x 3)；n(2) y= 4sin(ax+ 6)(a 0).廠規(guī)律與右法-1.函數(shù)周期性的理解：(1)對于“f(x+ T)= f(x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即對定義域內(nèi)任意一個x,x+ T 仍在定義域內(nèi)且等式成立.周期函數(shù)的周期不是惟一的，如果T 是函數(shù) f(x)的周期，那么 kT(k Z , kM0)也一定是函數(shù)的周期.并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.如常數(shù)函數(shù)2 .求三角函數(shù)的周期，通常有三種方法:（1）定義法.,2n當堂訓練f(x) = C 沒有最小正周期.（2）公式法：對 y=Asi n（3x+$）或 y=Acos（3x+$）（A, w, $是常數(shù)，且

6、 A豐0, 3工 0）,T=.丨丨w|觀察法（圖象法）.三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當方法求解，為了避免出現(xiàn)錯誤，求周期之前要盡可能將函數(shù)化為同名同角的三角函數(shù)，且函數(shù)的次數(shù)為1.答案精析問題導學知識點一思考由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正弦、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象每當角增加(或減少)2n所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同.即有 sin(2n+x)= sin x, cos(2n+x)= cos x.故正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也具有周期性.梳理 非零的常數(shù) f(x+ T) = f(x)最小的正數(shù) 知識點二思考 是的.由 sin(6n+x) =

7、sin x 恒成立，根據(jù)周期函數(shù)的定義，可知6n是正弦函數(shù) y= sinx(x R)的一個周期.題型探究例 1 解(1)T=3= 4.3 n2xnxn(2)y=2cos(-2+4)=2cos(2-4),T=2-n=4n1(3)由 y= sin x 的周期為 2n可猜想 y= |sin x|的周期應為n.驗證：/ |sin(x+力|= | sin x|= |sin x|,由周期函數(shù)的定義知 y= |sin x|的周期是n.跟蹤訓練 1(1)4n(2) 例 2 解/ f(x)是以歲為周期的奇函數(shù)，f于=f于=fn6 =f6 =f6 =f(23)=f(3) n又f(3)= 1,“5nnf(5P=-f(n)=-j跟蹤訓練 2 2例 3 解/ f(x + 2) = - f(x),f(x+ 4)= f(x+ 2) = f(x), f(x)的周期為 4 又 f(x)是奇函數(shù)，.f(7) = f(8 1) = f( 1) = f(1) 又當 Owx 1 時，f(x) = x, f(7) = f(1) = 1.引申探究解 函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，則 f( x)= f(x).又函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 x = 1 對稱，則 f(2 + x) = f( x) = f(x), f(4 + x)= f(2 +