第一章函數(shù)極限連續(xù)

1、2021-12-16單單 位：永城職業(yè)學(xué)院位：永城職業(yè)學(xué)院制制 作：基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室作：基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室同 學(xué) 們 好現(xiàn)在開(kāi)始上課Math1-1緒論緒論當(dāng)自變量當(dāng)自變量x取數(shù)值取數(shù)值 時(shí)，與時(shí)，與 對(duì)應(yīng)的因變量對(duì)應(yīng)的因變量y的的值稱為函數(shù)值稱為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值,記為記為 或或 .當(dāng)當(dāng)x 取遍取遍D內(nèi)的各個(gè)數(shù)值時(shí)內(nèi)的各個(gè)數(shù)值時(shí), 對(duì)應(yīng)的變量對(duì)應(yīng)的變量y 取值取值的全體組成的全體組成0 xD0|x xy0 x0 x0()f x定義定義1.1 設(shè)設(shè)x與與y是兩個(gè)變量，若當(dāng)變量是兩個(gè)變量，若當(dāng)變量x在非空數(shù)集在非空數(shù)集D內(nèi)任內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，變量取一個(gè)數(shù)值時(shí)，變量x 按照某種對(duì)應(yīng)法

2、則按照某種對(duì)應(yīng)法則f 總有一個(gè)確定總有一個(gè)確定的數(shù)值的數(shù)值y 與之對(duì)應(yīng)，則稱變量與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y為變量為變量x 的的函數(shù)，記作函數(shù)，記作稱稱D為該函數(shù)的定義域?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域.記為記為Df 稱稱x為自變量，稱為自變量，稱y為因變量為因變量.xD一、一、 函數(shù)概念函數(shù)概念數(shù)集稱做這個(gè)函數(shù)的值域數(shù)集稱做這個(gè)函數(shù)的值域. .記為記為Zf 。( )yf x( )yf x2. 2. 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 2,cosyxyx例例2 2 某工廠全年某工廠全年1 16 6月原材料進(jìn)貨數(shù)量如下表，月原材料進(jìn)貨數(shù)量如下表，這里表達(dá)的是時(shí)間和原材料進(jìn)貨數(shù)量之間的關(guān)系這里表達(dá)的是時(shí)間和原材料進(jìn)貨數(shù)量之間的關(guān)系

3、 T(月)123456Q(噸)01015111212(1)公式法公式法 用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)的公式表示法關(guān)系，是函數(shù)的公式表示法.如如(2)表格法表格法 自變量自變量x與因變量與因變量y的一些對(duì)應(yīng)值用表格列出的一些對(duì)應(yīng)值用表格列出(3) 圖示法圖示法 用函數(shù)用函數(shù)y=f(x)的圖形給出自變量的圖形給出自變量x與與因因變量變量y 之間的關(guān)系之間的關(guān)系. .這種方法在工程技術(shù)上應(yīng)用很普遍，其優(yōu)點(diǎn)是這種方法在工程技術(shù)上應(yīng)用很普遍，其優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，可看到函數(shù)的變化趨勢(shì)直觀形象，可看到函數(shù)的變化趨勢(shì) 說(shuō)明說(shuō)明 三種表示法各有所長(zhǎng)，缺一

4、不可，如三角函數(shù)，三角三種表示法各有所長(zhǎng)，缺一不可，如三角函數(shù)，三角函數(shù)表，三角函數(shù)圖像，都是表示三角函數(shù)，可以相函數(shù)表，三角函數(shù)圖像，都是表示三角函數(shù)，可以相互補(bǔ)充?；パa(bǔ)充。例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域(1)(1)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)主要要素函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)主要要素。 注注: :(2)(2)如果兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則，則如果兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則，則 它們是相同的函數(shù)它們是相同的函數(shù) (4)在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時(shí)，我們約定：函數(shù)的定義在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時(shí)，我們約定：函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組

5、域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組成的數(shù)集成的數(shù)集.(3)在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的.13xyx解解 當(dāng)分母當(dāng)分母 時(shí)時(shí),此函數(shù)式都有意義此函數(shù)式都有意義30 x 因此函數(shù)的定義域?yàn)橐虼撕瘮?shù)的定義域?yàn)?, 3)( 3,) 例例1求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域.216ln(sin )yxx44,2(21) ,012xnxnn即即， ， ， 所以函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)?與與 . 4,)(0, ) 解要使函數(shù)解要使函數(shù)y 有定義，必須使有定義，必須使2160,sin0,xx成成立立 40,xx與與 這兩個(gè)不等式的公共

6、解為這兩個(gè)不等式的公共解為 對(duì)用解析式表示的函數(shù),求定義域時(shí)應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn): 函數(shù)表達(dá)式中含有分式,則分母不能為零; 函數(shù)表達(dá)式中含有偶次方根,則根式下表達(dá)式必須大于或等于零; 函數(shù)表達(dá)式中含有對(duì)數(shù),則真數(shù)必須大于零; 函數(shù)表達(dá)式中含有arcsinu 或 arccosu ,則必須滿足 u1 ; 分段函數(shù)的定義域是各部分自變量的取值范圍之并集3.3.分段函數(shù)分段函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, ,有時(shí)會(huì)遇到一個(gè)函數(shù)在定義域的有時(shí)會(huì)遇到一個(gè)函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)，用不同的解析式表示的情形，這樣的函不同范圍內(nèi)，用不同的解析式表示的情形，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)數(shù)稱為分段函數(shù) 例如符號(hào)函數(shù)例如符號(hào)函數(shù)

7、 100010,sgn,xyxxx是一個(gè)分段函數(shù)，它的定義域?yàn)槭且粋€(gè)分段函數(shù)，它的定義域?yàn)?(,) 分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，而不分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，而不是表示幾個(gè)函數(shù)是表示幾個(gè)函數(shù).1-1xyo 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線 (2) 取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)x的最大整數(shù) 30,352.53,11 2, 20,( ), 0,3, 03,xxf xxxxx f (x)的定義域是的定義域是-2, 3)，即分段函數(shù)的定義域?yàn)楦?，即分段函?shù)的定義域?yàn)楦鞫味x域的并集。段定義域的并集。例例2練習(xí)：練習(xí)：

8、分段函數(shù)分段函數(shù)21, 01,2( ), 12,196, 24,2xxf xxxxxx 求解：求解：1( ),(1),(3),(4)2ffff定義定義3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在是定義在Df上的一個(gè)函數(shù)，其值域?yàn)樯系囊粋€(gè)函數(shù)，其值域?yàn)閆f , ,對(duì)任意對(duì)任意y Zf , ,如果有唯一確定的滿足如果有唯一確定的滿足y=f(x)的的x Df與與之對(duì)應(yīng)，則得到一個(gè)定義在之對(duì)應(yīng)，則得到一個(gè)定義在Zf上以上以y為自變量的函數(shù)，我為自變量的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)們稱它為函數(shù)y =f (x)的反函數(shù)，記作的反函數(shù)，記作1( )xfy 4.4. 反函數(shù)反函數(shù)習(xí)慣上，常用習(xí)慣上，常用x來(lái)表示自變量，來(lái)表示

9、自變量，y 表示因變量，所表示因變量，所以我們可以將反函數(shù)改寫(xiě)成以我們可以將反函數(shù)改寫(xiě)成1( ) yfx 在直角坐標(biāo)系中的在直角坐標(biāo)系中的 圖形與圖形與y=f(x)的圖形是的圖形是1( )yfx 關(guān)于直線關(guān)于直線y = x 對(duì)稱的對(duì)稱的. .例例11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=2x3，求它的反函數(shù)并畫(huà)出圖形，求它的反函數(shù)并畫(huà)出圖形.123 (3).2解解出出 得得yxxxy 解解于是得反函數(shù)于是得反函數(shù)1(3)2yx23yx1(3)2yxyx 1.1.奇偶性奇偶性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y =f (x) 的定義域的定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有有 .xD xD 則稱則稱f (x)

10、為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；()( ),fxf x如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的 ，均有，均有Dx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)任意的如果對(duì)任意的 ,均有均有xD ()( ),fxf x 二、二、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性例例12 討論下列函數(shù)的奇偶性討論下列函數(shù)的奇偶性:2(1) ( );f xx ;)()2(3xxf.)( ),()()(2)333是奇函數(shù)xxfxfxxxf. )( ),()()() 1 (222是偶函數(shù)xxfxfxxxf解解.)()3(32xxxf

11、,)( ,)( ,)()3(323232xxxfxxxfxxxf而),()( ),()(,0 xfxfxfxfx且時(shí)當(dāng). )(32函數(shù)既不是偶函數(shù)也不是奇所以xxxf練習(xí)：練習(xí)： 討論下列函數(shù)的奇偶性討論下列函數(shù)的奇偶性:3(1) ( )tan ;f xxx(2) ( )sin ;f xxx(3) ( )sin(sin ).f xx2(4) ( )cos;f xx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f (x), 如果存在正常數(shù)如果存在正常數(shù) T,使得對(duì)于定義域內(nèi)使得對(duì)于定義域內(nèi)的任何的任何x均有均有 f (x + T)=f (x) 成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù)y=f (x)為為顯然，若顯然，若T是周期函數(shù)是周期

12、函數(shù)f(x)的周期，則的周期，則kT也是也是f (x)的周期的周期(k=1,2,3 )，通常我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期就，通常我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期就是指最小正周期是指最小正周期. 2 . 周期性周期性 周期函數(shù)，周期函數(shù)，T為為f (x)的周期的周期.例如，函數(shù)例如，函數(shù)y=sin x及及y=cos x都是以都是以 為周期的為周期的周期函數(shù)；周期函數(shù)；2函數(shù)函數(shù)y=tan x及及y=cot x都是以都是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).3.3.單調(diào)性單調(diào)性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x) 在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義(即即是函數(shù)是函數(shù)y =f (x)的定義域或者是定義域的一部分的定義域或者是

13、定義域的一部分).如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，均有時(shí)，均有則稱函數(shù)則稱函數(shù)y =f (x)在區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)增加上單調(diào)增加(或單調(diào)減少或單調(diào)減少).12,xxI 12xx 1212()() ()(),f xf xf xf x 或或 單調(diào)增加單調(diào)增加(或單調(diào)減少或單調(diào)減少)的函數(shù)又稱為單調(diào)遞增的函數(shù)又稱為單調(diào)遞增(單調(diào)遞減單調(diào)遞減)函數(shù)函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù),使函數(shù)保持單調(diào)使函數(shù)保持單調(diào)性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)函數(shù) 內(nèi)是單調(diào)減少的，在內(nèi)是單調(diào)減少的，在區(qū)間區(qū)間 上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的,而在區(qū)間而在區(qū)間

14、 內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù)內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x 軸正向上升的；軸正向上升的；單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x 軸正向下降的；軸正向下降的；例如，函數(shù)例如，函數(shù) 內(nèi)是單調(diào)增加的內(nèi)是單調(diào)增加的.3( )(,)f xx 在在2( )(,0f xx在在(,) 0,)4.4.有界性有界性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y =f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，數(shù)集，數(shù)集 ,如果存如果存在正數(shù)在正數(shù)M，使得對(duì)于任意的，使得對(duì)于任意的 ,都有不等式都有不等式成立，則稱成立，則稱f (x)在在X上有界，如果這樣的上有界，如果這樣的M不存在，就不存在，就稱函數(shù)稱函數(shù)f (x)

15、在在X上無(wú)界上無(wú)界.如果如果M為為f (x)的一個(gè)界，易知比的一個(gè)界，易知比M大的任何一個(gè)大的任何一個(gè)正數(shù)都是正數(shù)都是f (x)的界的界.|( )|f xM xX XD 如果如果f (x)在在x上無(wú)界，那么對(duì)于任意一個(gè)給定的上無(wú)界，那么對(duì)于任意一個(gè)給定的正數(shù)正數(shù)M，X中總有相應(yīng)的點(diǎn)中總有相應(yīng)的點(diǎn) ，使，使 .Mx|()|Mf xM 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有界時(shí)，函數(shù)上有界時(shí)，函數(shù)y =f (x)的圖形恰好位于直線的圖形恰好位于直線y =M 和和y = 之間之間.這里取這里取 = 1.函數(shù)函數(shù)y = sin x 的圖形位于直線的圖形位于直線y =1與與y = 1之間之間.

16、例如，函數(shù)例如，函數(shù)f (x)=sin x在在 內(nèi)是有界的內(nèi)是有界的. 這是因?yàn)閷?duì)于任意的這是因?yàn)閷?duì)于任意的 ， 都有都有 成立，成立，),(),(x1|sin|x應(yīng)該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的應(yīng)該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的特點(diǎn)，還要注意自變量的變化范圍特點(diǎn)，還要注意自變量的變化范圍.例如，函數(shù)例如，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的內(nèi)是有界的.1( )f xx 1 |( )| | 1f xx都都有有成成立立，)2 , 1 (x事實(shí)上，若取事實(shí)上，若取=1，則對(duì)于任何，則對(duì)于任何 而而 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)界的內(nèi)是無(wú)界的.1( )f xx )., 0()0

17、,( 和和的的定定義義域域?yàn)闉闉闉樨?fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x)., 0), 0()0 ,(,),(,2135 72 5332 的的定定義義域域?yàn)闉?；和和的的定定義義域域?yàn)闉椋粸闉榈牡亩ǘx義域域，如如分分?jǐn)?shù)數(shù)時(shí)時(shí)，情情況況比比較較復(fù)復(fù)雜雜當(dāng)當(dāng)xxxxx為(1)冪函數(shù)冪函數(shù)yx 冪函數(shù)冪函數(shù) 的定義域隨的定義域隨 的不同而不同的不同而不同.x 三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)).,( 的的定定義義域域?yàn)闉闉闉檎麛?shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x( 是常數(shù)是常數(shù)) 當(dāng)當(dāng) 為無(wú)理數(shù)時(shí)為無(wú)理數(shù)時(shí),規(guī)定規(guī)定 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?(0,)x 1.1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?.當(dāng)當(dāng)a

18、1時(shí)，它嚴(yán)時(shí)，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)格單調(diào)增加；當(dāng)0a1時(shí)，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)0ax0 x( )f x0 xx 0 xAxfxx )(lim00 xx0 xx限，記為限，記為0 x0 x0 x函數(shù)的極限與左、右極限有如下關(guān)系：函數(shù)的極限與左、右極限有如下關(guān)系： 定理定理 0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA注注: : 定理常用來(lái)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在定理常用來(lái)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在 例例 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 1cos,0( )sin,0 xxf xxx 在在 點(diǎn)處是否有極限點(diǎn)處是否有極限. . 0 x 00lim

19、( )lim( )0 xxf xf x 因?yàn)橐驗(yàn)?lim( )0 xf x 所以所以0)(lim0 xfx 0lim ( ) 0 xf x( (唯一性唯一性) ) 如果函數(shù)在某一變化過(guò)程中如果函數(shù)在某一變化過(guò)程中 有極限，則其極限是唯一的有極限，則其極限是唯一的 3 3、 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)( (有界性有界性) ) 若函數(shù)若函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)極限存在，時(shí)極限存在，則必存在則必存在x0 0的某一鄰域，使得函數(shù)的某一鄰域，使得函數(shù)f (x)在該鄰域內(nèi)有界在該鄰域內(nèi)有界( (保號(hào)性保號(hào)性) ) 1.1.無(wú)窮小量無(wú)窮小量定義定義 若變量若變量Y在某過(guò)程下以零為極限，則稱變量在某

20、過(guò)程下以零為極限，則稱變量Y在在此過(guò)程下為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小此過(guò)程下為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.1.3 1.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量303lim00 xxxx ，是是例例sinsinxxxx 0 0l l i i m m0 00 0，是是例例時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量.時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量.因?yàn)橐驗(yàn)樗运砸驗(yàn)橐驗(yàn)樗运岳绾瘮?shù)例如函數(shù) 時(shí)的無(wú)窮小，但當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小，但當(dāng)時(shí)不是無(wú)窮小。時(shí)不是無(wú)窮小。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的極限不為零，所以當(dāng)?shù)臉O限不為零，所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 不是無(wú)窮小，而當(dāng)不是無(wú)窮小，而當(dāng) 時(shí)時(shí)是無(wú)窮小量。是無(wú)窮小量。1 ( )f xxx 是是應(yīng)該注意無(wú)窮小量是

21、在某一過(guò)程中，以零為極應(yīng)該注意無(wú)窮小量是在某一過(guò)程中，以零為極限的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù)。因此應(yīng)明確指限的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù)。因此應(yīng)明確指出其變化過(guò)程。出其變化過(guò)程。1x sin x 2x2xsin x0 x sin x 在自變量的同一變化過(guò)程中在自變量的同一變化過(guò)程中 (1) 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小.(4) 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.(3)常量與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小常量與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.(2) 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.2 .無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì)sin.xx

22、x 0 01 1l li im m求求例例limxxxx0 00000，即即 是是解解 |sin|,sinxx 1111 1 1 而而即即注意注意 這個(gè)極限不能用極限的四則運(yùn)算法則求得，這個(gè)極限不能用極限的四則運(yùn)算法則求得， 因?yàn)橐驗(yàn)?不存在不存在.xx1sinlim0. 01sinlim0 xxx所以所以時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量.為有界變量為有界變量,3. 無(wú)窮大量無(wú)窮大量).( )( )(lim00 xxxfxfxx或定義定義 在自變量在自變量x的某一變化過(guò)程中的某一變化過(guò)程中, ,若函數(shù)值的絕對(duì)若函數(shù)值的絕對(duì)值值 無(wú)限增大，則稱無(wú)限增大，則稱 f( (x) )為此變化過(guò)程中的無(wú)為此變化過(guò)

23、程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大. .記作記作 )(xf 記記f (x)是無(wú)窮大，只是無(wú)窮大，只是為了書(shū)寫(xiě)的方便，同時(shí)也表明了當(dāng)是為了書(shū)寫(xiě)的方便，同時(shí)也表明了當(dāng) 時(shí)時(shí)f (x)雖然雖然無(wú)極限，但還是有明確趨向的無(wú)極限，但還是有明確趨向的.無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可無(wú)限增大的變量，不是絕對(duì)值很大很大的固定數(shù)無(wú)限增大的變量，不是絕對(duì)值很大很大的固定數(shù).0 xx 注意：注意： 函數(shù)函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng) 時(shí)為無(wú)窮大，則極限時(shí)為無(wú)窮大，則極限 是不存在的是不存在的.利用記號(hào)利用記號(hào)0 xx )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx4 . 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大

24、的關(guān)系簡(jiǎn)言之無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系為：在自變量的同一變簡(jiǎn)言之無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系為：在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小化過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,無(wú)窮小無(wú)窮小(不等于不等于0)的倒的倒數(shù)是無(wú)窮大數(shù)是無(wú)窮大.定理定理 在自變量的同一變化過(guò)程中，若在自變量的同一變化過(guò)程中，若f (x)為無(wú)窮大為無(wú)窮大,則則 為無(wú)窮小為無(wú)窮小;反之反之,若若f (x)為無(wú)窮小且為無(wú)窮小且f (x)不等于不等于0,則則 為無(wú)窮大為無(wú)窮大.)(1xf)(1xf.xxx 2 22 21 11 1l i ml i m1 1求求.xxx 2 22 21 11 1 l i m l i m1 1由由定定理理知知以后

25、，遇到類似上例的題目，可直接寫(xiě)出結(jié)果以后，遇到類似上例的題目，可直接寫(xiě)出結(jié)果.例例,xxx 2 22 21 11 1 l i m0 l i m01 1由由于于解解( )xf xx 1 11 1例考察例考察 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為無(wú)窮大量；為無(wú)窮大量；( )xf xx 1 11 11x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為無(wú)窮小量；為無(wú)窮小量； ( )xf xx 1 11 11 11x定理定理1 設(shè)設(shè) ,則則 2)lim( )( ) ;(f xg xA B (3)0B 若若，( )( )lim.f xAg xB 1.4.1 1.4.1 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則下面的定理，僅就函數(shù)極限的情形給出，所得的下面的定理，

26、僅就函數(shù)極限的情形給出，所得的結(jié)論對(duì)數(shù)列極限也成立結(jié)論對(duì)數(shù)列極限也成立.1.4 1.4 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算(1)lim( ( )( )f xg xABlimlimf xAg xB( ), ( )( ), ( )其中自變量其中自變量x的趨勢(shì)可以是的趨勢(shì)可以是 等各種情形等各種情形.0,xxx 定理定理1中的中的(1)和和(2)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的極限情況和及乘積的極限情況.結(jié)論結(jié)論(2)還有如下常用的推論還有如下常用的推論.推論推論1 設(shè)設(shè)limf(x)存在，則對(duì)于常數(shù)存在，則對(duì)于常數(shù)c，有，有l(wèi)im( )lim( ).cf xcf x 推論推論2 設(shè)

27、設(shè)limf(x)存在，則對(duì)于正整數(shù)存在，則對(duì)于正整數(shù)k，有，有l(wèi)im ( )lim( ) .kkf xf x 321lim(232).xxx求求極極限限例例132132111lim(2)lim(3)lilim(23m22)xxxxxxxx解解. 12131223 一般地，設(shè)有多項(xiàng)式一般地，設(shè)有多項(xiàng)式(有理整函數(shù)有理整函數(shù))( ),nnnnf xa xa xaxa 1 1011011lim( )()xxf xf x 0 00 0則有則有l(wèi)im.xxxx 2 22 24 42121求求極極限限例例2lim.xxxx 2 22 22 24 42 22 24 46 62 21 12 2 2 21 15

28、 5解解),()()(000 xFxQxP 0000lim( )( )lim( )lim( )lim( )xxxxxxxxP xP xF xQ xQ xlim( )()xxF xF x 0 00 0有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)都是多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式與與其中其中,0)(,)()(0 xQxQxP( )( ),( )P xF xQ x 設(shè)有理分式函數(shù)設(shè)有理分式函數(shù)式式(1)與式與式(2)說(shuō)明對(duì)于有理函數(shù)求關(guān)于說(shuō)明對(duì)于有理函數(shù)求關(guān)于 的的極限時(shí)，如果有理函數(shù)在點(diǎn)極限時(shí)，如果有理函數(shù)在點(diǎn) 有定義，其極限值就有定義，其極限值就是在是在 點(diǎn)處的函數(shù)值，以后可以當(dāng)做公式使用點(diǎn)處的函數(shù)值，以后可以當(dāng)做公式使用.0 xx 0 x

29、0 xlim ().xx 1 11212lim.xxx 2 2 1 11 11 1求求例例3()()limlimxxxxxxx 2 2 1 1 1 11111111111解解lim().xxx 3 31 113131111求求. 11112112lim221 xxxx )1)(1()2)(1(lim21 xxxxxx 例例4lim()limxxxxxxx 2 23333111113131313111111解lim.xxxx 2 22 221212 2求求例例5limlim.xxxxxxxx 2 22 22 22 211112 221212 22 22 21 1解解.21lim32 xxxx求求

30、. 021111lim21lim32332 xxxxxxxxx例例6，然后再求極限，得，然后再求極限，得分母同時(shí)除以分母同時(shí)除以分子分子, ,3x解解一般地一般地, ,對(duì)于有理分式有對(duì)于有理分式有: : mnmnbamnbxbxbaxaxamnmmmmnnnnx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)0lim011011其中其中n, ,m為正整數(shù)為正整數(shù)解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)樗运?1lim3xxx利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求求xxxx21coslim解：因解：因?yàn)闉?1lim2xxx又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤cos為有界函數(shù)為有界函數(shù)01coslim2xxxx所以所以利用無(wú)窮小的性質(zhì)：無(wú)窮小與有界函數(shù)的積仍為利用

31、無(wú)窮小的性質(zhì)：無(wú)窮小與有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小無(wú)窮小例例7求求例例831lim3xxx013lim3xxx1.4.2 1.4.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限重要極限重要極限1 sinlim.xxx 0 0 1 1BODACx特點(diǎn)：特點(diǎn)：2.Sin后整體趨向于后整體趨向于01.Sin后整體一致后整體一致. 1tanlim0 xxx求例例9)cos1sin(limtanlim 00 xxxxxxx解解. 1cos1limsinlim00 xxxxx1coslim0此題中用到此題中用到xx20cos.xxx求求1 1l i ml i m220)2(2sinlim21xxx.211212例例1022020

32、2sin2limcos1limxxxxxx解解xxx55sinlim50. 515 .5sinlim0 xxx求例例11xxxxxx55sin5lim5sinlim 00解解.()xxex1 1l i m 1l i m 1重要極限重要極限232lim(1) .xxx求例例12特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.括號(hào)內(nèi)為括號(hào)內(nèi)為1+2.括號(hào)內(nèi)外互為倒數(shù)括號(hào)內(nèi)外互為倒數(shù)3.括號(hào)外的指數(shù)整體趨向于無(wú)窮大括號(hào)外的指數(shù)整體趨向于無(wú)窮大.)1(limxxxx求例例14141013lim(1 2 )xxx例1.3.3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積都是無(wú)窮小，那么，兩兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積都是無(wú)窮小，那么，兩個(gè)

33、無(wú)窮小的商是否仍是無(wú)窮小呢？請(qǐng)看下面的例子個(gè)無(wú)窮小的商是否仍是無(wú)窮小呢？請(qǐng)看下面的例子.230, ,sin,2 ,xx xxx x 當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小.,sin,2;0 322均不是無(wú)窮小是無(wú)窮小時(shí)即xxxxxxxxx , 1sinlim , 22lim , 0lim0020 xxxxxxxxx320limxxx這些情形表明，同為無(wú)窮小，但它們趨于這些情形表明，同為無(wú)窮小，但它們趨于0的速的速度有快有慢，為了比較不同的無(wú)窮小趨于度有快有慢，為了比較不同的無(wú)窮小趨于0的速度，的速度，我們引入無(wú)窮小量階的概念我們引入無(wú)窮小量階的概念. .(3)如果如果 ,則稱則稱 是比是比 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小.

34、(2)如果如果 ,則稱則稱 是等價(jià)無(wú)窮小。是等價(jià)無(wú)窮小。(1)如果如果 ( 是常數(shù)是常數(shù)),則稱則稱 是同階無(wú)窮小是同階無(wú)窮小.與與定義定義 設(shè)設(shè) 時(shí)為無(wú)窮時(shí)為無(wú)窮小小(且且 ).( )x( )x，0()xxx在在或或0 1limlimc0lim0c與與lim(4)如果如果 ，此時(shí)稱，此時(shí)稱 是比是比 低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小.所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí), 與與x是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小,即即所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí), 是比是比x高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小,即即1,sinlim0 xxx例例15.x x x si n (0)si n (0)20,0lim因xxx 2 0( )().xo xx例例16 同理可知

35、同理可知,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x tan.xx x 0 02xx 0 0sin x關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小在求極限中的應(yīng)用，有如下定理關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小在求極限中的應(yīng)用，有如下定理.limlimlim.lim)lim( lim 由假設(shè)，有證證存在，則有，無(wú)窮小，且時(shí)都是或在及，設(shè)lim)( 0 xxx定理定理2limlim. 根據(jù)此定理，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，若根據(jù)此定理，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，若此極限不好求，可用分子、分母各自的等價(jià)無(wú)窮小來(lái)此極限不好求，可用分子、分母各自的等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，如果選擇適當(dāng)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算代替，如果選擇適當(dāng)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算.用定理用定理2求極限，需要預(yù)先知道一些等價(jià)無(wú)窮小求極

36、限，需要預(yù)先知道一些等價(jià)無(wú)窮小. 一些常用的等價(jià)無(wú)窮小如下一些常用的等價(jià)無(wú)窮小如下：20 e1 1 12sin,tan,ln() ,cos.xxxxxxxxxxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)arcsin x xarctan x x.2sin3tanlim0 xxx求例例17，所以，時(shí)，當(dāng)xxxxx22sin33tan0解解.2323lim2sin 3tan lim 00 xxxxxx01 cos18limsinxxxx例求極限21cos,sin2xxxx解 ： 因 為 x0時(shí) ,220 x0 x1cos x12limlimsin xx2xx所以.sintanlim30 xxxx求2tan1cos2xxxx ，

37、3030)cos1( tanlim tanlim xxxxxxxx sin .212lim320 xxxx例例19時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 ), cos(1 tan sin tan xxxxx解解注意：注意： 相乘相乘(除除)的無(wú)窮小都可用各自的等價(jià)無(wú)窮小代換，的無(wú)窮小都可用各自的等價(jià)無(wú)窮小代換，但是相加但是相加(減減)的無(wú)窮小的項(xiàng)一般不能作等價(jià)代換，如的無(wú)窮小的項(xiàng)一般不能作等價(jià)代換，如.tansinxxxxxxxx 3 33 30 00 0l l i i m ml l i i m m0 0是完全錯(cuò)誤的是完全錯(cuò)誤的x1.5.1 1.5.1 函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)連續(xù)性的概念xxxxxx 00相應(yīng)的函數(shù)的改

38、變量（增量）相應(yīng)的函數(shù)的改變量（增量）:函數(shù)的函數(shù)的終值終值 與初值與初值 之差之差 稱為自變量的改變量，記為稱為自變量的改變量，記為)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy 1.1.改變量（增量）：改變量（增量）：1.5 1.5 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性yx0 xxx0)(xfy )(0 xfxy0當(dāng)自變量由初值當(dāng)自變量由初值 變化到終值變化到終值 時(shí)，終值與初值之差時(shí)，終值與初值之差 稱為自變量的改變量，記為稱為自變量的改變量，記為0 x0 xx )(xf)(0 xf)()(0 xfxf 定義定義1 1： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)當(dāng)

39、自變量在點(diǎn) 處有增量處有增量 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量 , ,如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量 趨于趨于零時(shí)，函數(shù)的增量零時(shí)，函數(shù)的增量 也趨于零，即也趨于零，即則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn) 稱為函數(shù)的連稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)續(xù)點(diǎn)0 x)(xfy )()(00 xfxxfy )(xfy 0 x0 x0 x2.2.連續(xù)連續(xù)x x y 若記若記 ，則，則 ，且當(dāng)，且當(dāng) xxx 0)()(0 xfxfy 0 xx 故定義故定義1 1又可敘述為又可敘述為0lim0 yx0 x時(shí)注：連續(xù)與極限的關(guān)系注：連續(xù)與極限的關(guān)系定義定義2 2：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = = f ( (x

40、) )在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若的某鄰域內(nèi)有定義，若有有 , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù). . 00lim( )()xxf xf x 0 x由定義由定義2可知若函數(shù)可知若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，則函數(shù)處連續(xù)，則函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的極限一定存在，反之不一定連續(xù)處的極限一定存在，反之不一定連續(xù)x0 0)(xf)(xfx0 0( )yf x 0 x0（1）函數(shù)f(x)在x的某鄰域內(nèi)有定義000lim ( )lim ( )lim ( )xxxxxxf xf xf x（2）存在，即00lim( )()xxf xf x（3）定義定義3 3：若函數(shù)：若函數(shù) 滿足滿足 ，則稱，則稱函函 數(shù)

41、數(shù) 在點(diǎn)處在點(diǎn)處 左連續(xù)。左連續(xù)。 同理可以定義右連續(xù)同理可以定義右連續(xù)3 3、左右連續(xù)、左右連續(xù))()(lim00 xfxfxx4 4、區(qū)間連續(xù)、區(qū)間連續(xù)定義定義4 4：若函數(shù)：若函數(shù) 在（在（a , b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) ，則稱，則稱函數(shù)函數(shù) 在（在（a , b）內(nèi)連續(xù)。）內(nèi)連續(xù)。)(xf)(xf)(xf)(xf0 x定義定義5 5 若函數(shù)若函數(shù)y = f(x)在（在（a , b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在左端點(diǎn)且在左端點(diǎn)a 處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處左連續(xù)，則稱處左連續(xù)，則稱函函數(shù)數(shù)y = f (x)在在a , b上連續(xù)。上連續(xù)。5. 5. 函數(shù)的

42、間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類連續(xù)在0)(xxf處處有有意意義義。在在0)()1(xxf則一定滿足以下條件則一定滿足以下條件存在存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 如果如果f(x)在點(diǎn)不能滿足以上任何一個(gè)條件，則點(diǎn)在點(diǎn)不能滿足以上任何一個(gè)條件，則點(diǎn) 是函數(shù)是函數(shù) 的間斷點(diǎn)。的間斷點(diǎn)。)(xf0 x) 1(3) 1()(112xxxfxx例例解解3)1 (2lim)(lim11112fxfxxxx所以所以x =1=1為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)1.可去間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn)：如果函數(shù)在點(diǎn)如果函數(shù)在點(diǎn) 的極限存在，但不等于的極限存在，但不等于 即即0 x)(0 xf

43、)()(lim00 xfAxfxx則稱則稱 為為 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)。)(xf0 x)(lim)(lim00 xfxfxxxx2.2.跳躍間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)：例例 )21(1)10()(xxxxxf所以所以 x =1=1為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)左右極限存在不相等左右極限存在不相等11lim( )1lim( )0 xxf xf x 解： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)值不斷地在兩點(diǎn)之間跳時(shí)，函數(shù)值不斷地在兩點(diǎn)之間跳動(dòng)，左右極限均不存在動(dòng)，左右極限均不存在3.3.無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)0 xx f( (x) )在點(diǎn)在點(diǎn) 的左、右極限至少有一個(gè)是無(wú)窮的左、右極限至少有一個(gè)是無(wú)窮大，則稱大，則稱 為為f( (x)

44、 )的無(wú)窮間斷點(diǎn)的無(wú)窮間斷點(diǎn) 0 x0 x例例 x=0=0為為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)1yx 4.4.振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)例例1( )sinf xx x=0是其振蕩間斷點(diǎn)是其振蕩間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型：第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): 我們把左右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一我們把左右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一 類間斷點(diǎn)類間斷點(diǎn).第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): 除第一類以外的間斷點(diǎn)除第一類以外的間斷點(diǎn),即左右極限至少有即左右極限至少有 一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn).（可去與跳躍）（可去與跳躍） （無(wú)窮與震蕩） 例例)1()(22 xxxxxf解解函數(shù)在函數(shù)在x= -1 , x = 0 , x = 1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義所以所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函數(shù)的間斷點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)221lim(1)xxxxx 所以所以x = - -1是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)22221(1)(1)0001(1)(1)000lim()limlim1lim()limlim1xxxxxxxxxxxxxxxxfxfx 所以所以x= 0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)()()2211(1)2(1)111lim( )limlimxxxx xxxxf x 所以所以x= 1是