數(shù)學(xué)建模之傳染病模型

1、第五章微分方程模型如果實(shí)際對象的某特性是隨時(shí)間（或空間）變化的，那么分析它的變化規(guī)律，預(yù)測它的未來性態(tài)時(shí)，通常要建立此實(shí)際對象的動(dòng)態(tài)模型，這就是微分方程模型.§1傳染病模型建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.考慮某地區(qū)的傳染病的傳染情況，設(shè)該地區(qū)人口總數(shù)為N ，既不考慮生死，也不考慮遷移，時(shí)間以天為計(jì)量單位.一.SI模型假設(shè)條件：1. 人群分為易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 兩類人， 簡稱為健康人和病人，在時(shí)刻t 這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分

2、別記作st 和 i t .2. 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是( 常數(shù) ) ， 稱為日接觸率， 當(dāng)病人與健康人有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?試建立描述 i t變化的數(shù)學(xué)模型 .解：s ti t1s t N i t NN由假設(shè)2 知，每個(gè)病人每天可使s t 個(gè)健康者變?yōu)椴∪?，又由于病人?shù)為N i t ，每天共有s tN i t個(gè)健康人被感染 .于是N si 就是病人數(shù) N i的增加率，即有N diN si (1)dtdi1.si 而 s idt精選文庫又記初始時(shí)刻 ( t0 ) 病人的比例為 i0 ，則dii 1idti 0 i 0這就是 Logistic模型，其解為i t1111 e

3、ti0結(jié)果分析作出 i t t 和 di i 的圖形如下：dtdiidtdi1dt m20t mt01i21.當(dāng) i1時(shí)， di取到最大值di，此時(shí)刻為2dtdtmtm1 ln11i02.當(dāng) t時(shí)， i1即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪耍ㄟ@是不實(shí)際的）.二 .SIS 模型在前面假設(shè) 1、2 之下，再考慮病人可以醫(yī)治，并且有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，此模型稱SIS 模型 .假設(shè) 1、 2 同 SI 模型，增加假設(shè):-78精選文庫3.病人每天被治愈的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為，稱為日治愈率. 病人治愈后成為易感染者（

4、健康人）. 顯然1是這種傳染病的平均傳染期.解：在假設(shè)1、2、 3 之下，模型（ 1）修正為NdiN iNsidtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0i t11e1t,t,i 0結(jié)果分析1.令.注意到和 1的含義，可知是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù) .111i10ii11i 01111i00t0t2.接觸數(shù)1是一個(gè)閾值 .-79精選文庫當(dāng)1時(shí)，病人比例 i t 越來越小，最終趨于零 .1時(shí)， i t 的增減性取決于i0 的大小，其極限值 i1當(dāng)1.3. SI 模型是 SIS 模型中0的情形 .三. SIR模 型大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)

5、的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)，此時(shí)模型的假設(shè)為1. 人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱為SIR 模型 . 三類人在總?cè)藬?shù)N 中占的比例分別記作si 、 i t和 r t .1. 病人的日接解率為，日治愈率為（與 SIS模型相同） ，傳染期接觸數(shù)為.解：由假設(shè)1，有s ti tr t1dsdidr0dtdtdt由假設(shè)2，得 NdrN idisi Ni NdtNdtdridt又設(shè) s 0s0 , i 0i0 , r 00disiidt于是disiidtdssi(2)dti 0i0 , s 0s0我們在相平面上來討論解的性質(zhì).-80精選文庫相軌線的定義域?yàn)镈s, i s0, i0,si 1由 (2