對函數(shù)極限相關性質的理解及應用1111

1、對函數(shù)極限相關性質的理解及應用定西師范高等專科學校 數(shù)學系 數(shù)學教育專業(yè) 09級3班 程艷君摘 要：函數(shù)極限的概念和存在條件是我們理解函數(shù)極限和判斷函數(shù)極限是否存在的主要依據(jù)，函數(shù)的極限在數(shù)學分析中占有十分重要的地位，因此，較為復雜函數(shù)極限的計算也是我們學者應該掌握的。本文淺略地介紹了函數(shù)極限的概念和存在條件，函數(shù)極限的性質以及兩個重要極限在計算比較復雜的函數(shù)極限中的應用。 關鍵詞：函數(shù)極限；重要極限；四則運算；迫斂法。引 言：函數(shù)極限是數(shù)學分析的重要概念，它貫徹于整個數(shù)學分析中，函數(shù)極限理論是研究函數(shù)連續(xù)、導數(shù)、積分、級數(shù)等的基本工具，而一些較為復雜的函數(shù)極限計算又在解決實際問題中是必不可少

2、的。本文最主要介紹函數(shù)極限的概念和函數(shù)極限存在的條件，還有兩個重要函數(shù)極限、迫斂法和四則運算法在解較復雜函數(shù)極限中的應用。 1 . 函數(shù)的極限和極限存在的條件1.1 函數(shù)的極限1.1.1 趨于時函數(shù)的極限設函數(shù)定義在 上，類似于數(shù)列的情形，我們研究當自變量趨于時，對應的函數(shù)值能否無限的接近于某個正數(shù)A。例如，對于函數(shù)，從圖像上可見，當 無限的增大時，函數(shù)值無限的接近于0；而對于函數(shù)，則當趨于時函數(shù)值無限的接近于。我們稱這兩個函數(shù)當趨于時有極限。一般地，當趨于 時函數(shù)的極限餓精確定義如下：設為定義在上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的，存在正數(shù)M()，使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以A為極限，記作 或

3、1.1.2 趨于時函數(shù)的極限設為定義在點的某個空心領域內的函數(shù)。再討論當趨于時，對應的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)A。這類函數(shù)極限的定義如下：設函數(shù)在點的某個空心領域內有定義，A為定數(shù)。若對任給的，存在正數(shù) 使的當時有，則稱函數(shù)當趨于時以A為極限，記作 或 這個定理也是（函數(shù)極限的定義）舉例說明如何運用定義來驗證這種類型的函數(shù)極限，特別注意的值時怎么樣確定的。例：設，證明證明：由于時故對給定的，只要取，則當時有。這就證明了1.2函數(shù)極限存在的條件函數(shù)極限存在的條件：(1)歸結原理(Heine定理)設函數(shù)在 內有定義，存在的充分必要條件是：對于在內以為極限的任何數(shù)列,極限都存在并且相等；(2)單調有界

4、定理設f為定義在上的單調有界函數(shù)，則右極限存在；(3)柯西(Cauchy)收斂準則設函數(shù)在內有定義，。這三個條件是判斷函數(shù)極限是否存在的最基本的方法，歸結原理建立了函數(shù)極限與數(shù)列界限的關系，將函數(shù)極限的存在性轉化為數(shù)列極限的存在性，其中歸結原理和柯西準則通常用來證明函數(shù)極限的不存在性，在這里我們看一下歸結原理有關的例題。例：證明極限不存在。證明：設，則顯然有 ， 故由歸結原則即得結論。2.兩個常用的極限和在計算極限中的應用2.1.兩個重要極限的推廣形式和衍生公式第一個重要的極限，我們來看一下它的推廣形式， 表示在某極限過程中的極限為零。的三種衍生公式：（1）；（2）（3）第二個重要的極限，或者

5、，我們也來看一下它的推廣形式，當時，的三個衍生公式：(1)；（2）；（3）有兩個特征：（1）底數(shù)是1加上無窮??；(2)指數(shù)是底中無窮小的倒數(shù)。2.2兩個重要極限在計算極限中的應用第一個重要極限實際上是兩個無窮小之比的極限， 若分子分母分別求極限便得到這一不確定的結果.因此稱這一類型的極限為（）型不定極限. 第二個極限屬于（）型不定型極限. 綜上所述，可以得出這樣的結論，凡是含有三角函數(shù)的（ ）型極限和（）型極限，我們都可不妨分別應用兩個重要極限來試試，看能否得出他的結果，以下舉一些例子來說明是如何應用這兩個重要極限于極限計算中的。例1：求解：這顯然是含三角函數(shù)的(）型極限.因為 當，由第一個重

6、要極限及其一般形式立刻得到： =1*1*1=1例2：計算解：=2例3：計算解： = = = = =1例4：計算解： = = = = =13函數(shù)極限的性質和在計算函數(shù)極限中的應用3.1函數(shù)極限的六種性質及證明3.1.1唯一性，若極限的極限存在，則極限是唯一的。3.1.2局部有界性，若存在，則在的某個空心領域內有界。3.1.3局部保號型，若或（<0），則對任何正數(shù)(或)，存在，使得對一切有（或）3.1.4包不等號性，設與，且在某內有則。3.1.5迫斂性，設,且在某內有,則。3.1.6函數(shù)的四則運算法則若 （1）（2）=（3）若則：（4）這些性質對于，時也同樣成立。3.2函數(shù)極限的性質在計算函

7、數(shù)極限中的應用3.2.1四則運算法則在計算極限中的應用利用函數(shù)極限的四則運算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計算較復雜的函數(shù)極限。法則難理解我們要注意一下兩點：1、函數(shù)的個數(shù)有限，且每個函數(shù)的極限要存在；2、作為除數(shù)的函數(shù)極限不為零。例1：求的極限解：=例2：求解： = = = = 3.2.2迫斂性在計算函數(shù)極限中的應用利用函數(shù)極限的迫斂性，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計算較復雜的函數(shù)極限。我們下面看幾個簡單的例題，從中感受利用迫斂性和一些簡單已知的函數(shù)極限去計算比較復雜的函數(shù)極限。例1 ：求.解：當時有 而，故有迫斂性得 另一方面，當時有，故由迫斂性可得 綜上，我們求得例2：計算 解： = =總 結：在本文介紹了函數(shù)極限的概念、存在性以及兩個重要的極限、函數(shù)極限的性質，其中函數(shù)極限性質中的唯一性、局部有界性、局部保號型、保不等式性等我都沒有詳細的介紹，本文最重要的內容是利用兩個重要的極限和函數(shù)極限性質中的迫斂性和四則運算法則去計算比較復雜的函數(shù)極限。參考文獻:1 羅偉.探討求函數(shù)極限的三種