模糊聚類案例分析

1、模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用論文題目： 模糊聚類方法案例分析 小組成員：王季光 宋申輝 蘭潔 陳倩蕓 肖侖 楊洋 吳云峰2013年 10 月 27 日模糊聚類分析方法1.1距離和相似系數(shù)為了將樣品（或指標(biāo)）進(jìn)行分類，就需要研究樣品之間關(guān)系。目前用得最多的方法有兩個：一種方法是用相似系數(shù)，性質(zhì)越接近的樣品，它們的相似系數(shù)的絕對值越接近1，而彼此無關(guān)的樣品，它們的相似系數(shù)的絕對值越接近于零。比較相似的樣品歸為一類，不怎么相似的樣品歸為不同的類。另一種方法是將一個樣品看作P維空間的一個點(diǎn)，并在空間定義距離，距離越近的點(diǎn)歸為一類，距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)歸為不同的類。但相似系數(shù)和距離有各種各樣的定義，而這些定義與變量的類

2、型關(guān)系極大，因此先介紹變量的類型。由于實(shí)際問題中，遇到的指標(biāo)有的是定量的（如長度、重量等），有的是定性的（如性別、職業(yè)等），因此將變量（指標(biāo)）的類型按以下三種尺度劃分：間隔尺度：變量是用連續(xù)的量來表示的，如長度、重量、壓力、速度等等。在間隔尺度中，如果存在絕對零點(diǎn)，又稱比例尺度，本書并不嚴(yán)格區(qū)分比例尺度和間隔尺度。有序尺度：變量度量時沒有明確的數(shù)量表示，而是劃分一些等級，等級之間有次序關(guān)系，如某產(chǎn)品分上、中、下三等，此三等有次序關(guān)系，但沒有數(shù)量表示。名義尺度：變量度量時、既沒有數(shù)量表示，也沒有次序關(guān)系，如某物體有紅、黃、白三種顏色，又如醫(yī)學(xué)化驗中的陰性與陽性，市場供求中的“產(chǎn)”和“銷”等。不同

3、類型的變量，在定義距離和相似系數(shù)時，其方法有很大差異，使用時必須注意。研究比較多的是間隔尺度，因此本章主要給出間隔尺度的距離和相似系數(shù)的定義。設(shè)有個樣品，每個樣品測得項指標(biāo)（變量），原始資料陣為其中為第個樣品的第個指標(biāo)的觀測數(shù)據(jù)。第個樣品為矩陣的第行所描述，所以任何兩個樣品與之間的相似性，可以通過矩陣X中的第K行與第L行的相似程度來刻劃；任何兩個變量與之間的相似性，可以通過第列與第列的相似程度來刻劃。1.2 F相似關(guān)系 1.2.1定義設(shè)，如果具有自反和對稱關(guān)系，則稱為上的一個相似關(guān)系（表示模糊）當(dāng)論域為有限時，相似關(guān)系可以用矩陣表示。具有F相似關(guān)系的矩陣，稱為相似矩陣。在實(shí)際應(yīng)用時，通常只能得

4、到自反矩陣和對稱舉證，即相似矩陣。現(xiàn)在的問題是對具有相似關(guān)系的元素怎樣進(jìn)行分類，也就是如何將相似矩陣改造為等價矩陣。1.2.2 定理若，則稱為對稱矩陣。（1）若（是單位矩陣），則稱為自反矩陣。（2）若,則稱為傳遞的關(guān)系。（3）若滿足上面三點(diǎn)則稱為等價矩陣。定理1：相似矩陣的傳遞閉包是等價矩陣，且。證 只需要證明是自反的、對稱的。因是自反的，故，。不難得到不減，因此，即是自反的。因為，故是對稱的。有定理1可見，要想將相似矩陣改變?yōu)榈葍r矩陣，只需求相似矩陣的傳遞閉包。定理2：設(shè)是自反矩陣，則任意自然數(shù)，都有證由自反性推得當(dāng)時，有1.3 聚類分析所謂聚類分析，就是用數(shù)學(xué)的方法對事物進(jìn)行分類，它有廣泛

5、的實(shí)際應(yīng)用。在模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前，聚類分析已是數(shù)理統(tǒng)計多元分析的一個分支，然而現(xiàn)實(shí)的分類問題往往伴有模糊性。例如，環(huán)境污染分類、春天連陰雨預(yù)報、臨床癥狀資料分類、巖石分類，等等。對這些伴有模糊性的聚類問題，用模糊數(shù)學(xué)語言來表達(dá)更為自然。模糊聚類分析的步驟：第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)矩陣設(shè)論域為被分類的對象，每個對象由m個指標(biāo)表示其性狀，即于是得到原始數(shù)據(jù)矩陣為數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化在實(shí)際問題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱。為了使有不同的量綱的量也能進(jìn)行比較，通常需要對數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)淖儞Q。但是，即使這樣，得到的數(shù)據(jù)也不一定在區(qū)間0,1上。因此，這里說的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，就是要根據(jù)模糊矩陣的要求，將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間0,1上。

6、通常需要作如下集中變換。1） 平移標(biāo)準(zhǔn)差變換2） 平移極差變換3） 對數(shù)變換第二步標(biāo)定（建立模糊相似矩陣）設(shè)為待分類的全體。其中每一待分類對象由一組數(shù)據(jù)表征如下：現(xiàn)在的問題是如何建立和之間的相似關(guān)系。這有許多方法（這里選一些，列在下面），我們可以按照實(shí)際情況，選其中一種來求與的相似關(guān)系。（1）形似系數(shù)法數(shù)量積法其中M為一適當(dāng)選擇之正數(shù)，滿足夾角余弦法相關(guān)系數(shù)法其中 最大最小法算術(shù)平均最小法幾何平均最小法絕對值指數(shù)法絕對值減數(shù)法其中，適當(dāng)選取，使。（2）距離法1）直接距離法海明距離歐幾里得距離切比雪夫距離2） 倒數(shù)距離法3） 指數(shù)距離法選擇上述哪一個方法好，要按實(shí)際情況而定。在實(shí)際應(yīng)用時，最好采

7、用多種方法，選取分類最符合實(shí)際的結(jié)果。第三步聚類（求動態(tài)聚類圖）。由第一步得到的矩陣一般只滿足自反性和對稱性，即是相似矩陣，需將它改造成模糊等價矩陣。為此，采用平方法求出的傳遞閉包，便是所求的模糊等價矩陣。通過便可對進(jìn)行分類。實(shí)際應(yīng)用具體問題如下：地區(qū)生產(chǎn)總值(當(dāng)年價格)(億元)；：第一產(chǎn)業(yè)增加值；：第二產(chǎn)業(yè)增加值；：第三產(chǎn)業(yè)增加值；：地方財政一般預(yù)算內(nèi)收入；：工業(yè)企業(yè)數(shù)(個)；：工業(yè)總產(chǎn)值(當(dāng)年價格)(萬元)；：從業(yè)人員年平均人數(shù)(萬人)；：流動資產(chǎn)年平均余額(萬元) ；：主營業(yè)務(wù)收入(萬元)：利潤總額(萬元)；：移動電話年末用戶數(shù)(萬戶)；：國際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)(戶)；：公路里程；：普通中學(xué)學(xué)生數(shù)(萬人)；：醫(yī)院、衛(wèi)生院數(shù)(個)；：醫(yī)生數(shù)(執(zhí)業(yè)醫(yī)師+執(zhí)業(yè)助理醫(yī)師)(個)。17項指標(biāo)來描述江西省11各市區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平情況。現(xiàn)將11個不同經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的市區(qū)進(jìn)行聚類。標(biāo)準(zhǔn)差變換下夾角余弦法構(gòu)造相似矩陣R采用傳遞閉包法進(jìn)行聚類，得到的動態(tài)聚類圖如下：標(biāo)準(zhǔn)差