第一講圓的基本概念及垂徑定理

1、第一講 圓的基本概念及垂徑定理一、知識點、考點集結(jié)1、圓的兩種定義 動態(tài)：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”靜態(tài)：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是平面內(nèi)所有到定點O的距離等于定長r 的點組成的圖形2、點與圓的位置關(guān)系 平面內(nèi)一點A到圓心O的距離為d，圓的半徑為rd>r A在圓外 d=r A在圓上 d<r A在圓內(nèi)3、與圓有關(guān)的概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓中最長的弦?；。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧以A、B為

2、端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB” 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，小于半圓的弧叫做劣弧；大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示）叫做優(yōu)弧.OABCDM4、確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的外心,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.5、圓的對稱性垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對的兩條弧. CD是直徑, CDAB, AM=BM, AC=BC, AD=BD.垂徑定理的逆定理：上述五個條件中，知道任意另個，可以得到另外三個結(jié)論。例 如：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩

3、條弧。 二、典型例題精講：（一）圓的有關(guān)概念例1、如下圖，(1)若點O為O的圓心，則線段_是圓O的半徑；線段_是圓O的弦，其中最長的弦是_；_是劣?。籣是半圓(2)若A=40°，則ABO=_，C=_，ABC=_例2、已知：如圖，AB是O的直徑，CD是O的弦，AB，CD的延長線交于E，若AB=2DE，E=18°，求C及AOC的度數(shù)（二）點與圓的位置關(guān)系例3、已知矩形ABCD的邊AB=3厘米，AD=4厘米（1）以點A為圓心，3厘米為半徑作圓A，則點B、C、D與圓A的位置關(guān)系如何？（2）以點A為圓心，4厘米為半徑作圓A，則點B、C、D與圓A的位置關(guān)系如何？（3）以點A為圓心，5厘

4、米為半徑作圓A，則點B、C、D與圓A的位置關(guān)系如何？（4）若以A點為圓心作圓A，使B、C、D三點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則圓A的半徑r的取值范圍是什么？（三）確定圓的條件例4、如右圖是一塊破碎的圓形玻璃片，請找出圓形玻璃片的圓心和半徑。例5、如圖，在ABC中，BD、CE是兩條高，你認(rèn)為B、C、D、E在同一個圓上么？請說明理由。例6、如圖，已知等邊三角形ABC中，邊長為6cm，求它的外接圓半徑。OEDCBA（四）圓的對稱性例7、今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺問徑幾何(選自九章算術(shù)卷第九“句股”中的第九題，1尺=10寸) 例8、如圖所示，P為弦AB上一

5、點，CPOP交O于點C，AB8，AP:PB1:3，求PC的長。OAPBC例9、如圖，在O中，弦AB所對的劣弧為圓的，圓的半徑為2cm，OABDC求AB的長。OABCDE例10、如圖所示，O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知，AE6cm，EB2cm，CEA300，求CD的長。CABDE例11、如圖所示，在RtABC中，C900，AC3，BC4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E，求AB和AD的長。OABM15cm8cm例12、如圖所示，O表示一個圓形工件，圖中標(biāo)注了有關(guān)尺寸，并且MB:MA1:4，求工件的半徑的長。OAB60cm10cm例13、我市某居民區(qū)一處圓形地下水管道

6、破裂，修理工人準(zhǔn)備更換一段新管道，經(jīng)測量得到如圖所示的數(shù)據(jù)，修理工人應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道？若此題只知下面弓形的高和AB的長，你仍然會做嗎？例141300 多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫拱形高）為7.2米，求橋拱的半徑（精確到0.1米）（五）能力提高訓(xùn)練 求證：夾在圓中兩條平行弦之間的弧相等。三、課堂檢測1如圖1，O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，那么弦AB的長是（ ）A4 B6 C7 D82下列命題中，正確的是 （ ）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C

7、弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心 D在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對的弦的直線必經(jīng)過這個圓的圓心3銳角三角形的外心在_.如果一個三角形的外心在它的一邊的中點上, 則該三角形是_.如果一個三角形的外心在它的外部,則該三角形是_.毛4邊長為6cm的等邊三角形的外接圓半徑是_.5在O中，P為其內(nèi)一點，過點P的最長的弦為8cm，最短的弦長為4cm，則OP_ _。6已知圓的半徑為5cm，一弦長為8cm，則該弦的中點到弦所對的弧的中點的距離為_ _。7已知圓心到圓的兩條平行弦的距離分別是2和3，則兩條平行弦之間的距離為 _。8如圖，已知C是弧AB的中點，OC交弦AB于點DAOB=120°，AD=8求

8、OA的長ODACBOABCDEF9、如圖，為了測量一圓形工件的直徑，一同學(xué)想利用一寬為1cm的矩形紙條放在這個圓形工件上，量得ABBC6cm，DE5cm，請你幫助分求得該工件的直徑的長度。ABMNEFCD10、某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為7.2米，拱頂高出水面2.4米?，F(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？四、課后練習(xí)一、填空題1由圓的定義可知：(1)圓上的各點到圓心的距離都等于_；在一個平面內(nèi)，到圓心的距離等于半徑長的點都在_因此，圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個_的距離等于_的_組成的圖形(2)要確定一個圓，需要兩個基本條件，一個是_

9、，另一個是_，其中，_確定圓的位置，_確定圓的大小2連結(jié)_的_叫做弦經(jīng)過_的_叫做直徑并且直徑是同一圓中_的弦3圓上_的部分叫做圓弧，簡稱_，以A，B為端點的弧記作_，讀作_4.三角形的外心是_ _的圓心,它是_ _的交點,它到_ _的距離相等.二、選擇題1.等腰直角三角形的外接圓半徑等于( ) A.腰長 B.腰長的倍; C.底邊的倍 D.腰上的高2.平面上不共線的四點,可以確定圓的個數(shù)為( ) A.1個或3個 B.3個或4個 C.1個或3個或4個 D.1個或2個或3個或4個3如圖，O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM長的最小值為（）A2 B3 C4 D5第3題圖

10、第5題圖 第6題圖4過O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（ ）A9cm B6cm C3cm D5如圖，小明同學(xué)設(shè)計了一個測量圓直徑的工具，標(biāo)有刻度的尺子OA、OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE=8個單位，OF=6個單位，則圓的直徑為（ ）A12個單位 B10個單位 C1個單位 D15個單位 6如圖，的直徑垂直弦于，是半徑的中點，則直徑的長是（ ）A B C D三、解答題1.如圖,A、B、C三點表示三個工廠,要建立一個供水站, 使它到這三個工廠的距離相等,求作供水站的位置(不寫作法,尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡).2.

11、如圖,已知ABC的一個外角CAM=120°,AD是CAM的平分線,且AD與ABC的外接圓交于F,連接FB、FC,且FC與AB交于E. (1)判斷FBC的形狀,并說明理由.(2)請給出一個能反映AB、AC和FA的數(shù)量關(guān)系的一個等式,并說明你給出的等式成立.CODEF45題圖3、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點O是的圓心，E為上一點，OECD，垂足為F已知CD = 600m，EF = 100m，求這段彎路的半徑ABCD4、一工廠的廠門是由一個半圓與矩形組成的。如圖所示，AD2.3米，CD2米，現(xiàn)有一輛集裝箱卡車要開進(jìn)工廠，卡車高2.5米，寬1.6米，請你通過計算說明這輛卡車能否通過廠門？OABP5、某機(jī)械傳動裝置在靜止?fàn)顟B(tài)時，如圖所示，連桿PB與點B運動所形成的圓O交于點A，測得PA4