函數(shù)的極值123實用教案

1、 上節(jié)上節(jié),我們講了利用函數(shù)我們講了利用函數(shù)(hnsh)的導數(shù)來研究函的導數(shù)來研究函數(shù)數(shù)(hnsh)的單調(diào)性這個問題的單調(diào)性這個問題.其基本的步驟為其基本的步驟為:求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域;求函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的導數(shù) ;)(xf 解不等式解不等式 0得得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式解不等式 0得得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間.)()(xfxf 0 0 x x2 2y y 右下圖為函數(shù)右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象的圖象(t xin),從圖從圖象象(t xin)我們可以我們可以看出下面的結(jié)論看出下面的結(jié)論:函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有(suyu)各點的

2、函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有(suyu)各點的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個極小值。第1頁/共14頁第一頁，共15頁。 一般一般(ybn)地地,設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，）內(nèi)有定義， x0是（是（a,b）內(nèi)的一個點，如果存在著點）內(nèi)的一個點，如果存在著點x0的一個去心領域，的一個去心領域，對于這去心領域的任何點，對于這去心領域的任何點， f(x) f(x0)均成立均成立,則稱則稱f(x0)是是函數(shù)函數(shù)f(x)的一個極小值。的一個極小值。 在定義(dngy)中,取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極

3、值指的是對應的函數(shù)值.注意(zh y)以下幾點: (1)極值是一個局部概念.由定義,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說極值與最值是兩個不同的概念.第2頁/共14頁第二頁，共15頁。 (2)函數(shù)的極值不是唯一的函數(shù)的極值不是唯一的.即一個函數(shù)在某區(qū)間即一個函數(shù)在某區(qū)間(q jin)上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個. (3)極大值與極小值之間無確定的大小關系極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數(shù)的即一個函數(shù)的極大值未必極大值未必(wib)大于極小值大于極小值,如下圖所示

4、如下圖所示,x1是極大值是極大值點點,x4是極小值點是極小值點,而而f(x4)f(x1).ay yo oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx x)(4xf)(1xf第3頁/共14頁第三頁，共15頁。 (4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)(chxin)在區(qū)間的內(nèi)部在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點也可能在區(qū)間的端點. 定理定理1 點點x0是是f(x)的極值點的必要條件是的極值點的必要條件是 或或 不存在。不存在。我們稱滿

5、足我們稱滿足 的點為函數(shù)的點為函數(shù)f(x)的駐點。的駐點。由圖可以看出由圖可以看出,在函數(shù)取得極值處在函數(shù)取得極值處,如果曲線有切線的如果曲線有切線的話話,則切線是水平的則切線是水平的,從而有從而有 .但反過來不一定但反過來不一定.如如函數(shù)函數(shù)y=x3,在在x=0處處,曲線的切線是水平的曲線的切線是水平的,但這點的函但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大,也不比它附近的點也不比它附近的點的函數(shù)值小的函數(shù)值小.假設假設x0使使 .那么在什么情況下那么在什么情況下x0是是f(x)的極值點呢？的極值點呢？0)(0 xf0)(0 xf第4頁/共14頁第四頁，共15頁。o

6、 oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf 如上左圖所示如上左圖所示,若若x0是是f(x)的極大值點的極大值點,則則x0兩側(cè)附近兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于點的函數(shù)值必須小于f(x0) .因此因此, x0的左側(cè)附近的左側(cè)附近f(x)只能只能是增函數(shù)是增函數(shù),即即 ; x0的右側(cè)附近的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)只能是減函數(shù),即即 . 0)( xf 同理同理,如上右圖所示如上右圖所示,若若x0是是f(x)極小值點極小值點,則在則在x0的的左側(cè)附近左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)只能是減

7、函數(shù),即即 ;在在x0的右側(cè)附近的右側(cè)附近只能是增函數(shù)只能是增函數(shù),即即 . 0)( xf第5頁/共14頁第五頁，共15頁。 從而我們得出結(jié)論從而我們得出結(jié)論:若若x0滿足滿足 ,且在且在x0的兩側(cè)的兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性相反的函數(shù)單調(diào)性相反,則則x0是是f(x)的極值點的極值點,f(x0)是極值是極值, 一般地一般地,當函數(shù)當函數(shù)f(x)在在x0處連續(xù)處連續(xù)(linx)時時,判別判別f(x0)是是極大極大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果如果(rgu)在在x0的左鄰域內(nèi)有的左鄰域內(nèi)有 右右鄰域內(nèi)有，鄰域內(nèi)有， ，則，則f(x0)是極大值是極大值; (2):如果如果(rgu)在在x0 的左

8、鄰域內(nèi)有的左鄰域內(nèi)有 右右鄰域內(nèi)有鄰域內(nèi)有 ，則，則f(x0)是極小值是極小值. (3):如果如果(rgu)在點在點X0的去心鄰域內(nèi)的去心鄰域內(nèi) 恒為恒為正或恒為負，則正或恒為負，則X0不是不是f(x)的極值點的極值點. 第6頁/共14頁第六頁，共15頁。注意注意(zh y): 可導函數(shù)可導函數(shù)(hnsh)的極值點一定是它導數(shù)為零的點的極值點一定是它導數(shù)為零的點,反之函反之函數(shù)數(shù)(hnsh)的導數(shù)為零的點的導數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)不一定是該函數(shù)(hnsh)的極的極值點值點.第7頁/共14頁第七頁，共15頁。例例:求求y=x3/3-4x+4的極值的極值(j zh).解解:).2)(2(42

9、xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y當當x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 極大值極大值28/3 極小值極小值-4/3 因此因此(ync),當當x=-2時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=28/3;而而,當當x=2時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 4/3.第8頁/共14頁第八頁，共15頁?？偨Y(jié)總結(jié):求可導函數(shù)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟的極值的步驟(bzhu)如下如下:(1).求導數(shù)求導數(shù)).(xf (2).求方程求方程 的根的根.0)( xf(

10、3)檢查檢查 在方程根左右的值的符號在方程根左右的值的符號,如果左正右負如果左正右負, 那么那么f(x)在這個根處取得極大值在這個根處取得極大值;如果左正右負如果左正右負,那那 么么f(x)在這個根處取得極大值在這個根處取得極大值.)(xf 第9頁/共14頁第九頁，共15頁。說明說明:本題中的極大值是小于極小值的本題中的極大值是小于極小值的,這充分表明極值這充分表明極值 與最值是完全與最值是完全(wnqun)不同的兩個概念不同的兩個概念.例例:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值(j zh).第10頁/共14頁第十頁，共15頁。 定理(dngl)3 設X0是函數(shù)f(X)的駐點(即 ），且 f (x) 0

11、 ，則 (1)當f (x) 0時，X0是f(X)的極小值點; (2)當f (x) 0,列表列表(li bio)如下如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 極大值極大值 極小值極小值 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.第12頁/共14頁第十二頁，共15頁。(2)設設a0,列表列表(li bio)如下如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.第13頁/共14頁第十三頁，共15頁。感謝您的觀看(gunkn)！第14頁/共14頁第十四頁，共15頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)上節(jié),我們講了利用函數(shù)的導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性這個問題.其基本的步驟