北京市西城區(qū)2008年高三4月一模數(shù)學(理科)試題(WORD解析版)

1、西城區(qū)抽樣測試高三數(shù)學（理科） 2008.4一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 1. 在復平面內(nèi)，復數(shù) 對應的點與原點的距離是（ ）A. B. C. D. 2. 函數(shù)的反函數(shù)的定義域為（ ）A. B. C. D. 3. 若雙曲線的離心率是，則實數(shù)的值是（ ）A. B. C. D. 4. 函數(shù)的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 5. 下列四個正方體圖形中，為正方體的兩個頂點，分別為其所在棱的中點，能得出 平面的圖形的序號是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 6. 若集合，則“”是“”的（ ）A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件 C. 充要

2、條件 D. 既不充分又不必要條件7. 設，函數(shù)的導函數(shù)是，且是奇函數(shù) . 若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為（ ）A. B. C. D. 8. 設不等式組表示的平面區(qū)域是，若中的整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）共有個，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .9. 已知是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則_ . 10. 在的展開式中，的系數(shù)是，則實數(shù)_ .11. 人排成一排照相，要求甲不排在兩端，不同的排法共有 種. (用數(shù)字作答)12. 已知三點在球心為，半徑為3的球面上，且?guī)缀误w為正四面體

3、，那么兩點的球面距離為_；點到平面的距離為_ .13. 已知兩點，若拋物線上存在點使為等邊三角形，則_ .14. 已知點是的重心，那么_；若，則的最小值是_ . 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分12分）在中，.（）求角；（）設，求的面積.16. （本小題滿分13分）盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球. 規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球.（）求取出的3個球顏色互不相同的概率；（）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；（）設為取出的3個球中

4、白色球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.17.（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面. （）求證：； （）求二面角的大??；（）求異面直線和所成角的大小. 18.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）求的最小值；（）若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分14分）已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.（）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分14分）數(shù)列中， (為常數(shù)，) ，且（）求的值；（） 證明：； 猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； （）比較與的大小，并加以證明

5、. 西城區(qū)抽樣測試高三數(shù)學（理科）參考答案 2008.4一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 1. B 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. D 8. C二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 9. 或 10. 11. 12. ； 13. 或 14. ；注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分；兩解的題目少一解給2分，有錯解不給分.三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 15.（本小題滿分12分）（）解：由， 得， 所以 . 3分因為， . 6分且， 故 . 7分（）解：根據(jù)正弦定理得， . 10分所以的面積為 .

6、12分16. （本小題滿分13分）（）解：記 “取出1個紅色球，1個白色球，1個黑色球”為事件， 則 . . 3分（）解：記 “取出1個紅色球，2個白色球”為事件，“取出2個紅色球， 1個黑色球”為事件，則 . . 6分（）解：可能的取值為. . 7分， ， . . 11分的分布列為:0123 . 12分的數(shù)學期望. . 13分17.（本小題滿分14分）解法一：（）證明： 平面平面，平面平面，且， . . 2分平面 ， .又 . . 4分（）解：作于點，于點，連結. 平面平面， ， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. . 6分設， .， ， . 8分即二面角的大小是. . 9分（）解：在底

7、面內(nèi)分別過作的平行線，交于點，連結.則是異面直線和所成的角或其補角. . 11分， ，.易知底面為矩形，從而，在中， . 13分 異面直線和所成角的大小為. . 14分解法二：作于點， 平面平面，平面.過點作的平行線，交于點.如圖，以為原點，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系 . . 2分. .，. . 4分（）證明： . 又 . . 7分（）解：作于點，連結.平面， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. . 8分在中， ， 從而， . 10分即二面角的大小是. . 11分（）解：， 異面直線和所成角的大小為. . 14分18.（本小題滿分13分）（）解：的定義域為， . 1分 的導數(shù)

8、. . 3分令，解得；令，解得.從而在單調遞減，在單調遞增. . 5分所以，當時，取得最小值. . 6分（）解：解法一：令，則， . 8分 若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即. . 10分 若，方程的根為 ，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以，時，即，與題設相矛盾. . 12分綜上，滿足條件的的取值范圍是. . 13分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立 . . 8分令， 則. . 10分當時，因為， 故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， . 12分從而的取值范圍是. . 13分19.（本小題滿分14分）（）解：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，將代入， 消去整理得 . 2分設 則 . 4分由線段中點的橫坐標是， 得，解得，適合. . 5分所以直線的方程為 ，或 . . 6分（）解：假設在軸上存在點，使為常數(shù). 當直線與軸不垂直時，由（）知 所以 . 8分將代入，整理得 注意到是與無關的常數(shù)， 從而有， 此時 . 11分 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，當時， 亦有 . 13分綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù). . 14分20.（本小題滿分14分）（）解：依題意，由，得，解得，或（舍去）. . 3分（）解： 證明：因為，當且僅當時，.因為，所以，即 () . . 5分 數(shù)列有極限， . 6分 且 . . 7分 （）解：由，可得，從而.因為，所以 所以