線性微分方程

1、.蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇?mèng)缕P蒄蕆肅膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃螇艿蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羈羇薇薀螄芆薆螂罿節(jié)薆裊袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆羋薂袁衿膄蟻薁肄肀羋蚃袇羆芇裊肅蒞芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肅芄袂螇莂芃薂羂羋莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇?mèng)缕P蒄蕆肅膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃螇艿蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羈羇薇薀螄芆薆螂罿節(jié)薆裊袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆羋薂袁衿膄蟻薁肄肀羋蚃袇羆芇裊肅蒞芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肅芄袂螇莂芃薂羂羋莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇?mèng)缕P蒄蕆肅膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃螇艿

2、蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羈羇薇薀螄芆薆螂罿節(jié)薆裊袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆羋薂袁衿膄蟻薁肄肀羋蚃袇羆芇裊肅蒞芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肅芄袂螇莂芃薂羂羋莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇?mèng)缕P蒄蕆肅膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅 第4章 線性微分方程1了解n階線性微分方程的概念，知道n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系，了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理（1）在n階線性微分方程y(n) + p1(x)y(n-1) + + pn-1(x)y+ pn(x)y = f (x) (4.5)中，令y= y1，y= y2，y(n-1) = yn-1，(4.5)式就可以化成一階方程組

3、(4.7)(4.7)可以寫成向量形式 (4.8)（2）n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系：方程(4.5)與方程組(4.7)是等價(jià)的，即若y=(x)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解，則y=(x)，y1=(x)，yn-1 = (n-1)(x)是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解；反之，若y=(x)，y1=1(x)，yn-1=n-1(x)是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解，則y=(x)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解.（3）n階線性微分方程解的存在唯一性定理：條件：方程 的系數(shù)（k= 1,2,，n）及其右端函數(shù)f (x)在區(qū)間I上有定義且連續(xù)；結(jié)論：對(duì)于I上的任一及任意給定的，方程的滿足初始條件的解在

4、I上存在且唯一.2理解n階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)和通解基本定理，了解n階線性齊次微分方程的基本解組，掌握劉維爾公式（1）朗斯基(Wronski)行列式定義：設(shè)函數(shù)組1(x)，2(x)，n(x) 中每一個(gè)函數(shù)k(x)(k=1,2,n)均有n-1階導(dǎo)數(shù)，我們稱行列式為已知函數(shù)組的朗斯基(Wronski)行列式.（2）n階齊次方程的解的線性無關(guān)性判別定理：齊次方程的n個(gè)解，在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)（相關(guān)）的充要條件是在I上存在點(diǎn)x0，使得它們的朗斯基行列式W(x0)0 （W(x0) 0）.（3）n階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)和通解基本定理：如果，是齊次方程的n個(gè)線性無關(guān)解，則y = +是方程的通解，

5、其中為n個(gè)任意常數(shù).（4）基本解組定義： 方程的定義在區(qū)間I上的n個(gè)線性無關(guān)解稱為該方程的基本解組.（5）n階齊次方程的線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)不超過n個(gè).（6）n階齊次方程總存在定義在區(qū)間I上的基本解組. （7）劉維爾(Liouville)公式： 設(shè)，是方程的任意n個(gè)解，W(x)是它們朗斯基行列式，則對(duì)區(qū)間I上的任一x0有W(x)=W(x0)上述關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式. 朗斯基行列式的兩個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)方程解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點(diǎn)為零，則在整個(gè)區(qū)間I上恒等于零.性質(zhì) 方程解的朗斯斯行列式W(x)在區(qū)間I上某一點(diǎn)不等于零，則在整個(gè)區(qū)間I上恒不為零.3理解n階線性非齊

6、次微分方程的通解定理，掌握n階線性非齊次微分方程用常數(shù)變易法法求通解的方法 通解定理: n階線性非齊次方程 的通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個(gè)特解之和. 4了解n階常系數(shù)線性齊次方程的概念，熟練掌握n階常系數(shù)線性齊次方程的單特征根的待定指數(shù)函數(shù)解法及重特征根的待定指數(shù)函數(shù)解法常系數(shù)線性齊次方程y(n)+a1y(n-1) + + an-1y+any = 0 （4.21）其中a1，a2，an為實(shí)常數(shù). 稱P()=n+a1n-1+an+an = 0 （4.25）為方程(4.21)的特征方程，它的根稱為特征根.單特征根的基本解組定理： 若特征方程(4.25)有n個(gè)互異根1，2，n，則 （4

7、.26）是方程(4.21)的一個(gè)基本解組. 重特征根的基本解組定理：如果方程(4.21)有互異的特征根1，2，p，它們的重?cái)?shù)分別為m1，m2，mp，mi1，且m1m2mpn，則與它們對(duì)應(yīng)的(4.21)的特解是 (4.30)且(4.30)構(gòu)成(4.21)在區(qū)間(，)上的基本解組.5了解n階常系數(shù)線性非齊次方程的概念，熟練掌握第一類、第二類非齊次項(xiàng)n階常系數(shù)線性非齊次方程的特解的待定系數(shù)法本章重點(diǎn)：n階線性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n階常系數(shù)線性方程的解法。 例1 填空題 （1）階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè) 應(yīng)該填寫：n （2）方程的基本解組是 應(yīng)該填寫：， （3）

8、方程的基本解組是 應(yīng)該填寫：（4）方程的基本解組是 應(yīng)該填寫：（5）若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們 共同零點(diǎn) 應(yīng)該填寫：沒有 （6）階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間 應(yīng)該填寫：n （7）函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)的 條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零應(yīng)該填寫： 充分 （8）若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上 應(yīng)該填寫：恒等于零 （9）函數(shù)組的朗斯基行列式是 應(yīng)該填寫： （10）在方程中，如果，在上連續(xù)，那么它的任一非零解在平面上 與軸相切 應(yīng)該填寫：不能 例2 單項(xiàng)選擇題（1）若是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解，則在其定義的區(qū)間上，它

9、們（ ）（A）可以有共同零點(diǎn) （B）可在處有共同零點(diǎn) （C）沒有共同零點(diǎn) （D）可在處有共同零點(diǎn) 正確答案：C （2）方程的任一非零解在平面上（ ）與軸橫截相交 （A）可以 （B）不可以 （C）只能在處可以 （D）只能在處可以 正確答案：A （3）階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ ）個(gè) （A）-1 （B） （C）+1 （D）+2 正確答案：B （4）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（ ）維線性空間（A） （B） （C） （D） 正確答案：C （5）若，是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)不同特解，則該方程的通解可用這兩個(gè)解表示為（ ） （A） （B） （C） （D） 正確答案：D （6）方

10、程的任一非零解在空間中（ ） （A）不能與t軸相交 （B）可以與t軸相交 （C）可以與t軸橫解相交 （D）可以與t軸相切 正確答案：A 例3 求下列方程的通解： （1） （2） （3） （4） （5） 解 （1）對(duì)應(yīng)齊次方程的的通解為 令非齊次方程的特解為 滿足 解得 積分，得 ，原方程通解為 （2）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為： 特征根為： 故齊次方程的通解為： 因?yàn)槭菃翁卣鞲裕O(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解為 （3） 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ， 故齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，得 即 ， 故原方

11、程的通解為 （4） 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 因?yàn)槭翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)確定出， 原方程的通解為 （5） 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是 特征根為，齊次方程的通解為 因?yàn)槭且恢靥卣鞲史驱R次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解為 例4 設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C使得=C證明 設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)谏嫌卸x，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的 由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得， 由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾故 例5 在方程中，

12、已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切 證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 這與是非零解矛盾 例6 在方程中，已知在上連續(xù)試證明：若存在使方程的兩個(gè)解，同在處取極值，則，不能是方程的基本解組 證明 由已知條件，該方程的任一解都在區(qū)間上存在 若在處取極值，則必有成立，于是由解構(gòu)成的朗斯基行列式在處的值為= 0 故不能構(gòu)成該方程組的基本解組，因?yàn)闃?gòu)成基本解

13、組的充分必要條件是它們的朗斯基行列式， 例7 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，且證明：方程 的任一解均滿足 證明 先求齊次方程通解為 令非齊次方程特解為 滿足解出 ， ， 原方程的通解為 + 若 ，則由洛比達(dá)法則，有 +- = 0 若 ，則顯然有 芀螞螃膂荿莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄羀莇莆袀袆莆葿蚃膄蒞薁袈肀莄蚃蟻羆莃莃袆袂蒃蒅蠆膁蒂薇裊肇蒁螀蚇肅蒀葿羃罿肆薂螆裊肆蚄羈膄肅莄螄肀肄蒆羀羆膃薈螂袂膂蟻薅膀膁莀螁膆膀薃薃肂膀蚅衿羈腿蒞螞襖膈蕆袇膃膇蕿蝕聿芆蟻袆羅芅莁蚈袁芄蒃襖袇芄蚆螇膅芃蒞羂肁節(jié)蒈螅羇芁薀羀袃芀螞螃膂荿莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄羀莇莆袀袆莆葿蚃膄蒞薁袈肀莄蚃蟻羆莃莃袆袂蒃蒅蠆膁蒂薇裊肇蒁螀蚇肅蒀葿羃罿肆薂螆裊肆蚄羈膄肅莄螄肀肄蒆羀羆膃薈螂袂膂蟻薅膀膁莀螁膆膀薃薃肂膀蚅衿