中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：“正六邊形”考點(diǎn)透析

1、1“正六邊形”考點(diǎn)透析正六邊形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.在中考試題中，?？疾榈脚c之相關(guān)的線段、弧、面積、角的計(jì)算及規(guī)律探索等.現(xiàn)結(jié)合近年來(lái)的有關(guān)中考試題加以歸類剖析.一、線段和弧的計(jì)算例1如圖1,正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于。O,半徑為4,則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和BC的長(zhǎng)分別為（）(A) 2,3(B)2J3,-2(C) , 3,_3(D)2, 3,-3分析及解答 該題考查了正多邊形和它的外接圓中的有關(guān)計(jì)算，主要應(yīng)用正六邊形 的性質(zhì)和弧長(zhǎng)的公式進(jìn)行計(jì)算 .具體解答如下：連結(jié) BO,；OB 4, MB 2.根據(jù)勾股定理，得 OM . 42222.3,又BC的長(zhǎng)度=60 4 41803故

2、選D.、角的計(jì)算如圖2,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,若直線PA與。相切于點(diǎn) A,則PAB =()(A)30°分析及解答該題的解決主要是利用切線和正六邊形的性質(zhì).具體解答如下連結(jié)OA,OB ,則 OAB是等邊三角形,OAB 60 .又"PA是。O的切線， OPA 90 ,PAB 906030 .故選A.例3 平面上，將邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起，如圖 3,則 3 12=° .圖3進(jìn)而求出所求的分析及解答 該題的解決思路是求出特殊正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少, 答案.具體解答如下：正三角形的每個(gè)內(nèi)角：1803 60 ,利用多邊形

3、的內(nèi)角和公式分別求得正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是 (5 2) 180 5 108 ,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是 (6 2) 180 6 120 ,312 (90 60 ) (120 108 ) (108 90 ) 24 .故應(yīng)填:24.例4如圖4,小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，小正六邊形的邊長(zhǎng)是大 正六邊形邊長(zhǎng)的一半.當(dāng)小正六邊形由圖位置滾動(dòng)到圖位置時(shí)，線段 OA繞點(diǎn)O順時(shí)針 轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 度.分析及解答該題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，明確正六邊形的中心角是60。是解決本題的關(guān)鍵.具體解答如下：觀察圖形不難看出，第一個(gè)到第二個(gè) OA轉(zhuǎn)過(guò)了 60°第二個(gè)到

4、第三個(gè)轉(zhuǎn)過(guò)了120°第三個(gè)到第四個(gè)又轉(zhuǎn)過(guò)了 60。，所以總共轉(zhuǎn)動(dòng)了 240 :即小正六邊形由圖位置滾動(dòng)到圖位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 240度.故應(yīng)填:240.三、面積的計(jì)算例5如圖5所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,若。的半徑為4,則陰影部分的 面積等于.l幻）分析及解答 該題考查了在外接圓中三角形、扇形和弓形的面積計(jì)算，該題的計(jì)算量較大，輔助線的添畫也顯得重要 .具體解答如下：連結(jié)CO、DO、EO.CO交BD于點(diǎn)M,EO交DF于點(diǎn)N ,過(guò)點(diǎn)。作OZ CD于點(diǎn)Z .丫六邊形ABCDEF是正六邊形，BC DC DE FE, BOCDOCEOD EOF 60 .根據(jù)垂

5、徑定理，得 CO BD,EO DF,MB DM ,FN DN .丫在 Rt OMB 中，BO 4, MOB 60 ,MB BO sin 60273, MO BO cos60 2,DB 2MB 4.3 .于是有 BDO的面積 -DB MO - 473 2 473.同理 FDO的面積也是4，3.DOC 60 ,半徑 CO DO 4,COD是等邊三角形，OCD CDO 60 .273,在 Rt CZO 中，CO 4,ZO CO sin 60_6042S扇形 DOCS DOC =360184 2.3=-234.3 .陰影部分的面積 =4 、 3+4、3+8 -4,3+8 4、3= 1633316故應(yīng)填

6、：一.3四、規(guī)律探索例6如圖6,正六邊形ABQiDiEiFi的邊長(zhǎng)為2,正六邊形A2B2c2D2E2F2的外接圓與正六邊形 ABiCiDiEiFi的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3 ,的外接圓與正六邊形A2B2c2D2E2F2的各邊相切，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A0B10C10D10E10%的邊長(zhǎng)為（）24381 .3-29-81(C)29(D)81.3分析及解答 該題的解決主要是利用切線的性質(zhì)、正多邊形和其外接圓的關(guān)系.特別提示:正六邊形的邊長(zhǎng)與其外接圓的半徑相等！在作輔助線時(shí)，見(jiàn)切點(diǎn)，連圓心 ！具體解答如下：連結(jié) D2O,EiO,DiO.了六邊形AB1c1D1E1F1是正六邊形,D

7、1OE1 60 ,DiOEi是等邊三角形:正六邊形A2 B2c2D2E2F2的外接圓與正六邊形 A1B1C1D1E1F1的各邊相切,d2oER, D2OEQi22,正六邊形A2B2c2D2E2F2的邊長(zhǎng)為 22.'3 2同理可求得正六邊形A3B3c3D3E3F3的邊長(zhǎng)為（X）2 2 .2故可得正六邊形AioB10c10DioEioFi0的邊長(zhǎng)為：（Y）2，故選D.228五、其它型題目例7如圖7,已知點(diǎn)A、B、C、D、E、F是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的頂點(diǎn)，連結(jié)任意兩點(diǎn)均得到一條線段，在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段，取到長(zhǎng)度為線段的I率為（1（A）-42(B)-52(C)35(D) 9分析及解答該題涉及到勾股定理、正六邊形的性質(zhì)和概率公式.具體解答如下：不妨連結(jié)FA,FE,AE,過(guò)點(diǎn)F作FN AE，垂足是點(diǎn)N .:六邊形ABCDEF是正六邊形,FA EF 1, AFE 12