圓冪與根軸-PowerPoint 演示文稿

1、圓冪與根軸，圓冪與根軸，幾何綜合問題選講幾何綜合問題選講1與圓冪定理相關(guān)的另一個(gè)概念是根軸。與圓冪定理相關(guān)的另一個(gè)概念是根軸。首先我們有冪的定義冪的定義：從一點(diǎn)A作一圓周的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點(diǎn)對(duì)于圓周的冪點(diǎn)對(duì)于圓周的冪。若A點(diǎn)在圓外，A點(diǎn)的冪等于從A點(diǎn)所引圓周切線的平方，由相交弦定理及割線定理，知道點(diǎn)A的冪為定值。根軸2不難證明，冪有下列兩個(gè)性質(zhì)不難證明，冪有下列兩個(gè)性質(zhì)（1 1）：兩圓周相交，交點(diǎn)處的切線成直角，則每一圓半徑的平方）：兩圓周相交，交點(diǎn)處的切線成直角，則每一圓半徑的平方等于它的圓心對(duì)于另一圓周的冪，反之亦然。等于它的圓心對(duì)于另一圓周的冪，反之亦然

2、。（2 2）：點(diǎn)）：點(diǎn)A A對(duì)于以對(duì)于以O(shè) O為圓心的圓周的冪，等于為圓心的圓周的冪，等于OAOA及其半徑的平方差。及其半徑的平方差。由此，我們有由此，我們有定理定理1 1：對(duì)于兩已知圓有等冪的點(diǎn)的軌跡，：對(duì)于兩已知圓有等冪的點(diǎn)的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。是一條垂直于連心線的直線。3不不存存在在；，所所以以，同同心心圓圓的的根根軸軸若若兩兩圓圓同同心心，則則由由此此可可以以看看出出：0. 121 OO與與一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的根根軸軸。一一圓圓時(shí)時(shí)，直直線線（軌軌跡跡）稱稱為為上上面面的的論論述述均均成成立立。這這的的冪冪即即是是點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)圓圓，這這時(shí)時(shí)縮縮成成一一點(diǎn)點(diǎn)，圓圓若若.0. 2222

3、222MOOMOOR 定義：兩圓等冪點(diǎn)的軌跡，稱為兩圓的根軸或等冪軸。定義：兩圓等冪點(diǎn)的軌跡，稱為兩圓的根軸或等冪軸。定理定理2 2：若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線，由于兩圓的交點(diǎn)對(duì)于兩圓：若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線，由于兩圓的交點(diǎn)對(duì)于兩圓的冪都是的冪都是O O，所以，它們位于根軸上。根軸是直線，所以，根軸是兩交點(diǎn)的連線，所以，它們位于根軸上。根軸是直線，所以，根軸是兩交點(diǎn)的連線定理定理3 3：若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點(diǎn)的公切線：若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點(diǎn)的公切線. .這由冪的定義，可立即推出這由冪的定義，可立即推出：定理定理4 4：若三個(gè)圓兩兩不同心，則其兩兩

4、的根軸相交于一點(diǎn)，或互：若三個(gè)圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸相交于一點(diǎn)，或互相平行。若這三條根軸中有兩條相交，則這一交點(diǎn)對(duì)于三個(gè)圓的冪相平行。若這三條根軸中有兩條相交，則這一交點(diǎn)對(duì)于三個(gè)圓的冪均相等，所以必在第三條根軸上。這一點(diǎn)，稱為三圓的根心。均相等，所以必在第三條根軸上。這一點(diǎn)，稱為三圓的根心。顯然，當(dāng)三個(gè)圓的圓心在一條直線上時(shí)，三條根軸互相平行。顯然，當(dāng)三個(gè)圓的圓心在一條直線上時(shí)，三條根軸互相平行。當(dāng)三個(gè)圓的圓心不共線時(shí)，根心存在。當(dāng)三個(gè)圓的圓心不共線時(shí)，根心存在。4的的垂垂心心。根根軸軸必必通通過過為為直直徑徑的的兩兩圓圓的的、上上的的點(diǎn)點(diǎn)，求求證證：以以、中中是是、設(shè)設(shè)ABCCDBEA

5、CABABCED5三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線。、的的充充分分必必要要條條件件是是兩兩點(diǎn)點(diǎn)，求求證證：、內(nèi)內(nèi)切切于于圓圓分分別別與與與與圓圓兩兩點(diǎn)點(diǎn)，且且圓圓、相相交交于于與與圓圓圓圓已已知知兩兩個(gè)個(gè)半半徑徑不不相相等等的的TNSMNOMTSOOONMOO 21216.MNOIQFPENMQABDEPCAFDFEDABCABCABCABCIO 的的中中點(diǎn)點(diǎn)，求求證證：，分分別別為為線線段段、點(diǎn)點(diǎn)，相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)與與，直直線線相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)和和，直直線線、相相切切于于點(diǎn)點(diǎn)分分別別、的的內(nèi)內(nèi)切切圓圓與與邊邊的的外外心心和和內(nèi)內(nèi)心心，分分別別為為和和設(shè)設(shè)78在在兩兩圓圓的的連連心心線線上上。的的交交點(diǎn)點(diǎn)和和

6、，求求證證：直直線線于于，切切圓圓于于切切圓圓引引它它們們的的一一條條內(nèi)內(nèi)公公切切線線，于于，切切圓圓于于公公切切線線切切圓圓相相離離，引引它它們們的的一一條條外外和和圓圓如如圖圖，設(shè)設(shè)圓圓CDABDOBOCOAOOO2121219是定值。是定值。求證：求證：的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的垂線交的垂線交作作，過，過或或的割線的割線引圓引圓點(diǎn)，過點(diǎn)，過上或其延長(zhǎng)線上任一定上或其延長(zhǎng)線上任一定的直徑的直徑是圓是圓設(shè)設(shè).ANANNBMNBMBBAAMMMAMOABBOA .ABABANANAOMMNNMM 在在根根軸軸上上，則則的的根根軸軸，又又和和圓圓是是圓圓。于于是是

7、，四四點(diǎn)點(diǎn)共共圓圓，記記此此圓圓為為、提提示示：可可證證? ?M M ? ?A A? ?M M? ?N N? ?B B ? ?B B N10.OHAPHOPMNEFBNCMACABFEABC 垂心。求證：垂心。求證：分別為三角形的外心和分別為三角形的外心和、，于于交交為高，為高，、中點(diǎn)，中點(diǎn)，、分別為分別為、中，中，? ?P P? ?N N? ?M M? ?F F? ?E E? ?C C? ?B B? ?A A O H? ?H H ? ?o o ? ?P P? ?N N? ?M M? ?F F? ?E E? ?C C? ?B B? ?A A O H11.2121MNHHCODAOBHHBCAD

8、NMOABCD 的垂心，求證：的垂心，求證：與與（不重合）分別是（不重合）分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是分別是、，點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)角線交于點(diǎn)的對(duì)角線交于點(diǎn)設(shè)四邊形設(shè)四邊形? ?N N? ?M M? ?O O? ?D D? ?C C? ?B B? ?A A H 2 H 1? ?E E? ?F F? ?N N? ?M M? ?O O? ?D D? ?C C? ?B B? ?A A H 2 H 112根軸及其應(yīng)用根軸及其應(yīng)用根軸是溝通圓與圓之間關(guān)系的一條基本直線。由于根軸是溝通圓與圓之間關(guān)系的一條基本直線。由于根軸和共軸圓系易于構(gòu)造和計(jì)算，不少涉及圓的根軸和共軸圓系易于構(gòu)造和計(jì)算，不少涉及圓的解析幾

9、何問題，若運(yùn)用根軸知識(shí)來解決，不僅思解析幾何問題，若運(yùn)用根軸知識(shí)來解決，不僅思路簡(jiǎn)捷，解題明快，而且饒有趣味，容易掌握。路簡(jiǎn)捷，解題明快，而且饒有趣味，容易掌握。13141516.)(0. 10022的的切切線線方方程程，求求經(jīng)經(jīng)過過圓圓上上一一點(diǎn)點(diǎn)的的方方程程是是已已知知圓圓例例yxPFEyDxyxC 17.)0()()()(. 222200所所在在的的直直線線方方程程，求求弦弦，的的兩兩條條切切線線，切切點(diǎn)點(diǎn)為為引引圓圓，過過點(diǎn)點(diǎn)例例ABBArrbyaxyxM 18.7052204:0284:. 3222221相相切切的的圓圓的的方方程程之之交交點(diǎn)點(diǎn)且且與與直直線線與與圓圓求求經(jīng)經(jīng)過過圓圓例例 xyxyxCxyxC19.0622:01062:. 4222221為為直直徑徑的的圓圓的的方方程程兩兩點(diǎn)點(diǎn)，求求以以弦弦，交交于于與與圓圓若若圓圓例例ABBAyxyxCyxyxC 20.0622:01062:. 4222221為為直直徑徑的的圓圓的的方方程程兩兩點(diǎn)點(diǎn)，求求以以弦弦，交交于于與與圓圓若若圓圓例例ABBAyxyxCyxyxC 21.0622:01062:. 4222221為為直直徑徑的的圓圓的的方方程程兩兩點(diǎn)點(diǎn)，求求以以弦弦，交交于于與與圓圓若若圓圓例例ABBAyxyxCyxyxC 22.)21(03:)41(. 5的的方方程程的的圓