圓冪與根軸-PowerPoint 演示文稿

1、圓冪與根軸，圓冪與根軸，幾何綜合問題選講幾何綜合問題選講1與圓冪定理相關(guān)的另一個概念是根軸。與圓冪定理相關(guān)的另一個概念是根軸。首先我們有冪的定義冪的定義：從一點A作一圓周的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點對于圓周的冪點對于圓周的冪。若A點在圓外，A點的冪等于從A點所引圓周切線的平方，由相交弦定理及割線定理，知道點A的冪為定值。根軸2不難證明，冪有下列兩個性質(zhì)不難證明，冪有下列兩個性質(zhì)（1 1）：兩圓周相交，交點處的切線成直角，則每一圓半徑的平方）：兩圓周相交，交點處的切線成直角，則每一圓半徑的平方等于它的圓心對于另一圓周的冪，反之亦然。等于它的圓心對于另一圓周的冪，反之亦然

2、。（2 2）：點）：點A A對于以對于以O(shè) O為圓心的圓周的冪，等于為圓心的圓周的冪，等于OAOA及其半徑的平方差。及其半徑的平方差。由此，我們有由此，我們有定理定理1 1：對于兩已知圓有等冪的點的軌跡，：對于兩已知圓有等冪的點的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。是一條垂直于連心線的直線。3不不存存在在；，所所以以，同同心心圓圓的的根根軸軸若若兩兩圓圓同同心心，則則由由此此可可以以看看出出：0. 121 OO與與一一定定點點的的根根軸軸。一一圓圓時時，直直線線（軌軌跡跡）稱稱為為上上面面的的論論述述均均成成立立。這這的的冪冪即即是是點點對對圓圓，這這時時縮縮成成一一點點，圓圓若若.0. 2222

3、222MOOMOOR 定義：兩圓等冪點的軌跡，稱為兩圓的根軸或等冪軸。定義：兩圓等冪點的軌跡，稱為兩圓的根軸或等冪軸。定理定理2 2：若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線，由于兩圓的交點對于兩圓：若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在的直線，由于兩圓的交點對于兩圓的冪都是的冪都是O O，所以，它們位于根軸上。根軸是直線，所以，根軸是兩交點的連線，所以，它們位于根軸上。根軸是直線，所以，根軸是兩交點的連線定理定理3 3：若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線：若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線. .這由冪的定義，可立即推出這由冪的定義，可立即推出：定理定理4 4：若三個圓兩兩不同心，則其兩兩

4、的根軸相交于一點，或互：若三個圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸相交于一點，或互相平行。若這三條根軸中有兩條相交，則這一交點對于三個圓的冪相平行。若這三條根軸中有兩條相交，則這一交點對于三個圓的冪均相等，所以必在第三條根軸上。這一點，稱為三圓的根心。均相等，所以必在第三條根軸上。這一點，稱為三圓的根心。顯然，當(dāng)三個圓的圓心在一條直線上時，三條根軸互相平行。顯然，當(dāng)三個圓的圓心在一條直線上時，三條根軸互相平行。當(dāng)三個圓的圓心不共線時，根心存在。當(dāng)三個圓的圓心不共線時，根心存在。4的的垂垂心心。根根軸軸必必通通過過為為直直徑徑的的兩兩圓圓的的、上上的的點點，求求證證：以以、中中是是、設(shè)設(shè)ABCCDBEA

5、CABABCED5三三點點共共線線。、的的充充分分必必要要條條件件是是兩兩點點，求求證證：、內(nèi)內(nèi)切切于于圓圓分分別別與與與與圓圓兩兩點點，且且圓圓、相相交交于于與與圓圓圓圓已已知知兩兩個個半半徑徑不不相相等等的的TNSMNOMTSOOONMOO 21216.MNOIQFPENMQABDEPCAFDFEDABCABCABCABCIO 的的中中點點，求求證證：，分分別別為為線線段段、點點，相相交交于于點點與與，直直線線相相交交于于點點和和，直直線線、相相切切于于點點分分別別、的的內(nèi)內(nèi)切切圓圓與與邊邊的的外外心心和和內(nèi)內(nèi)心心，分分別別為為和和設(shè)設(shè)78在在兩兩圓圓的的連連心心線線上上。的的交交點點和和

6、，求求證證：直直線線于于，切切圓圓于于切切圓圓引引它它們們的的一一條條內(nèi)內(nèi)公公切切線線，于于，切切圓圓于于公公切切線線切切圓圓相相離離，引引它它們們的的一一條條外外和和圓圓如如圖圖，設(shè)設(shè)圓圓CDABDOBOCOAOOO2121219是定值。是定值。求證：求證：的延長線于點的延長線于點，交，交的延長線于點的延長線于點的垂線交的垂線交作作，過，過或或的割線的割線引圓引圓點，過點，過上或其延長線上任一定上或其延長線上任一定的直徑的直徑是圓是圓設(shè)設(shè).ANANNBMNBMBBAAMMMAMOABBOA .ABABANANAOMMNNMM 在在根根軸軸上上，則則的的根根軸軸，又又和和圓圓是是圓圓。于于是是

7、，四四點點共共圓圓，記記此此圓圓為為、提提示示：可可證證? ?M M ? ?A A? ?M M? ?N N? ?B B ? ?B B N10.OHAPHOPMNEFBNCMACABFEABC 垂心。求證：垂心。求證：分別為三角形的外心和分別為三角形的外心和、，于于交交為高，為高，、中點，中點，、分別為分別為、中，中，? ?P P? ?N N? ?M M? ?F F? ?E E? ?C C? ?B B? ?A A O H? ?H H ? ?o o ? ?P P? ?N N? ?M M? ?F F? ?E E? ?C C? ?B B? ?A A O H11.2121MNHHCODAOBHHBCAD

8、NMOABCD 的垂心，求證：的垂心，求證：與與（不重合）分別是（不重合）分別是、的中點，點的中點，點、分別是分別是、，點，點的對角線交于點的對角線交于點設(shè)四邊形設(shè)四邊形? ?N N? ?M M? ?O O? ?D D? ?C C? ?B B? ?A A H 2 H 1? ?E E? ?F F? ?N N? ?M M? ?O O? ?D D? ?C C? ?B B? ?A A H 2 H 112根軸及其應(yīng)用根軸及其應(yīng)用根軸是溝通圓與圓之間關(guān)系的一條基本直線。由于根軸是溝通圓與圓之間關(guān)系的一條基本直線。由于根軸和共軸圓系易于構(gòu)造和計算，不少涉及圓的根軸和共軸圓系易于構(gòu)造和計算，不少涉及圓的解析幾

9、何問題，若運用根軸知識來解決，不僅思解析幾何問題，若運用根軸知識來解決，不僅思路簡捷，解題明快，而且饒有趣味，容易掌握。路簡捷，解題明快，而且饒有趣味，容易掌握。13141516.)(0. 10022的的切切線線方方程程，求求經(jīng)經(jīng)過過圓圓上上一一點點的的方方程程是是已已知知圓圓例例yxPFEyDxyxC 17.)0()()()(. 222200所所在在的的直直線線方方程程，求求弦弦，的的兩兩條條切切線線，切切點點為為引引圓圓，過過點點例例ABBArrbyaxyxM 18.7052204:0284:. 3222221相相切切的的圓圓的的方方程程之之交交點點且且與與直直線線與與圓圓求求經(jīng)經(jīng)過過圓圓例例 xyxyxCxyxC19.0622:01062:. 4222221為為直直徑徑的的圓圓的的方方程程兩兩點點，求求以以弦弦，交交于于與與圓圓若若圓圓例例ABBAyxyxCyxyxC 20.0622:01062:. 4222221為為直直徑徑的的圓圓的的方方程程兩兩點點，求求以以弦弦，交交于于與與圓圓若若圓圓例例ABBAyxyxCyxyxC 21.0622:01062:. 4222221為為直直徑徑的的圓圓的的方方程程兩兩點點，求求以以弦弦，交交于于與與圓圓若若圓圓例例ABBAyxyxCyxyxC 22.)21(03:)41(. 5的的方方程程的的圓