常用求導(dǎo)公式、矩陣公式、數(shù)學(xué)建模

1、基本求導(dǎo)公式、矩陣公式、數(shù)學(xué)建模1基本求導(dǎo)公式 （C為常數(shù)） ；一般地，。特別地：，。 ；一般地，。 ；一般地，。2求導(dǎo)法則 四則運(yùn)算法則設(shè)f(x)，g(x)均在點(diǎn)x可導(dǎo)，則有：（）；（），特別（C為常數(shù)）；（），特別。3微分 函數(shù)在點(diǎn)x處的微分：4、 常用的不定積分公式（1） ；（2） ； ； ；（3）（k為常數(shù)）5、定積分 分部積分法設(shè)u(x)，v(x)在a，b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則6、線性代數(shù)特殊矩陣的概念（1）、零矩陣 （2）、單位矩陣二階(3)、對(duì)角矩陣(4)、對(duì)稱矩陣(5)、上三角形矩陣下三角形矩陣(6)、矩陣轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置后6、矩陣運(yùn)算 7、MATLAB軟件計(jì)算題例6 試寫(xiě)出用MATLAB

2、軟件求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的命令語(yǔ)句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)例：試寫(xiě)出用MATLAB軟件求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的命令語(yǔ)句。>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)例11 試寫(xiě)出用MATLAB軟件計(jì)算定積分的命令語(yǔ)句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);>>i

3、nt(y,1,2)例 試寫(xiě)出用MATLAB軟件計(jì)算定積分的命令語(yǔ)句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);>>int(y)MATLAB軟件的函數(shù)命令 表1 MATLAB軟件中的函數(shù)命令函數(shù)MATLAB 運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算符+-*/功能加減乘除乘方典型例題例1 設(shè)某物資要從產(chǎn)地A1，A2，A3調(diào)往銷(xiāo)地B1，B2，B3，B4，運(yùn)輸平衡表（單位：噸）和運(yùn)價(jià)表（單位：百元/噸）如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷(xiāo)地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A17311311A241928A3974105需求量365620（1

4、）用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案，（2）檢驗(yàn)上述初始調(diào)運(yùn)方案是否最優(yōu)，若非最優(yōu)，求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案，并計(jì)算最低運(yùn)輸總費(fèi)用。解：用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷(xiāo)地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A1437311311A23141928A363974105需求量365620找空格對(duì)應(yīng)的閉回路，計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)：l1，l1，l0，l2已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要調(diào)整，調(diào)整量為 1調(diào)整后的第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷(xiāo)地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A1527311311A23141928A363974105需求量365620求第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢驗(yàn)數(shù)：

5、l1已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要再調(diào)整，調(diào)整量為 2調(diào)整后的第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷(xiāo)地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A1257311311A21341928A363974105需求量365620求第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢驗(yàn)數(shù)：l2，l1，l2，l1，l9，l12所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)，故第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案最優(yōu)，最低運(yùn)輸總費(fèi)用為： 2×35×31×13×86×43×585（百元） 例2 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過(guò)對(duì)近期銷(xiāo)售資料分析及市場(chǎng)預(yù)測(cè)得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場(chǎng)緊俏產(chǎn)品，銷(xiāo)售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述

6、三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4公斤、4公斤和5公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和6臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為400元/件、250元/件和300元/件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180公斤，工時(shí)每天只有150臺(tái)時(shí)。1試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤(rùn)最大的線性規(guī)劃模型。2. 寫(xiě)出用MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃問(wèn)題的命令語(yǔ)句。解：1、設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為x1件、x2件和x3件，顯然x1，x2，x30線性規(guī)劃模型為2解上述線性規(guī)劃問(wèn)題的語(yǔ)句為：>>clear;>

7、;>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)例3已知矩陣，求：解：例4 設(shè)y(1x2)ln x，求：解：例5 設(shè)，求：解：例7 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2萬(wàn)元，每多生產(chǎn)1百臺(tái)產(chǎn)品，總成本增加1萬(wàn)元，銷(xiāo)售該產(chǎn)品q百臺(tái)的收入為R (q)4q0.5q2（萬(wàn)元）。當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解：產(chǎn)量為q百臺(tái)的總成本函數(shù)為：C(q)q2利潤(rùn)函數(shù)L (q)R (q)C(q)0.5q23q2令ML(q

8、)q30 得唯一駐點(diǎn) q3（百臺(tái)）故當(dāng)產(chǎn)量q3百臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為L(zhǎng) (3)0.5×323×322.5（萬(wàn)元）例8 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品，其年銷(xiāo)售量為1000000件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件商品每年庫(kù)存費(fèi)為0.05元，如果該商品年銷(xiāo)售率是均勻的，試求經(jīng)濟(jì)批量。解：庫(kù)存總成本函數(shù)令得定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)q200000件。即經(jīng)濟(jì)批量為200000件。例9 計(jì)算定積分：解：例10 計(jì)算定積分：解：教學(xué)補(bǔ)充說(shuō)明1. 對(duì)編程問(wèn)題，要記住函數(shù)ex，ln x，在MATLAB軟件中相應(yīng)的命令函數(shù)exp(x)，log(x)，sqrt(x)；2 對(duì)積分問(wèn)題，主要掌握積分性質(zhì)

9、及下列三個(gè)積分公式：（a1）7. 記住兩個(gè)函數(shù)值：e01，ln 10。模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：（每小題4分，共20分）1. 若某物資的總供應(yīng)量（ C ）總需求量，可增設(shè)一個(gè)虛銷(xiāo)地，其需求量取總供應(yīng)量與總需求量的差額，并取各產(chǎn)地到該銷(xiāo)地的單位運(yùn)價(jià)為0，則可將該不平衡運(yùn)輸問(wèn)題化為平衡運(yùn)輸問(wèn)題。(A) 等于(B) 小于(C) 大于(D) 不超過(guò)2某物流公司有三種化學(xué)原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三種化學(xué)成分的含量分別為0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分別為0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含B1，B2，B3的含量分別為

10、0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分別為500元、300元和400元。今需要B1成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。為列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型，設(shè)原料A1，A2，A3的用量分別為x1公斤、x2公斤和x3公斤，則目標(biāo)函數(shù)為（ D ）。(A) max S500x1300x2400x3(B) min S100x150x280x3(C) max S100x150x280x3(D) min S500x1300x2400x33. 設(shè)，并且AB，則x（ C ）。(A) 4(B) 3(C) 2(D) 14設(shè)運(yùn)輸某物品q噸的成本（單位：元）函數(shù)

11、為C(q)q250q2000，則運(yùn)輸該物品100噸時(shí)的平均成本為（ A ）元/噸。(A) 170(B) 250(C) 1700(D) 170005. 已知運(yùn)輸某物品q噸的邊際收入函數(shù)為MR (q)，則運(yùn)輸該物品從100噸到300噸時(shí)的收入增加量為（ D ）。(A) (B) (C) (D) 二、計(jì)算題：（每小題7分，共21分）6已知矩陣，求：ABC解：7. 設(shè)，求：解：8. 計(jì)算定積分：解：三、編程題：（每小題6分，共12分）9. 試寫(xiě)出用MATLAB軟件求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的命令語(yǔ)句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)

12、+exp(x);>>dy=diff(y,2)10. 試寫(xiě)出用MATLAB軟件計(jì)算定積分的命令語(yǔ)句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、應(yīng)用題（第11、12題各14分，第13題19分，共47分）11. 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品，其年銷(xiāo)售量為1000000件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件商品每年庫(kù)存費(fèi)為0.05元，如果該商品年銷(xiāo)售率是均勻的，試求經(jīng)濟(jì)批量。解： 庫(kù)存總成本函數(shù)令得定義域內(nèi)的惟一駐點(diǎn)q200000件。即經(jīng)濟(jì)批量為200000件。12. 某物流公司下屬企

13、業(yè)經(jīng)過(guò)對(duì)近期銷(xiāo)售資料分析及市場(chǎng)預(yù)測(cè)得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場(chǎng)緊俏產(chǎn)品，銷(xiāo)售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4公斤、4公斤和5公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和6臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為400元/件、250元/件和300元/件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180公斤，工時(shí)每天只有150臺(tái)時(shí)。試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤(rùn)最大的線性規(guī)劃模型，并寫(xiě)出用MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃問(wèn)題的命令語(yǔ)句。解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為x1件

14、、x2件和x3件，顯然x1，x2，x30線性規(guī)劃模型為解上述線性規(guī)劃問(wèn)題的語(yǔ)句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB) 線性規(guī)劃習(xí)題1. 某物流公司下屬企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用A，B，C三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲，需用三種原料分別為1，1，0單位；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙，需用三種原料分別為1，2，1單位。每天原料供應(yīng)的能力分別為6，8，3單位。又

15、知，銷(xiāo)售一件產(chǎn)品甲，企業(yè)可得利潤(rùn)3萬(wàn)元；銷(xiāo)售一件產(chǎn)品乙，企業(yè)可得利潤(rùn)4萬(wàn)元。試寫(xiě)出能使利潤(rùn)最大的線性規(guī)劃模型，并用MATLAB軟件計(jì)算（寫(xiě)出命令語(yǔ)句，并用MATLAB軟件運(yùn)行）。解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，乙產(chǎn)品噸。 線性規(guī)劃模型為： 用MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃模型的命令語(yǔ)句為：>> clear;>> C=-3 4;>> A=1 1;1 2;0 1;>> B=6;8;3;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)2. 某物流公司有三種化學(xué)產(chǎn)品A1，A2，A3都含有三種化學(xué)成分B1，B2，B3，

16、每種產(chǎn)品成分含量及價(jià)格(元/斤)如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，試列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型。相關(guān)情況表 產(chǎn)品含量 成 分每斤產(chǎn)品的成分含量A1A2A3B1B2B20.70.20.10.10.30.60.30.40.3產(chǎn)品價(jià)格(元/斤)500300400解：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品公斤, 生產(chǎn)產(chǎn)品公斤, 生產(chǎn)產(chǎn)品公斤,3. 某物流企業(yè)下屬家具廠生產(chǎn)桌子和椅子，產(chǎn)品的銷(xiāo)路挺好。生產(chǎn)每張桌子的利潤(rùn)為12元，每張椅子的利潤(rùn)為10元。生產(chǎn)每張桌子在該廠的裝配中心需要10分鐘，在精加工中心需要20分鐘；生產(chǎn)每張椅子在裝配中心需要14分鐘，在精加工中心需要12分鐘。該廠裝

17、配中心一天可利用的時(shí)間不超過(guò)1000分鐘，精加工中心一天可利用的時(shí)間不超過(guò)880分鐘。假設(shè)生產(chǎn)桌子和椅子的材料能保證供給。試寫(xiě)出使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的線性規(guī)劃模型，并用MATLAB軟件計(jì)算（寫(xiě)出命令語(yǔ)句，并用MATLAB軟件運(yùn)行出結(jié)果）解：設(shè)生產(chǎn)桌子張，生產(chǎn)椅子張 MATLAB軟件的命令語(yǔ)句為： >> clear;>> C=-12 10;>> A=10 14; 20 12;>> B=1000；880;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)4、某物流企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這

18、兩種產(chǎn)品分別需要A,B,C,D四種不同的機(jī)床加工，這四種機(jī)床的可用工時(shí)分別為1500，1200，1800，1400.每件甲產(chǎn)品分別需要A,B,C機(jī)床加工4工時(shí)、2工時(shí)、5工時(shí)；每件乙產(chǎn)品分別需要A,B,D機(jī)床加工3工時(shí)、3工時(shí)、2工時(shí)。又知甲產(chǎn)品每件利潤(rùn)6元，乙產(chǎn)品每件利潤(rùn)8元。試寫(xiě)出能獲得最大利潤(rùn)的線性規(guī)劃問(wèn)題。解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件。 線性規(guī)劃模型為： 用MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃模型的命令語(yǔ)句為：>> clear;>> C=-6 8;>> A=4 3;2 3;5 0；0 2;>> B=1500；1200；1800；1400;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)5、 某物流企業(yè)用甲、乙兩種原材料生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品。企業(yè)現(xiàn)有甲原料30噸，乙原料