將軍飲馬問題講義

1、一六大模型1.如圖，直線 l 和 l的異側兩點 A 、B， P ，使 PA+PB 最小。在直線l 上求作一點2. 如圖，直線 l和 l的同側兩點A 、 B，在直線l 上求作一點P ，使 PA+PB 最小。將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句 說:" 白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河 . " 詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題 . 如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下 的 A 點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到 B 點宿營 . 請問怎樣走才能使總的路程最短 ?這個問題早在古羅馬時代就有了， 傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者， 名叫 海倫 .一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，

2、向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天從軍營 A 出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的 B 地開會，應該怎樣走 才能使路程最短 ?從此，這個被稱為 " 將軍飲馬 "的問題廣泛流傳 .將軍飲馬問題 =軸對稱問題 =最短距離問題（軸對稱是工具，最短距離是題眼）。所謂 軸對稱是工具， 即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。 而最短距離是題眼， 也就意味著歸 類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)線段 a+b 這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以 快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。5.如圖，點 A 是 MON外 的一點，在射線 ON 上作點 P， 使 PA 與點 P 到射線 O

3、M 的距離之和最小3.如圖，點 P 是 MON內 的一點，分別在 使 PAB 的周長最小 .6. . 如圖，點離之和最小是 MON內 的一點，在射線ON 上作點 P ，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距常見問題首先明白幾個概念，動點、定點、對稱點。動點一般就是題目中的所求點， 即那個不定的點。定點即為題目中固定的點。對稱的點，作圖所得的點，需要連 線的點。1. 怎么對稱，作誰的對稱？。簡單說所有題目需要作對稱的點，都是題目的定點?；?者說 只有定點才可以去作對稱的。 （不確定的點作對稱式?jīng)]有意義的）那么作誰的對稱點 首先要明確關于對稱的對象肯定是一條線， 而不是一個點。 那么是哪一條線？

4、一般而言都是 動點所在直線。2. 對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個定點相連。 絕對不能和一個動點相連。明確一個概念： 定點的對稱點也 是一個定點。例如模型二和模型三。3. 所求點怎么確定？首先一定要明白， 所求點最后反應在圖上一定是個交點。 實際就是我們所畫直線和已知直線 的交點。下面我們來看看將軍飲馬與二次函數(shù)結合的問題：21. 如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（1，0）、 B（4，0）、C（0，3）三點（1）求拋物線的解析式；（ 2）如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形 PAOC的周長最??？若存在，求出四邊形 PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由分析】（

5、 1）設交點式為 y=a（x 1）（x 4），然后把 C點坐標代入求出 a= ，于是得到拋 物線解析式為 y= x2 x+3 ；（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x= ，連結 BC交直線 x= 于點 P，如圖，利用對稱性得到 PA=PB，所以 PA+PC=PC+PB=B，C根據(jù)兩點之間線段最短得到PC+PA最短， 于是可判斷此時四邊形 PAOC的周長最小，然后計算出 BC=5，再計算 OC+OA+BC即可【解答】 解：（1）設拋物線解析式為 y=a（x 1）（x 4）， 把 C（0，3）代入得 a? （ 1）? （ 4） =3，解得 a= ，所以拋物線解析式為 y= （x 1）（x4），即 y=

6、 x2 x+3； （2）存在因為 A（ 1，0）、 B（4，0）， 所以拋物線的對稱軸為直線 x= ，連結 BC交直線 x= 于點 P，如圖，則 PA=PB，PA+PC=PC+PB=B，C此時 PC+PA最短， 所以此時四邊形 PAOC的周長最小，因為 BC=5，點評】 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：3+1+5=9在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當 已知拋物線上三點時， 常選擇一般式， 用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解； 當已知拋物x 軸有兩個交點時，線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋

7、物線與可選擇設其解析式為交點式來求解也考查了最短路徑問題2（ 2015? 上城區(qū)一模）設拋物線y=x+1）（x2）與 x 軸交于 A、 C兩點（點 A在點 C 的左邊），與 y 軸交于點 B（1）求 A、B、C 三點的坐標；（2）已知點 D 在坐標平面內， ABD 是頂角為 120°的等腰三角形，求點 D 的坐標； （ 3）若點 P、 Q位于拋物線的對稱軸上，且 PQ= ，求四邊形 ABQP周長的最小值考點】 二次函數(shù)綜合題【分析】（ 1）令 x=0，求出與 y 軸的坐標；令 y=0，求出與 x 軸的坐標； （2）分三種情況討論：當 AB為底時，若點 D在 AB上方；若點 D 在 A

8、B下方；當 AB為 腰時， A 為頂點時，當 AB為腰時， A為頂點時；仔細解答即可（3）當 AP+BQ最小時，四邊形 ABQP的周長最小，根據(jù)軸對稱最短路徑問題解答【解答】 解：（1）當 x=0 時， y= ；當 y=0 時， x= 1 或 x=2；則 A（ 1，0）， B（0，），C（2，0）；（2）如圖， RtABO中， OA=1， OB= ，AB=2，ABO=3°0 ， BAO=6°0 ， ABD是頂角為 120°的等腰三角形當AB為底時，若點 D在 AB上方，由 ABO=BAD=30°，AB=2，得 D1（ 0，），若點D 在 AB下方，由 B

9、AD=DBA=30°， AB=2，得 D2(1，），當DAB=12°0 ， OAB=6°0 ， AD=AB=2，點 D 在 y 軸或 x 軸上，若 D在 y 軸上，得 D3（0， ），若 D在 x 軸上，當 AB為腰時， A 為頂點時，若點 D 在第三象限，DBO=15°0 ， BD=2，得 D5（ 1， 2 ）； 若點 D 在第四象限時，DBx軸， BD=2，得 D6（2， ），AB為腰時， A 為頂點時，得 D4 (3，0）；符合要求的點 D 的坐標為（ 0，（ 1，0， ），（ 3， 0），（ 1，2 ），（ 2，）；（3）當 AP+BQ最小時，四邊形 ABQP的周長最小， 把點 B 向上平移 個單位后得到 B1（0， BB1PQ，且 BB1=PQ，四邊形 BB1PQ是平行四邊形，BQ=B1P，AP+BQ=AP+1BP，要在直線 x= 上找一點 P，使