初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑿

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第12講 抽屜原理把5個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：第一抽屜原理：把（mn1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m1）個(gè)物體。使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。例1 從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；（2）有2個(gè)數(shù)的差為50；（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。證明：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：1，2，3，4，99，100。在選出的

2、51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組中的2個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。（2）將100個(gè)數(shù)分成50組：1，51，2，52，50，100。在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：第一組：2的倍數(shù)，即2，4，100；第二組：3的倍數(shù)，即3，6，99；第三組：5的倍數(shù)，即5，10，100；第四組：7的倍數(shù)，即7，14，98；第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即1，11，13，97。第五組中有22個(gè)數(shù)，故選出的51個(gè)數(shù)至少有29個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個(gè)數(shù)的最大

3、公約數(shù)大于1。例2 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。證明：因1996÷4499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。得到500個(gè)余數(shù)r1，r2，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，499這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原理，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個(gè)差的前若干位是1，后若干位是0：111000，又499和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。1 / 10例3 在一個(gè)禮堂中有99名學(xué)生，如果他們中的每個(gè)人都與其

4、中的66人相識(shí)，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識(shí)（假定相識(shí)是互相的）。分析：注意到題中的說(shuō)法“可能出現(xiàn)”，說(shuō)明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說(shuō)的結(jié)論即可。解：將禮堂中的99人記為a1，a2，a99，將99人分為3組：（a1，a2，a33），（a34，a35，a66），（a67，a68，a99），將3組學(xué)生作為3個(gè)抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人只在B，C中，同時(shí)，B，C中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說(shuō)情況就可能出現(xiàn)。因?yàn)槎Y堂中任意4人可

5、看做4個(gè)蘋果，放入A，B，C三個(gè)抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來(lái)自同一組，那么他們認(rèn)識(shí)的人只在另2組中，因此他們兩人不相識(shí)。例4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同。當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。分析：此題中沒有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的角度。解：內(nèi)外兩環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個(gè)抽屜。注意到一

6、環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面，而最初的8對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對(duì)的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對(duì)的局面看做8個(gè)蘋果，則至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。例5 有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間?，F(xiàn)在需要重量相差不超過(guò)0.005克的兩只鐵盤來(lái)裝配一架天平，問(wèn)：最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？解：把2020.1克之間的盤

7、子依重量分成20組：第1組：從20.000克到20.005克；第2組：從20.005克到20.010克；第20組：從20.095克到20.100克。這樣，只要有21個(gè)盤子，就一定可以從中找到兩個(gè)盤子屬于同一組，這2個(gè)盤子就符合要求。例6 在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19個(gè)籌碼，為什么？分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個(gè)籌碼。解：依順時(shí)針方向?qū)⒒I碼依次編上號(hào)碼：1，2，100。然后依照以下規(guī)律將100個(gè)籌碼分為20組：（1

8、，21，41，61，81）；（2，22，42，62，82）；（20，40，60，80，100）。將41個(gè)紅籌碼看做蘋果，放入以上20個(gè)抽屜中，因?yàn)?1=2×201，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3（個(gè)）蘋果，也就是說(shuō)必有一組5個(gè)籌碼中有3個(gè)紅色籌碼，而每組的5個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個(gè)相鄰籌碼之間都有19個(gè)籌碼，那么3個(gè)紅色籌碼中必有2個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容第二抽屜原理中說(shuō)明），即有2個(gè)紅色籌碼之間有19個(gè)籌碼。下面我們來(lái)考慮另外一種情況：若把5個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為：第二抽屜原理：把（mn-1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一

9、個(gè)抽屜中至多有（m-1）個(gè)物體。例7 在例6中留有一個(gè)疑問(wèn)，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個(gè)籌碼，其中有3個(gè)是同色的，那么這3個(gè)同色的籌碼必有2個(gè)相鄰。分析：將這個(gè)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化： 如右圖，將同色的3個(gè)籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個(gè)籌碼將其隔開。解：如圖，將同色的3個(gè)籌碼放置在圓周上，將每2個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個(gè)籌碼看做蘋果，將2個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜中，則必有1個(gè)抽屜中沒有蘋果，即有2個(gè)同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2個(gè)籌碼必相鄰。例8 甲、乙二人為一個(gè)正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6

10、條棱都涂上紅色。問(wèn)：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？解：不能。如右圖將12條棱分成四組：第一組：A1B1，B2B3，A3A4，第二組：A2B2，B3B4，A4A1，第三組：A3B3，B4B1，A1A2，第四組：A4B4，B1B2，A2A3。無(wú)論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無(wú)法將某一面的4條棱全部涂紅了。下面我們討論抽屜原理的一個(gè)變形平均值原理。我們知道n個(gè)數(shù)a1，a2，an的和與n的商是a1，a2，an這n個(gè)數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個(gè)數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于a，也至少有一個(gè)不小于a。例9

11、 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999。解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是a1，a2，a2000，則其和a1a2+a2000=0+1+2+1999=1999000。下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：（a1a2a3）+（a2a3a4）（a1998+a1999a2000）（a1999a2000a1）（a2000a1a2）=3（a1a2a2000）3×1999000。這2000組和中必至少有一組和大于或等于 但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999

12、，亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999。例10 一家旅館有90個(gè)房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時(shí)回來(lái)，那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來(lái)時(shí)，每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開一個(gè)房門住進(jìn)去，并且避免發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開，因此90個(gè)人就無(wú)法按題述的條件住下來(lái)。另一方面，990把鑰匙已經(jīng)足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個(gè)人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。最后，

13、我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題。例11 設(shè)有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無(wú)論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。證明：我們先考察第一行中28個(gè)小方格涂色情況，用三種顏色涂28個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。下面考察第二、三、四行中前面10個(gè)小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的，那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格，便是

14、一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形就是一個(gè)四角同是紅色的長(zhǎng)方形。（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。我們先考慮這個(gè)3×7的長(zhǎng)方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1至4列。再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形四角同是藍(lán)色。（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3

15、個(gè)小方格就在第二行的前面3格。下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍(lán)、黃兩色涂3個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有2個(gè)方格是同色的，無(wú)論是同為藍(lán)色或是同為黃色，都可以得到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形?？傊?，對(duì)于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問(wèn)：參加考試的學(xué)生最多有多少人？解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為a，b，c。（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過(guò)3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對(duì)第一題的

16、答案只有兩種。對(duì)于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對(duì)于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對(duì)于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對(duì)于這3人來(lái)說(shuō)，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求?？梢?，所求的最多人數(shù)不超過(guò)9人。另一方面，若9個(gè)人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個(gè)問(wèn)題的答案互不相同。所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)121.六（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績(jī)除3人外均在86分以上后就說(shuō)

17、：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績(jī)相同?！闭?qǐng)問(wèn)王老師說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個(gè)乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？3.某校初二年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問(wèn)：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有4個(gè)人身高相同？4.從1，2，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是51的倍數(shù)。5.在3×7的方格表中，有11個(gè)白格，證明（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4列中每

18、列都恰有兩個(gè)白格；（2）只有一個(gè)白格的列只有3列。6.某個(gè)委員會(huì)開了40次會(huì)議，每次會(huì)議有10人出席。已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開兩次或更多的會(huì)議。問(wèn)：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？7.一個(gè)車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作?？偣灿?個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場(chǎng)。為了保證生產(chǎn)，要對(duì)這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問(wèn)：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？8.有9名數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語(yǔ)言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語(yǔ)言通

19、話。練習(xí)13答案： 1.對(duì)。解：因?yàn)?9-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說(shuō)，把從100分至86分的15個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜，49-3=46（人）的成績(jī)當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績(jī)相同。2.4個(gè)。解：18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個(gè)盒子中放了1只乒乓球，3個(gè)盒中放了2只乒乓球3個(gè)盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個(gè)盒子中共放了乒

20、乓球（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進(jìn)原來(lái)有2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來(lái)裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有4個(gè)盒子里裝有3個(gè)乒乓球。所以至少有4個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。3.34個(gè)。解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜160-150+1=11（個(gè)）。根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同

21、，至少要有初二學(xué)生3×11+1=34（個(gè)）。4.證：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：1，100，2，99，50，51。在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。（2）將100個(gè)數(shù)分成10組：1,2,4,8,16,32,64, 3,6,12,24,48,96,5,10,20,40,80, 7,14,28,56,9,18,36,72, 11,22,44,88,13,26,52, 15,30,60,49,98, 其余數(shù)。其中第10組中有41個(gè)數(shù)。在選出的51個(gè)數(shù)中，第10組的41個(gè)數(shù)全部選中，還有10個(gè)數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另

22、一個(gè)的倍數(shù)。（3）將選出的51個(gè)數(shù)排成一列：a1，a2，a3，a51?？紤]下面的51個(gè)和：a1，a1+a2，a1+a2+a3，a1+a2+a3+a51。若這51個(gè)和中有一個(gè)是51的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這51個(gè)和中沒有一個(gè)是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，50中的一個(gè)，故必然有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51的倍數(shù)，而這個(gè)差顯然是這51個(gè)數(shù)（a1，a2， a3，a51）中的一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和。5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個(gè)白格，則剩下的5個(gè)白格要放入3列中，將3列表格看做3個(gè)抽屜，5個(gè)白格看做5個(gè)蘋果，根據(jù)第二抽屜原理，5（=2×3-1）個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜，則必有1個(gè)抽屜至多只有（2-1）個(gè)蘋果，即必有1列只含1個(gè)白格，也就是說(shuō)除了原來(lái)3列只含一個(gè)白格外還有1列含1個(gè)白格，這與題設(shè)只有1個(gè)白格的列只有3列矛盾。所以不會(huì)有1列有3個(gè)白格，當(dāng)然也不能再有1列只有1個(gè)白格。推知其余4列每列恰好有2個(gè)白格。（2）假設(shè)只含1個(gè)白格的列有2列，那么剩下的9個(gè)白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有2列每列只1個(gè)白格矛盾。所以只有1個(gè)白格的列至少有3列。6.能。解：開會(huì)的“人次”有 40×10=400（人次）。設(shè)委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，