(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)2.2對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案新人教A版必修1

1、12.2對(duì)數(shù)函數(shù)2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算新知初探1. 對(duì)數(shù)的概念如果ax=N(a0,且 1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x= logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).點(diǎn)睛logaN是一個(gè)數(shù)，是一種取對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)數(shù)，不可分開書寫.2. 常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以 10 為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e 為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡(jiǎn)記為 lgN,logeN簡(jiǎn)記為 InN3. 對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系若a0，且a 1，貝Uax=N? logaN=x.對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N；logaax=x(a 0，且a工 1).4. 對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1) 1 的對(duì)數(shù)為零；(2) 底的對(duì)數(shù)

2、為 1;(3) 零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).小試身手1判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)(1) logaN是 loga與N的乘積.()(2) ( 2) =- 8 可化為 log(-2)( 8) = 3.()2答案：C2x 14 已知 log _-= 0，貝 Ux=5例 1將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式:-21 12(1)3= 9；(2) 4= 16；(3)log 027=- 3;(4)log 小 64 6.3”-21 1解 3 = 9，- log39 =-2.(1) 將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只需要將幕作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式；(2) 將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式， 只需將真數(shù)作為幕

3、， 對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.活學(xué)活用1將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求幕指數(shù).(答案：(1)X(2)XD. .0=27./ log 嚴(yán)一 3,log-(,x)-6= 64.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化2= 16,- log2.-33(1)27= ；(2)3a= 27;(1) 設(shè)出所求對(duì)數(shù)值；(2) 把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式;(3) 解有關(guān)方程，求得結(jié)果.活學(xué)活用2.求下列各式中的x值：32(1)logx27= 2；(2)log2x=-3 ；1nx = log279；x= log 6.-1(3)10= 0.1; (4)log132=-5；2(

4、5)lg 0.001=- 3.解:(1)ioglog327= a.(3)lg 0.1=- 1.1- 52= 32.一 3(5)10= 0.001.對(duì)數(shù)的計(jì)算例 2 求下列各式中的x的值:(1)log64x=- 2； (2)logx8= 6;(3)lg 100=x;(4) ln e2=x.(1)x= (64)x2_(3)10 = 100 = 10 ,于是x= 2.由一 ln e2=x，得一x= ln e2,即卩 e-x= e2.所以x=- 2.求對(duì)數(shù)值的 3 個(gè)步驟Il = (43)= 4-21(2)x6= 8,所以4解: (1)由 logx27 =3，可得3x2=5 x= 27 丄=(33)丄

5、=32= 9.(1) log2(log5x) = 0;(2) log3(lgx) = 1;(3) log3(log4(log5X) = 0.解(1) Iog2(log5x) = 0,- log5X= 2 = 1, x= 51= 5./ log3(lgx) = 1 , lgx= 31= 3,3x= 10 = 1 000.(3)由 log3(log4(log5X) = 0 可得 log4(log5X)= 1，故 log5X= 4，所以x= 54= 625.一題多變1. 變條件本例中若將log3(log4(log5X) = 0” 改為log3(log4(log5X) = 1”， 又如何求解x呢？解：

6、由 log3(log4(log5x) = 1 可得，log4(log5x) = 3,則 log5X= 43= 64,所以x=564.2. 變?cè)O(shè)問(wèn)在本例條件下，計(jì)算 625|logx3的值.解：因?yàn)閤= 625，則 625|嘰3= 3.3. 變條件本例中若將“l(fā)og3(log4(log5x) = 0”改為丫 巴二二| = 1”，又如 何求解x呢？解：由 3 3碗 =1 可得 log4(log5x) = 1，故 log5X= 4,所以x= 5 = 625.3x-2 3 = 3 ,(4)由x= log16,可得1x= 16.2 -由 log2x=- 3,可得x=22.1 1(3)由x= log279

7、，可得 27 = 9,2x 4, - 2 = 2 , x= 4.6CEO1 利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的 2 類問(wèn)題的解法求多重對(duì)數(shù)式的值解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbe)的值，先求 logbe的值,再求 loga(logbe)的值.(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值， 求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og ”后再求解.2.性質(zhì)alogaN=N與 logaab=b的作用(1)alogaN=N的作用在于能把任意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)形式.(2) logaab=b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù).層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)解析：選 B 根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得 log19= 2,故選 B.x =

8、:32解析：選 A /2log3X= 2 ,.log3X= 2,o21-x=3=9.3.使對(duì)數(shù) loga( 2a+ 1)有意義的a的取值范圍為()1B. 0vav2課厲1.將 32= 9 寫成對(duì)數(shù)式，正確的是()A.1log93 =2B. log9= 2C. log(2) = 91D. log9( 2) = 32.方程 2log3x= 4 的解是()A.1x= 9B.3x=TD.C.7C.a0 且1解析：選 B 由對(duì)數(shù)的概念可知使對(duì)數(shù) loga( 2a+ 1)有意義的a需滿足4.下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是(A. e= 1 與 In 1 = 01C. log39= 2 與 9 冋=3D

9、. .log77= 1 與 7 = 7解析：選 C 由指對(duì)互化的關(guān)系：a=N?x= logaN可知 A、B、D 都正確；C 中 log39= 2? 9 = 3.5.已知x2+y2 4x 2y+5= 0，貝 U logx(yx)的值是()A. 1B. 0C .x解析：選 B 由x2+y2 4x 2y+ 5=0,得(x 2)2+ (y 1)2= 0, /x= 2,y= 1,/logx(yx)2=log2(1 ) = 0.6.lg 10 000=_; lg 0.001=_.解析：由 104= 10 000 知 lg 10 000 = 4,103= 0.001 得 lg 0.001= 3.答案：4 3

10、7.方程 log2(1 2x) = 1 的解x=_.解析:Vlog2(1 2x) = 1 = log22,經(jīng)檢驗(yàn)滿足 1 2x0.答案：D. av1a 0,a 1,2a+ 1 0,解得 0vav2D.y x=12.B.1 1 一 13=2 與l0g82=8解析：由題意得：log3(log2x) = 1,即卩 log2x= 3,1轉(zhuǎn)化為指數(shù)式則有x= 23= 8,82&已知 log7(log3(log2X)=0,那么x91 11 X 2 =8-2=-r82答案：-449 將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式.3(1)5 = 125;(3)log18=3;21log327= 3.解：(

11、1) 53= 125,Alog5125= 3.-21. 14= 16，log416=2.12m212m- (2 m+4)1= 22n+42logab=c,則下列關(guān)系式中正確的是()(2)42=116；log=3,. 23= 8.1/ log327 = 3, 33=丄2710 .若 loglog Ly = m+ 2,2x求一的值.y解:Tlog2mlog1m+ 24y,2m+ 41.A.5cb=a5 cB.b=aC.b= 5acD.b=c5a10層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)解析：選 A 由 logab=c,得ac=導(dǎo)b,：b= (ac)5= a：22.方程 lg(x 1) = lg(2x+ 2)的根為()

12、11D. .1 或一 32 2 2解析：選 B 由 lg(x 1) = lg(2x+ 2)，得x 1 = 2x+ 2，即x 2x 3= 0,解得x=x= 3.5.使方程(lgx)2 lgx= 0 的x的值為解析：由 lgx(lgx 1) = 0 得 lgx= 0 或 lgx= 1,即x= 1 或x= 10.答案：1 或 106.計(jì)算 23+ log23+ 32 logs9 =329解析：23+ log23 + 32 logs9 =23X2log23+= 8X3+ = 25.3log399答案：2537.已知 log2(log3(log4X) = 0,且 log4(log2y) = 1.求&am

13、p; 卩的值.解:vlog2(log3(log4X) = 0,-log3(log4x) = 1,3-log4X= 3，-x= 4 = 64.由 log4(log2y) = 1，知 log2= 4,A. 3B. 3C. 1 或 31 或x= 3.經(jīng)檢驗(yàn)x= 1 是增根,所以原方程的根為x= 3.3.1+log0.54的值為（A.7B.2C.3D.7解析:1+log0.54log14=2X4=8.4.a0,A.B. 3C.D. 5解析:2/ a349，a0,a=91I3,設(shè) loga=x,-2x3=a.124 y= 2 = 16.&已知 log189 =a, log1854=b,求 182

14、ab的值;已知 logx27= 31+ log32,求 x 的值.解：(1)Vlog189 =a, log1854=b,. 18a= 9,18b= 54,“2a-b1823923-18=蒔=54 = 2.logx27=31+log32=33log32=3X2=6. -X= 27,.X= 3，又x 0, x= 3.新知初探1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若a0,且 1, M0, N0,那么：(1) loga( M-N) = logaM+ logaN,M(2) logaR= logaM logaN,(3) logaM=nlogaMn R).點(diǎn)睛對(duì)數(shù)的這三條運(yùn)算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí)，等式才

15、成立.例如，log2( 3) ( - 5) = log2( 3) + log2( 5)是錯(cuò)誤的.2.換底公式logcb若c0 且c豐1,則 logab=(a0,且a* 1,b0).logca因此:x=8X8=64.13小試身手142 .計(jì)算 log84 + log82 等于(A. log86答案：D3 .計(jì)算 log510 log52 等于(答案：C4.log48=75(1)log2(4x2)；(3)lg 14 2 lg7+ lg 7 lg 18 ;2+1 lg 8 + lg 5 lg 20 + (lg 2)27575(1)log2(4x2)=log24+log22=7log24+5log22

16、=7x2+5x1=19.100=lg 100 E=lg 100=x2=2555(3)lg 142lg|+lg 7lg 18=lg(2x7)2(lg 7lg 3)+lg 7lg(32x2)=lg25) 1 判斷（正確的打“V”，錯(cuò)誤的打積、商的對(duì)數(shù)可以化為對(duì)數(shù)的和、log(3)log答案:a(xy2(1)V(2)x(3)x“x”差.5)2logab2log2(logax logay.log2blog-2aD. .1A. log58B.lg 5D. .2(4)lg 5(2)lg答案：I15+ lg 7 2lg 7 + 2lg 3 + lg 7 2lg 3 lg 2 = 0.162 2(4)原式=2

17、lg 5 + 2lg 2 + lg 5(2lg 2+ Ig5) + (Ig 2)= 2lg 10 + (Ig 5 + Ig 2)= 22+ (lg 10)= 2+ 1 = 3.對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法（1）基本原則：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行.（2）兩種常用的方法：1“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和（差）收成積（商）的對(duì)數(shù)；2“拆”，將積（商）的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和（差）活學(xué)活用1.求下列各式的值：(1)lg 0.000 01In.：e .171.(3)2logs2 log323 _9卜 log

18、38 5log53lg 3 + 59 9 + lg 27 lg .3lg 81 lg 275解：(1)lg 0.000 01= lg 10= 5lg 10 = 5.廠 11ln,e=尹 e =原式=2log32 (log332 log39) + 3log32 3 = 2log32 5log32+ 2 + 3log32 3 =原式=491lg 3 + glg 3 + 祁 g 3 為 34lg 3 3lg 341+尹后2lg 311911021log53Xlog718解（1）由換底公式可得,（1）換底公式的作用是將不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，將一般對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)式或常用對(duì)數(shù)式來(lái)運(yùn)算

19、要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化，統(tǒng)一成一種形式.活學(xué)活用、“l(fā)g 22 計(jì)算(log43+ log83)Xlg 3M單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量m單位：kg）滿足 ev= 1 +黑2 000（e 為自然對(duì)數(shù)的底）.（In3 1.099）當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m的兩倍時(shí)，求火箭的最大速度（單位：m.（2）已知 log189=a,18b= 5,求 log3645.（用a, b表示）lg 3=2lg 2lg 2-X lg 3?g3X23lg 2 lg 31 15=+ =2+3=6.a對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用解：原式=例

20、3 （1）在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度log29 log34 =lg 9ig2lg 4_ 2lg 3igT = lg 22lg 2lg3lg9-lg 22 匕=-lg 3lg432lg 32_卻232.lg 3 lg 3lg 2lg 4+lgv（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量原式=log3 ,2Xlog=Xlg31換底公式的應(yīng)用技巧19解(1)因?yàn)関= ln 1 +M2 000mM=2 000 ln 1 +m所以v= 2 000 ln 32 000X1.099 = 2 198(m/s)20故當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的兩倍時(shí)，火箭的最大速度為2 198 m/s.(2)因?yàn)?18b= 5,

21、所以b= log185.log1845log185X9所以 log3645.log1836 log182X18log185+ log 9a+blog182 + log18181 + log182a+ba+b182 log1891 + log 偲百a+b2a.一題多變1.變?cè)O(shè)問(wèn)若本例條件不變，如何求 log 代 45(用a,b表示)?解：因?yàn)?18b 5，所以 log185b,所以 log1845 log189+ log185a+B.2.變條件若將本例條件“l(fā)og189a,18b 5”改為“ log94 a,9b 5”，則又如何 求解呢？解：因?yàn)?9b 5,所以 log95B.log945 lo

22、g95X9所以log3645莎 36log94X9log95+ log99b+ 1log94 + log99a+ 1解對(duì)數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題的3 種方法(1)統(tǒng)一化：所求為對(duì)數(shù)式，條件轉(zhuǎn)為對(duì)數(shù)式.選底數(shù)：針對(duì)具體問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù).(3)會(huì)結(jié)合：學(xué)會(huì)換底公式與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合使用.課姑層理訓(xùn)納;步冊(cè)棍21層級(jí)一log29.log231A 2B. 22log29 log23解析：選 B 原式臥 3商2.D.22. 2log510 + log50.25 ()A. 0B. 1C. 2D. .4222 2解析：選 C 原式=log510 + log50.25 = log5(10 x0.25) = log5

23、25= 2.3.若a0，且 1,則下列說(shuō)法正確的是()A. 若M= N,則 logaM= logaNB. 若 logaM= logaN,則M= NC. 若 logaM= logaN 則M= ND.若 M= N,則 logaM= logaN2 3解析：選 B 在 A 中，當(dāng)M=N0時(shí)，logaM與 logaN均無(wú)意義，因此 logaM=logaN不成立，故 A 錯(cuò)誤；在 B 中，當(dāng) logaM=logaN時(shí)，必有M 0,N0,且M= N,因此M= N成立， 故 B正確；在 C 中，當(dāng) logaM= logaNf時(shí)，有M0,NM0,且M=Nf，即|M= IN，但未必 有 M=N,例如M=2,N=-

24、 2 時(shí)，也有 logaM= log aM,但MN,故 C 錯(cuò)誤；在 D 中，若M=N= 0，則 logaM與 logaN均無(wú)意義，因此 logaM= logaN2不成立，故 D 錯(cuò)誤.4.設(shè)a= log32，貝Ulog38- 2log36 用a表示的形式是（）B. 3a- (1 +a)2D. a+ 3a 1解析：選 A /a= log32,log38 2log36 = 3log32 2(log32 + 1) = 3a- 2(a+1) =a- 2.5.計(jì)算 log225 log32 2 log59 的結(jié)果為(A. 3答案:J5 + lg 伍的值是_ .A.a-2C. 5a- 2C.D.6解析：

25、選 D2lg 5lg 5 lg 2lg 93-lg 22lg3警=6.lg 56.已知a2=11(a0)，則 log81a=解析：由a2= 16(a 0)得a= 4,所以 logn4 *29=log223 =2.23lgblogab log3a=-y ylg a7. lg解析:&若logab log3a= 4，則b的值為lgalgb=4lg 3 lg 3解析:12444所以 lgb= 4lg 3 = Ig 3 ，所以b= 3 = 81.答案:819用lgx，lgy，lgz表示卜列各式：(1)lg(xyz)；(2)lg2xyz；ig3xy_z；(4)lgJy z解：(1)lg (xyz)

26、 = lgx+ lgy+ lgz.2xy2lg = lg(xy) lgz= lgx+ 2lgy- lg 乙3xy3廠lg左=lg(xy) lg vz1=lgx+ 3lgy 2lgz.1=2lgx 2lgy lgz.10.求下列各式的值:(1)2log525+ 3log264；lg(, 3 + ., 5+3 .、5);2 2(3)(lg 5)+ 2lg 2 (lg 2).2解：(1)T2log525= 2log55 = 4log55= 4,3log264 = 3log226= 18log22= 18, 2log525+ 3log264= 4+ 18= 22.原式=|lg( 3 + .、5+3 ,

27、5)21=2(3 + ,5+ 3 5 + 2 9 5)=2lg 10 = 2.(3)(lg 5)2+ 2lg 2 (lg 2)(4)lg,x lg (y2z)251log53 log36 log6X= 2,則x等于(lg(ab) = lga+ lgb；lg( ab)= logab10-其中一定成立的等式的序號(hào)是(b 0 或av0,bv0,.中的等式不一定成立；12.5x= 1 000,0.25y= 1 000 ,則一x1A3D.解析：選 ATX= log2.51 000 ,y= log0.251 000 ,1=log1 0002.5 ,xlog2.51 000A.B. A. 9B.C. 251

28、D.25解析:lg 3選 D 由換底公式，得9lg 6lg 5lg 3lgx= 2, lgx= 2lg 5 ,x= 52=丄 lg6252.若ab 0，給出下列四個(gè)等式: a lgb= lga lgb；1an 2 b2lgb解析：選 Daab b0，1a21a一2lgb= 2X2lgb=lgb,a中等式成立；當(dāng)ab= 1 時(shí)，lg(ab) = 0,但lOgab10 無(wú)意義， .中等式不成立. 故選 D.3.lgXlgy=t，則 lg-lgyA. 3tB.|tC.D.2解析:A lgx :3lg2 3lg；x3lg-=3(lgxlgy) =3t.D.4.右B.1261同理一 =iog1 0000

29、.25 ,y11ig 10 x-廠iog1 0002.5iog1 0000.25=iog1 0001 0=i-gi500答案:xigx+ igy= 2lg(x 2y)，則y=因?yàn)?igx+ igy= 2lg(x 2y),x 0,y 0,所以x 2y 0,xy=x 2y222由xy= (x 2y)，知x 5xy+ 4y= 0,所以x=y或x= 4y.又x 0,y0 且x 2y 0,x所以舍去x=y,故x= 4y,貝 yy= 4.答案：47 計(jì)算下列各式的值:2(2)(1 log63) + log62 log618十 log64.解：(1)原式=log535 + log550 log514+ 2i

30、og1235X5013=log54+log 22=iog551=2.22(2)原式=(log66 iog63) + iog62 iog6(2X3)十 iog646222=iog63 + log62 iog62 + iog63十 iog622 2u ig 3 + 2ig 2 1 5.-Ig 1.2解析:2ig 3 + 2ig 2 1 ig 3 + ig 2 1 ig 12 112ig帀 ig 1.2ig 1.2ig 1.2ig 1.2 ig 1.2 ig 1.2=1.2 log550 log514;(1)iog535+ 2iog13.6若解析:27=(log62) + (iog62) + 2io

31、g62 iog63十 2iog62=iog62+iog63=iog6(2X3)=1.282x) 4lgx+ 1 = 0.22t 4t+ 1 = 0,又a，b是方程 2(lgx)2 lgx4+ 1 = 0 的兩個(gè)實(shí)根, 11= lga,12= lgb,2122X -2=2X一 1 一=12,2即 lg(ab) (logab+ logba) = 12.(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是什么？它的解析式具有什么特點(diǎn)?(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是什么，通過(guò)圖象可觀察到對(duì)數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)?(3)反函數(shù)的概念是什么?2. 2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)值.&若a,b是方程 2(lgx)2 lgx4+ 1 = 0 的兩個(gè)實(shí)

32、根，求 lg(ab) (logab+ logba)的解：原方程可化為 2(lg設(shè)t= lgx，則方程化為即 lga+ lgb= 2, lga lg1b= 2.=(lg=(lg=(lgab) (logab+ logba)a+ lga+ lga+ lgb)b)b)lgalgb22+ lgalgblga lgb2lga+ lgb 2lga lgblga lgb29新知初探1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y= logax(a0,且a* 1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+ ) x點(diǎn)睛形如y= 2log氷,y= log23 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) La數(shù)的

33、圖象“上升”；當(dāng) 0vav1 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y= logax(a0 且a* 1)互為反函數(shù).小試身手，錯(cuò)誤的打“x”)1.判斷(正確的打“V”(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的疋義域?yàn)镽.()y=log2x2與logx3都不是對(duì)數(shù)函數(shù).()(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象一疋在y軸右側(cè).()(4)函數(shù)y=log2x與y2=x互為反函數(shù).()a的范圍0vav1a1性質(zhì)定義域(0,+s)值域R定點(diǎn)(1,0)，即x= 1 時(shí)，y= 0單調(diào)性在(0,+)上是減函數(shù)在(0,+)上是增函數(shù)點(diǎn)睛底數(shù)a與 1 的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函a 1a的范圍0vav1a

34、1prA.y= InxB.y= ln(x+ 1)30答案： (1)xVVx2.下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()31C.y= logxeD.y= logxx答案：A3. 函數(shù)f(x) = log2(x 1)的定義域是()A. 1,)B. (1,+s)C. ( g, 1)D. ( g, 1答案：B4. 已知y=ax在 R 上是增函數(shù)，則y= logax在(0 ,+g)上是_ 函數(shù).(填增”或“減”)答案：增(1)y= 3log2X；(2)y= log6X；y= logx5;(4)log2X+ 1.解(1)log2x的系數(shù)是 3，不是 1,不是對(duì)數(shù)函數(shù).(2) 符合對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對(duì)數(shù)函數(shù).(3)

35、自變量在底數(shù)位置上，不是對(duì)數(shù)函數(shù).(4) 對(duì)數(shù)式 log2x后又加上 1,不是對(duì)數(shù)函數(shù).判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法對(duì)救箱號(hào)前面的秉鞍沖1n對(duì)數(shù)廠諡A對(duì)救時(shí)嵐數(shù)是年等于L即正的會(huì)裁L同時(shí)itXft對(duì)歎的真裁僅宥自曼母圧J活學(xué)活用1._ 函數(shù)f(x) = (a2a+1)log(a+nx 是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_解析：a2a+ 1 = 1，解得a= 0 或 1.又a+1 0，且a+ 1 工 1,.a= 1.答案：1題型二例 1指出下列函數(shù)哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)?32求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域例 2求下列函數(shù)的定義域:33的定義域是x|x0,3解得匚vx0,43,log0.54x 3 的定義域是x4vx 0,解：

36、(1)要使函數(shù)式有意義，需1 xx1,xv1, 1v xv1. 該函數(shù)的定義域?yàn)?一 1,1).(2)要使函數(shù)式有意義，需5 x0,x 2 0,x2M1,xv5,x2,xM3,. 2vxv5,且xM3.y=log5(1-x)；(2)y=log(1-x)5；In 4xi-y=x；(4)y=.log0.54X3解(1)要使函數(shù)式有意義，需 1 x0,解得xl,所以函數(shù)y= log5(1 x)的定義域是x|x0,(2) 要使函數(shù)式有意義，需1 XM1,義域是x|x0,(3) 要使函數(shù)式有意義，需解得x1,且XM0,所以函數(shù)y= log1x5 的定4 xx 3解得x 1 時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a

37、_x與y= logax的圖象為()解析：選 Cy=a=,：a1, Ov-v1，則y=a在（, +m）上是減函數(shù),aa過(guò)定點(diǎn)(0,1);對(duì)數(shù)函數(shù)y= logax在(0,+s)上是增函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(1,0).故選 C.題點(diǎn)二：作對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象2.已知f(x) = loga|x|，滿足f( 5) = 1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象.解：因?yàn)閒( 一 5) = 1 ,所以 loga5 = 1 ,即a= 5 ,故f(x) = log5|x| =log5X x0,log5xxv0所以函數(shù)y= log5|x|的圖象如圖所示.71-5T小5題點(diǎn)三：對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的數(shù)據(jù)分析3.如圖，若G,G分別為函數(shù)y= log

38、ax和y= logbx的圖象，則(A. 0vavbv1B. 0vbvav1C. ab 1D. ba 1解析：選 B 作直線y= 1,則直線與C,C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為v1.(1) 求函數(shù)y=logaf(x)(a 0，且a* 1)的圖象過(guò)定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x) = 1 求出x,即得定點(diǎn)為(x,m).(2) 給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象，應(yīng)首先考慮函數(shù)對(duì)應(yīng)的基本初等函數(shù)是哪一種；其次找出函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，判斷函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域、單調(diào)性以及奇偶性等；最后綜合上述幾個(gè)方面將圖象選出，解決此類題目常采用排除法.a,b,易知 0vbvaCDO有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象問(wèn)題的應(yīng)用技巧1i_ xI X| x.

39、._）36(3)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法：作直線y= 1 與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，根據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.解析：選 C 由題意知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M16,4)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()數(shù)的解析式為y= log2X，故選 D.3.函數(shù)f(x) = log2(3x+ 1)的值域?yàn)?解析：選 C 由底數(shù)大于 1 可排除 A、B,y= lg(x+ 1)可看作是y= Igx的圖象向左平移 1 個(gè)單位.(或令x= 0 得y= 0，而且函數(shù)為增函數(shù))5.若C. (1,1)U(1,+s)D. (s,+s)1+x0,1XM0,

40、解得x 1 且XM1.2.A.C.y= log4Xy= log _LxB.y= log fx解析：選 D 由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)D. .y= log2XM(16,4)，所以 4= loga16，得a= 2.所以對(duì)數(shù)函A. (0,+s)B. 0,+s)C. (1,+s)解析：選 A / 3X0 , 3X+ 1 1. / log2(3 函數(shù)f(X)的值域?yàn)?0,+s).4.函數(shù)y= lg(x+ 1)的圖象大致是()D.1,+s)+ 1) 0.A. (s, 1)B.(1,+s)37函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a 0，且a* 1)的反函數(shù)且f(2) = 1,則f(x)=()1A. log2XB.C

41、. log OxD. 2X2解析：選 A 函數(shù)y=ax(a 0,且az1)的反函數(shù)是f(x) = logax,又f(2) = 1，即 loga2= 1，所以a= 2.故f(x) = log2x.6._若f(x) = logax+ (a- 4a5)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=_.解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知，a2 4a 5= 0,a0,解得a= 5.az1,答案：57.已知函數(shù)y= loga(x 3) 1 的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.解析：y= logax的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，令x 3= 1，得x= 4，則y= 1.答案：(4 , 1)&若f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)且f(9) = 2,當(dāng)x 1,3

42、時(shí)，f(x)的值域是 _.解析：設(shè)f(x) = logax，因?yàn)?loga9 = 2,所以a= 3，即f(x) = log3X.又因?yàn)閤 1,3, 所以 0wf(x)w1.答案：0,19.若函數(shù)y= loga(x+a)(a 0 且az1)的圖象過(guò)點(diǎn)(一 1,0).(1) 求a的值；(2) 求函數(shù)的定義域.解：(1)將(1,0)代入y= loga(x+a)(a 0,az1)中，有 0 = loga( 1 +a)，則1+a= 1，所以a= 2.(2)由(1)知y= log2(x+ 2)，由x+ 20,解得x 2,所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|x 2.10. 求下列函數(shù)的定義域與值域：2(1)y= log2

43、(x 2); (2)y= log4(x+ 8).解：(1)由x 2 0，得x 2,所以函數(shù)y= log2(x 2)的定義域是(2 , +)，值域是 R.(2) 因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x, log4(x2+ 8)都有意義，所以函數(shù)y= log4(x2+ 8)的定義域是 R.又因?yàn)閤2+ 88,382323所以 log4(x+ 8) log48 = ?,即函數(shù)y= log4(x+ 8)的值域是 ,+m.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.函數(shù)y= 2+ log2x(x 1)的值域?yàn)?)A. (2,+s)B. (s,2)C. 2,+s)D. 3,+s)39解析：選 C 當(dāng)x1 時(shí)，log2X0,所以y= 2+ log2X

44、2.函數(shù)f(x) =x-：的定義域是()v 7lg x 1解析：選 C 函數(shù)f(x) = loga|x| + 1(a 1)是偶函數(shù)，- f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x0 時(shí)，f(x) = logax+ 1 是增函數(shù)；當(dāng)xv0 時(shí)，f(x)=loga( x) +1 是減函數(shù)，又圖象過(guò)(1,1) , ( 1,1)兩點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可知，選 C.5.如果函數(shù)f(x) = (3 a)x,g(x) = logax的增減性相同，則a的取值范圍是 _ .3a 1, 解析：若f(x),g(x)均為增函數(shù)，則a 1,答案：(1,2)2.A.4,+s)B. (10，+m)c.(4,10)U(10,+s)D. 4,1

45、0)U(10,+s)x 4 0,解析：選 D 由 lgx 1 工 0,x 0,x 4,解得x工 10,x 0, x4且 x豐10,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,10)U(10,+s).故選D.3.函數(shù)f(x) =_：a lgx的定義域?yàn)?0,10，則實(shí)數(shù)a的值為()A. 0.10C. 1解析：選 C 由已知，得a Igx0的解集為(0,10，由a Igx0,得lg又當(dāng) 0vxw10 時(shí)，Igxw1,所以a= 1，故選 C.4.函數(shù)f(x) = loga|x| + 1(a 1)的圖象大致為即 1vav2,若f(x),g(x)均為減函數(shù)，則0v3av1,0vav1無(wú)解.I) )406.已知函數(shù)f(x)

46、 = |log1的定義域?yàn)?2,m，值域?yàn)?1_ 13ymin= .例 1比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小:解析：作出f(x) = |log|的圖象(如圖)可知f1 =f(2) = 1,f(1) = 0，由題意結(jié)合答案：1,27.已知f(x) = log3X.作出這個(gè)函數(shù)的圖象;解：作出函數(shù)y= log3X的圖象如圖所示.(2)令f(x) =f(2),即 log3X= log32,解得x= 2.由圖象知：當(dāng) 0a2 時(shí)，恒有f(a)log1xlog 114,即一 1 log設(shè)t= log則一 2ctc-1,21 所以y=tqt1+ 5,其圖象的對(duì)稱軸為直線t= 4,(2)若f(a)0，且az1).

47、解 (1)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y= log2x， 因?yàn)樗牡讛?shù) 2 1,所以它在(0,+)上是增函數(shù)，于是 log23.4vlog28.5.(2) 考察對(duì)數(shù)函數(shù)y= log0.3X，因?yàn)樗牡讛?shù) 0v0.3v1,所以它在(0 ,+)上是減函 數(shù)，于是 log0.31.8 log0.32.7.(3) 當(dāng)a 1 時(shí)，y= logax在(0 ,+)上是增函數(shù)，于是loga5.1vloga5.9 ;當(dāng) 0vav1 時(shí)，y= logax在(0 ,+)上是減函數(shù)，于是loga5.1 loga5.9.(1) 同底的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2) 同真的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化.底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量.(

48、4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.11又對(duì)數(shù)函數(shù)y= log2X在(0 ,+)上是增函數(shù)，且 ：,1 10log23log25，取中間值 1, log23log22= 1 = log55 log54,. log23log54.求解對(duì)數(shù)不等式1例 2 (1)已知 loga 1，求a的取值范圍;(2)已知 log0.7(2x)vlog0.7(x- 1)，求x的取值范圍.比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的4 種方法log日 21得 loga， logaa.11當(dāng)a 1 時(shí)，有av2，此時(shí)無(wú)解.1 12當(dāng) Ovav1 時(shí)，有 2va,從而，vav1.1 a 的取值范圍是

49、2，1 ./函數(shù)y= log0.7X在(0,+s)上為減函數(shù),由 log0.72xvlog0.7(x1)2x 0,得x 1 0,解得x 1.2xx 1,x的取值范圍是(1,+s). logab的不等式，借助y= logax的單調(diào)性求解，如果 需分a 1 與 0vav1 兩種情況討論.(2)形如 logaxb的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式, 的單調(diào)性求解.a的取值不確定，再借助y= logax活學(xué)活用2.已知 loga(3a 1)恒為正，求a的取值范圍.解：由題意知 loga(3a 1) 0= loga1.當(dāng)a 1 時(shí)，y= logax是增函數(shù)，3a 1 1,3a 1 0,解得a2

50、,345a 1;當(dāng) 0vav1 時(shí)，y= logax是減函數(shù),3a1v1,3a10,12解得 3vav-.33 3vav3.1 2綜上所述，a的取值范圍是 3,3U(1,+s).有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域與最值問(wèn)題46例 3求下列函數(shù)的值域.2(1)y= log2(x+ 4) ； (2)y= log2解(1)y= log2(x+ 4)的定義域是 R.因?yàn)閤2+ 44,所以 log2(x2+ 4) log24 = 2,2所以y= log2(x+ 4)的值域?yàn)? ,+).22(2)設(shè)u= 3 + 2x-x=- (x- 1) + 4 0,所以 0vuw4.又y= log1u在(0,+)上為減函數(shù),(1)

51、求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域，一般需根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)的取值范圍求解.(2) 求函數(shù)的值域時(shí)，一定要注意定義域?qū)λ挠绊?，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解，當(dāng)函數(shù) 中含有參數(shù)時(shí)，有時(shí)需討論參數(shù)的取值.活學(xué)活用3.已知f(x) = 2 + logsx,x 1,9，求函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的最大值及此時(shí)x的值.2 2 2 2 2 2解：y= f(x) +f(x) = (2 + logax) + logax+ 2 = (logax) + 6logax+ 6 = (logax+ 3)3. f(x)的定義域?yàn)?,9,221WxW9, y= f(x) +f(x)中，x必須滿足21wxw9, 1wxw3,. 0w

52、logaxw1 , 6wyw13.當(dāng)x= 3 時(shí)，y取得最大值，為 13.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用驚江例 4 已知函數(shù)f(x) = loga(1 +x),g(x) = loga(1 x),其中(a0 且a* 1),設(shè)h(x) =f(x) g(x).求函數(shù)h(x)的定義域，判斷h(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由.解Tf(x) = loga(1 +x)的定義域?yàn)閤|x 1,g(x) = loga(1 x)的定義域?yàn)閤|xv1,h(x) =f(x) g(x)的定義域?yàn)閤|x 1nx|xv1 = x| 1vxv1.2(3 + 2x-x).所以 log所以y= log2(3 + 2xx)的值域?yàn)?,47 h(x

53、) =f(x) g(x) = loga(l +x) loga(l -x),h( x) = loga(l x) loga(l +x) = loga(l +x) loga(l x) =h(x), h( x)為奇函數(shù).一題多變1 +x1.變條件若f(x)變?yōu)?loga(a 1):求f(x)的定義域.1 x所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一 1,1).2.變?cè)O(shè)問(wèn)在本例條件下，若f(3) = 2,求使h(x)v0 成立的x的集合.解：f(3) = loga(1 + 3) = loga4 = 2,.a= 2.h(x) = log2(1 +x) log2(1 x),h(x)v0 等價(jià)于 log2(1 +x)vl

54、og2(1 x),1+xv1x,1+x0,1x0,1.若 lg(2x 4)W1,貝yx的取值范圍是()A.(汽 7B. (2,7C. 7,+s)D. (2,+s)解析：選 B / lg(2x 4)W1, 0v2x 4W10,解得 2vxW7, x的取值范圍是(2,7,故選 B.2.已知 log Umvlogrnv0,則（）2A.nvmv1B.mvnv1C.1vmvnD.1vnvm解析：選 D 因?yàn)?0v*v1, log Umvlog Cnv0,解：因?yàn)閒(x) = log1 +xa1 x，1 亠x需有口 0，即1+x0,1x0,1+XV0,或所以一 1Vxv1.1xv0,解得1vxv0.48所

55、以mn 1,故選 D.493.函數(shù)f(x) =|log1x|的單調(diào)遞增區(qū)間是( )1A. 0,2B- (0,1C. (0,+8)D. 1,+8)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為1 ,+).10a= log45,b= 2 ，c= log30.4，貝Ua,b,c的大小關(guān)系為(A. bvcvaC. cvavb1解析：選 D 由題知，a= log45 1,b= 20= 1，c= log30.4v0,故cvbva.15.函數(shù)f(x) = lg 一x2*1 + x是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)1 1解析：選 Af(x)定義域?yàn)?R,f( x) +f(x) = l

56、g2+ lg=2=px+ 1 xx+1 +x1lg22= lg 1 = 0,x+ 1xf(x)為奇函數(shù)，故選 A.6. 比較大?。?1) log22_ log2雨；(2) log3 n_logn3.解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y= log2x在(0 ,+s)上是增函數(shù)，且 2 3,所以 log22 log2. 3.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y= log3x增函數(shù)，且n 3，所以 log3nlog33= 1.同理 1=lognnlogn3,所以 log3nlogn3.答案：(1) (2) 7.不等式 log 廿(5 +x)0,解析：選 D4.已知實(shí)數(shù)B. bvavcD. cvbva50解析：由 1 x0,得一 2x

57、1 x,=0.51答案：x| 2x 1,函數(shù)f(x)= log ax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為1，貝 Ua=解析： a1,f(x) = logax在a,2a上遞增,1 loga(2a) logaa=,即 loga2= 2,答案：49.已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，試解不等式f(2x 3) f(x).解：設(shè)f(x) = logax(a 0 且 1),因?yàn)閒=2,所以 loga4= 2,所以a= 2,2x 3 0,所以f(x) = log2x,所以f(2x 3) f(x)? log2(2x 3) log2X?x 0,?x2x 3x所以原不等式的解集為(3,+R).22(1 x)有意義，則 1 x 0,x2v1,則一 1vxv1，因此函數(shù)的定義域?yàn)?一 1,1).10.求函數(shù)y= log(1 x2)的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)的最小值.解：要使y= log令t= 1 x2,x ( 1,1).當(dāng)x ( 1,0時(shí)