(新教材)高中數(shù)學(xué)人教A必修第一冊(cè)同步練習(xí)：第五章習(xí)題課三角恒等變換的應(yīng)用

1、習(xí)題課三角恒等變換的應(yīng)用課后篇鞏固提升.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.函數(shù) f(x)=sin xcos x+cos2x-1 的值域?yàn)?)1C.-1,0D.0,2解析 f(x)=sin xcos x+ cos2x-111+cos2?=尹n 2x+2-11 1 1=s in 2x+cos 2x-因?yàn)?1Wsin(2?+ 4?)W1,所以 y -三1，今】.答案 A2.已知卄1na滿足 sin0=3，貝Ucos(4+冗?)cos(4-?=725725A.18B.石18C.韋D.-石2117，、丄2sina=2(1 -2X9) =18,故選 A.答案 A5。o2tan13A/-cos50 亠3.設(shè) a=2sin 13

2、 cos 13,b=-2,c=2，則有()1+tan2132A.cabB.abcC.bcaD.acc;在區(qū)間0,扌上 tanasina所以 ba,所以cab 故選 A.答案 A4.(多選題)(2020 福建福州一中高一期末)以下函數(shù)在區(qū)間A.y= sin x+ cos xB.y=s inx-cos x0,n上單調(diào)遞增的有()C.y= sin xcos xsin?D.y=cos?解析對(duì)于 A 選項(xiàng),y= sin x+ cos x= v2sin( x+n),當(dāng)x(0,n)2時(shí)，嚀n 3 n)4 4，所以函數(shù)在區(qū)n0,2上不單調(diào)；對(duì)于 B 選項(xiàng),y=sin x-cos x= v2sinnX-時(shí),x-

3、n所以函數(shù)在區(qū)間0,n上單調(diào)遞增；對(duì)于 C 選項(xiàng),y=sin xcos x=sin 2x,當(dāng) x 0,2時(shí),2x (0,n,所以函數(shù)在區(qū)間10,舟上不單調(diào)；對(duì)于 D 選項(xiàng)，當(dāng) x ( 0,n時(shí)sin?時(shí),y=cos?=tan x,所以函數(shù)在區(qū)間0,|上單調(diào)遞增.答案 BD5.已知函數(shù) f(x)=sin23X 的最小正周期為n則w=解析 由于 f(x)=sin2wx=-2cos 2wx+1,因此磊=兀解得w=1.答案1一4cos4?2cos2?16.已知函數(shù)f(x)=sin申?sin(靜r11冗厶匚/+n1當(dāng) x 0,4)時(shí)，求函數(shù) g(x)=2f(x)+ sin 2x 的最大值和最小值.2解f

4、(x)cos22?sin(扌+? cos(n+?2cos22?2cos22?sin(號(hào)+2?=cos2?=2cos 2x,所以口-害)=2cos(-罟)=2cos6=v3g(x)=cos 2x+sin 2x= v2sin(2?+4) 因?yàn)?x 0,n，所以 2乂+八嶺,曽),x=8時(shí),g(x)max= v2, 當(dāng) x=0 時(shí),g(x)min= 1.能力提升練1.(多選題)(2020 山東棗莊高一期末)設(shè)函數(shù) f(x)= sin，2x+j+ cos 2x+jA.是偶函數(shù)B.在區(qū)間10,n單調(diào)遞減C. 最大值為 2D. 其圖象關(guān)于直線 x=2對(duì)稱解析 f(x)=sin ( 2x+彳)+ cos 2

5、x+J=v2sin 2x+4+4= v2cos 2x.2f(x)= v2cos 2x 的最大值為 v2,C 不正確；當(dāng) x=才時(shí),f(x)= v2cos 2xn=-邁因此當(dāng) x= 答案 ABD，函數(shù)有最小值，因此函數(shù)圖象關(guān)于“*寸稱,D正確.2.已知函數(shù) f(x)=sin x+尢os x 的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)(,0),則函數(shù) g(x)= 2sin xcos x+ sin2x 的圖象的一條對(duì)稱軸是直線()解析因?yàn)楹瘮?shù) f(x)= sin x+；cos x 的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)(扌,0),所以口扌)=,即卩sin扌+尢os扌=0,解冗1得C- v3,故 g(x)=- v3sin xcos

6、x+ sin2x,整理得 g(x)=-sin(2?+云)+刁所以對(duì)稱軸直線方程為nn2x+ -=kn+(k Z),當(dāng) k=-1 時(shí),一條對(duì)稱軸是直線答案 D所以當(dāng)，則 f(x)()f(-x)= v2cos(-2x) = v2cos(2x)=f (x),故 f(x)是偶函數(shù),A 正確；(o/,所以 2x (0,n),因此 f(x)在區(qū)間(0, F 上單調(diào)遞減,B 正確;/x5nA.x=g4 冗B.x=冗c.x=3冗D.X=-3冗x=-3.3.(2019 山西孝義一模)已知函數(shù) f(x)=23sinfosZcos2?：。)的周期為琴,當(dāng) x 0,時(shí)屈數(shù) g(x)=f(x)+m恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則

7、實(shí)數(shù) m 的取值范圍是? ?9?解析由函數(shù) f(x)=2v3sinycosT+Zcos2?。)，可得 f(x)= v3sin ：x+ cos ：x+ 1= 2sin3X+6 + .f(x)的周期為，.磊=守,可得妒 3,/f(x)=2sin3x+n+ i.n 7 n. _ . _ .6,石-(x)的圖象與函數(shù) y=-m 的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)1二2X+ 1-m2X1+ 1,即 2-m3,實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(-3,-2.答答案 (-3,-24.已知函數(shù) f(x)=4tan xsi門(才-?上0$(?*-v3.(1)求 f(x)的定義域與最小正周期；n n.討論 f(x)在區(qū)間-4,4上的單調(diào)性.

8、解|(1)f(x)的定義域?yàn)?|?工扌+ ? ,nZ.f(x)=4tan xcos xcos(?f) - v3 =4sin xcos(?3)- v31v3= 4sin x(2cos?+ sin?) -v3=2sin xcos x+ 2v3s in2x-v3=sin 2x+ v3(1-cos 2x)-v3=sin 2x-v3cos 2x= 2sin(2?-3). 所以 f(x)的最小正周期 T=n當(dāng) x 0,3時(shí),3x+nnnnnn令Z=2X-3，函數(shù) y=2sin z 的單調(diào)遞增區(qū)間是-2+ 2? n + 2?兀Z.由+2kn2xpw5n尹2k %kZ，得-乜+knWxw袒+kn；kZ.設(shè)人=

9、-扌，4啟=幾-君+knWXw答+k兀k Z，易知 AQB=-y|, j.所以，當(dāng)X -n,4時(shí),f(x)在區(qū)間卜看，4上單調(diào)遞增，在區(qū)間卜4，-咅上單調(diào)遞減.-素養(yǎng)培優(yōu)練(2019 上海閔行區(qū)高一模擬)如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形理污水，管道越長，污水凈化效果越好，設(shè)計(jì)要求管道的接口 E 是 AB 的中點(diǎn),F、G 分別落在 AD、BC 上,且AB=20 m,AD=10v3 m,設(shè)/ GEB=0.(1) 試將污水管道的長度 I 表示成0的函數(shù)，并寫出定義域；(2) 當(dāng)0為何值時(shí)，污水凈化效果最好，并求此時(shí)管道的長度.解(1)由題意，/GEB=0/ GEF=90 ,貝 AEF= 90 -0.ABCD 的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(Rt AEFG,E 是直角頂點(diǎn))來處FG=V?+ ? =10cos?sin?則 l=10(2)由(1)可知,l=而?+cos?100sin?cos?.化簡可得_ 10(sin?+cos?+10l=sin?cos?/ E 是 AB 的中點(diǎn)，AB=20 m,AD= 103 m.EG=QEF=10cos?cos(90 -?10sn?10+sin?10+cos?10sn?定義域旺冗 冗6，3令 t= sin0+cos0= v2sin45 n 7 n1