等差數列的認識與公式運用

1、等差數列的認識與公式運用知識點撥、等差數列的定義先介紹一下一些定義和表示方法定從第二項起，每一項都比前一項大（或?。┮粋€常數 （固定不變的數 ），這樣的數列我們稱它為等差義：數列 .譬2、5、8、11、 14、17 、20、L從第二項起，每一項比前一項大3，遞增數列如：100 、95 、90、85、 80、L從第二項起，每一項比前一項小5，遞減數列 首項：一個數列的第一項，通常用ai 表示末項：一個數列的最后一項，通常用an 表示，它也可表示數列的第n 項。項數：一個數列全部項的個數，通常用n 來表示；公差：等差數列每兩項之間固定不變的差，通常用d 來表示；和：一個數列的前n 項的和，常用Sn

2、 來表示 .二、等差數列的相關公式（1）三個重要的公式通項公式：遞增數列：末項首項（項數 1）公差， an a1 （n 1 ） d遞減數列：末項首項（項數 1）公差， ana1（ n 1）d回憶講解這個公式的時候可以結合具體數列或者原來學的植樹問題的思想，讓學生明白末項其實就是首項加上 （末項與首項的 ）間隔個公差個數，或者從找規(guī)律的情況入手. 同時還可延伸出來這樣一個有用的公式： an am （n m ） d,（ n m ）項數公式：項數 （末項首項 ）公差 +1由通項公式可以得到：n（ana1） d 1 （若 ana1） ；n（ a1 a n）d 1（若 a1 a n） .找項數還有一種配

3、組的方法，其中運用的思想我們是常常用到的.譬如：找找下面數列的項數：4、7、10 、13、L、40 、43、 46 ,分析：配組：（ 4、5、6）、（7、8、9）、（ 10、 11、 12）、（13、14、15）、 L、（ 46、47、 48），注意等差是3 ,那么每組有3 個數，我們數列中的數都在每組的第1 位，所以 46 應在最后一組第1 位， 4 到 48 有 48 4 1 45項，每組 3 個數，所以共45 3 15 組，原數列有15 組 . 當然還可以有其他的配組方法.求和公式：和 = （首項末項 ）項數吃對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：偲路1)123L989910014100

4、4(2 4 4 23 4 98) 4 4 450 4爭)仙 50 5050共50個101叮叮小文庫(思路 2)這道題目，還可以這樣理解:和=1234L9899100+和100999897L321即2 倍和101101101101L101101101(100 1) 100 2 101 505050(2)中項定理：對于任意一個項數為奇數的等差數列，中間一項的值等于所有項的平均數，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數.譬4812L3236(436) 922091800,如：題中的等差數列有9 項，中間一項即第5 項的值是 20 , 而和恰等于 20 9 ;656361L5

5、31(165) 33233331089,題中的等差數列有33 項，中間一項即第17 項的值是 33 , 而和恰等于33 33 .例題精講模塊一、等差數列基本概念及公式的簡單應用等差數列的基本認識【例 1】 下面的數列中，哪些是等差數列？若是，請指明公差，若不是，則說明理由。6,10,14,18,22, ,98;1,2,1,2,3,4,5,6；1,2,4,8,16,32,64;9,8,7 6,5,4,3,2;3,3,3,3,3, 3, 3, 3;1,0,1,0 ,I ,0,1, 0;【例 2】小朋友們，你知道每一行數列各有多少個數字嗎?(1) 3、 4、 5、 6、? ?、76、 77、78(2

6、) 2、 4、 6、 8、? ?、96、 98、100(3) 1、 3、 5、 7、? ?、87、 89、91(4)4、 7、 1013、 、 40、43、 46、【例 3】 把比 100 大的奇數從小到大排成一列，其中第21 個是多少 ?【鞏固】 2 ,5 ,8 ,11 ,14 是按照規(guī)律排列的一串數，第21 項是多少 ?2叮叮小文庫【例 4】已知一個等差數列第9 項等于 131 , 第 10 項等于 137 , 這個數列的第1 項是多少？第19 項是多少？【鞏固】一個數列共有13 項，每一項都比它的前一項多7, 并且末項為 125 ，求首項是多少 ?【鞏固】在下面12 個方框中各填入一個數

7、，使這12 個數從左到右構成等差數列，其中10 、16 已經填好 ,這 12 個數的和為。2?磐幽佔 1?趣10國幽【例 5】從 1 開始的奇數： 1,3,5, 乙其中第 100 個奇數是【例 6】觀察右面的五個數:19 、 37 、55 、 a、91 排列的規(guī)律，推知a = _等差數列公式的簡單運用【例2、4、 6、& 10 、12 、L 是個連續(xù)偶數列，如果其中五個連續(xù)偶數的和是的320 ，求它們中最小7】一個 .【鞏固】 1、3、5、7、9、11 、L 是個奇數列，如果其中8 個連續(xù)奇數的和是256 ，那么這 8 個奇數中最大的數是多少？【鞏固】 1、4、7、10 、13、 這個

8、數列中，有6 個連續(xù)數字的和是159 ，那么這 6 個數中最小的是幾?3叮叮小文庫【例 8】 在等差數列 6,13,20,27, 中，從左向右數，第_ 個數是 1994 .【鞏固】 5、 8、 11 、14、 17 、20 、L，這個數列有多少項？它的第201 項是多少？65 是其中的第幾項 ?【鞏固】對于數列 4、7、10 、 13、16 、19 ，第 10 項是多少？49 是這個數列的第幾項？第100 項與第50 項的差是多少？【鞏固】已知數列0、4、8、12、 16、 20、 ，它的第43 項是多少 ?鞏固】聰明的小朋友們,PK 一下吧 . 3、 5、 7、9、 11 、13 、15 、

9、 ，這個數列有多少項？它的第102 項是多少 ? 0、 4、 8、12 、16、 20 、 ，它的第 43 項是多少？已知等差數列 2、 5、& 11 、14 ，問 47 是其中第幾項？已知等差數列 9、 13 、17 、21、 25 、 ，問 93 是其中第幾項？【例 9】如果一個等差數列的第4 項為 21, 第 6 項為 33, 求它的第8 項.如果一個等差數列的第3 項為 16, 第 11 項為 72, 求它的第6 項.鞏固】已知一個等差數列第8 項等于50, 第 15 項等于71. 請問這個數列的第1 項是多少？鞏固】如果一等差數列的第4 項為 21, 第 10 項為 57,

10、求它的第16 項.等差數列的求和【例 10 】一個等差數列2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 這個數列各項的和是多少？【鞏固】有20 個數，第 1 個數是 9, 以后每個數都比前一個數大3?這 20 個數相加，和是多少?4叮叮小文庫【鞏固】求首項是13, 公差是 5 的等差數列的前30 項的和 .【例 11 】15 個連續(xù)奇數的和是1995 ，其中最大的奇數是多少?【鞏固】把210 拆成 7 個自然數的和，使這7 個數從小到大排成一行后，相鄰兩個數的差都是5，那么 ,第 1 個數與第 6 個數分別是多少？【例 12 】小馬虎計算1 到 2006 這 2006 個連續(xù)整數的平均數。在

11、求這 2006 個數的和時，他少算了其中的一個數，但他仍按2006 個數計算平均數，結果求出的數比應求得的數小1。小馬虎求和時漏掉的數是。等差數列找規(guī)律找規(guī)律計算【例 13】1 只青蛙 1 張嘴， 2 只眼睛 4 條腿 ;2 只青蛙 2 張嘴， 4 只眼睛 8 條腿；_ 只青蛙 _ 張嘴， 32 只眼睛 _ 條腿?！纠?14 】如圖 2，用火柴棍擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當N=5 時，按這種方式擺下去,當 N=5 時，共需要火柴棍_ 根。5叮叮小文庫【例 15 】觀察下面的序號和等式，填括號.序號等式1123 63357 1555811 24771115 33LL L L()()

12、() 7983 ()【鞏固】有許多等式 ：2461353;81012147911134;161820222415171921235;那么第 10 個等式的和是 _【鞏固】觀察下列算式：2 +4=6=2X3,2+4+6=12=3X42+4+6+8=20=4X5然后計算： 2 + 4+ 6+ 100 =【例 16 】將一些半徑相同的小圓按如下所示的規(guī)律擺放：第1 個圖形中有6 個小圈，第2 個圖形中有10個小圈，第3 個圖形中有 16 個小圈，第 4 個圖形中有 24 個小圈， ，依此規(guī)律，第6 個圖形有 個小圈。00o 0OOOOOOOOOO OOOOO OOOOO OOOOOOOOOoocoo

13、OO OOO0 0000第 1個圖Oooooooo第 2個圖形笫 3個圖形第 4個圈形【例 17 】觀察下列四個算式 :￥=20 ,20=10 ? =52丿。從中找出規(guī)律，寫出第五個算24 2'85166叮叮小文庫規(guī)律計數【例 18 】從 1 到 50 這 50 個連續(xù)自然數中，去兩數相加，使其和大于50 . 有多少種不同的取法?【鞏固】從1 到 100 的 100 個數中，每次取出兩個不同的自然數相加，使它們的和超過100. 有幾種不同的取法？【例 19 】有多少組正整數a、b、c 滿足 a b c 2009 .數陣中的等差數列【例 20 】如下圖所示的表中有55 個數，那么它們的和

14、等于多少?171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【鞏固】下列數陣中有100 個數，它們的和是多少 ?111213L1920121314L2021MMMMMM131415L2122202122L2829【鞏固】下面方陣中所有數的和是多少?7叮叮小文庫1901190219031904L19501902190319041905L19511903190419051906L1952MMMMLM1948 1949 19501951 L1997

15、1949 1950 19511952 L1998例 21 】把自然數從1 開始，排列成如下的三角陣：第1 列為 1；第2 列為2， 3， 4；第 3 列為 5，6，7，8, 9, ，每一列比前一列多排兩個數，依次排下去，以 1開頭的行”是這個三角陣的對稱軸 ,如圖則在以 1 開頭的行第 2008 個數是多少中，L5L26L137L48L9LL鞏固固】將】自然數按下一圖定的規(guī)方律式排排成列下，表，問求第10行第個數 字幾第11的36一15是？1021L259個數是幾？20L357行第146059111315481319L1719212325277291218L3133 3537394143111

16、7L4547 4916 L例 22 】把所有奇數排列成下面的數表，根據規(guī)律，請指出：197 排在第幾行的第幾個數？8叮叮小文庫13 5 791113151719 21 23 25 27 29 319叮叮小文庫33 35 37 39 43 45 47 49和第一列外其它各個格上的數之和?【鞏固】將自然數按下面的形式排列1234567891011121314151617181920212223 24 25LL問：第 10 行最左邊的數是幾？第10行所有數的和是多少 ?【例 1】 將正整數從1 開始依次按如圖所示的規(guī)律排成一個數陣”其中 2 在第 1 個拐角處， 3 在第 2 個拐角處， 5 在第

17、3 個拐角處， 7 在第 4 個拐角處， ?那么在第100 個拐角處的數是 _ ?- 22 21109 一 8一7 2丨I1121 6 19123 4518 3 14 一 1516 1【鞏固】一列自然數：0, 1,2 , 3, ,2024 ，第一個數是0，從第二個數開始，每一個都比它前一個大 1, 最后一個是2024 ?現(xiàn)在將這列自然數排成以下數表規(guī)定橫排為行，豎排為列，則 2005在數表中位于第_ 行第 _ 列。0381512714456139 1H 1112? 1*1-?【例 2】 下表一共有六行七列，第一行與第一列上的數都已填好，其他位置上的每個數都是它所在行的第一列上的數與所在列的第一行上的數的積，如 A 格應填的數是10 13 130 ，求表中除第一行09111315319810叮叮小文庫21410A16【例 3】 如圖