2017-2018學年高中數(shù)學第一章推理與證明3反證法教學案北師大版選修2-2

1、3 反證法對應學生用書 P8拍象問遷情境化，新知無師自通%入門蓉科1問題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中的一道美麗的風景線，幾乎所有的 廣告商都熟諳這樣的命題變換藝術如宣傳某種食品，其廣告詞為：“擁有的人們都幸福， 幸福的人們都擁有”該廣告詞實際說明了什么？提示：說的是“不擁有的人們不幸?！?2.已知正整數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2.求證：a,b,c不可能都是奇數(shù).問題 1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？提示：不能.問題 2：a,b,c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？此時，還滿足條件a2+b2=c2嗎？提示：a,b,c都是奇數(shù).此時不滿足條件a2+b2=c2.1. 反證法的定義在證明

2、數(shù)學命題時，先假定命題結(jié)論的反面成立, 在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、 公理、定理相矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾,從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫作反證法.2. 反證法的證題步驟作出否定結(jié)論的假設;（2）進行推理，導出矛盾；（3）否定假設，肯定結(jié)論.歸納升華領悟-1 .反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導出矛盾來達到肯定命題結(jié)論的目的.2.可能出現(xiàn)矛盾的四種情況：（1）與題設矛盾；（2）與假定矛盾；（3）與公理、定理或已 被證明了的結(jié)論矛盾；（4）在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論.高頻若點題組化.名師一點就念對應學生用書P82用反證法

3、證明否(肯)定式命題例 1已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：a,b,. c不成等差數(shù)列.思路點撥此題為否定形式的命題，可選用反證法，證題關鍵是利用等差中項、等比中項.精解詳析假設，a,b,c成等差數(shù)列，貝a+c= 2b,即a+c+ 2ac= 4b,而b1 2=ac,即卩b=.ac,.a+c+ 2ac= 4ac, ( a-c)2= 0,即a=c,從而a=b=c,與a,b,c不成等差數(shù)列矛盾，故a,b,c不成等差數(shù)列.一點通(1) 對于這類“否定”型命題，顯然從正面證明需要證明的情況太多，不但過程繁瑣，而且容易遺漏，故可以考慮采用反證法.一般地，當題目中含有“不可能”“都不”

4、“沒有” 等否定性詞語時，宜采用反證法證明.(2) 反證法證明“肯定”型命題適宜于結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究和掌握的命題.1已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù). 證明：假設a不是偶數(shù)，則a為奇數(shù).2 2設a= 2m+ 1(m為整數(shù))，貝U a= 4m+ 4m 1. 4( m+m 是偶數(shù)，4m+ 4m 1 為奇數(shù)，即a2為奇數(shù)，與已知矛盾.a一定是偶數(shù).2 如圖，正方體ABCDABCD中，點M是AD的中點，點N是CD的中點，用反證法證明直線BM與直線AN是兩條異面直線.證明：假設直線BM與A N共面.3則AD平面ABND,且平面ABNDT平面ABCD BN, 由正方體特征知AD/

5、平面ABCD故AD/BN又AiD/BC所以BIN/ BC這與BNH BC= B矛盾，故假設不成立.所以直線BM與直線AN是兩條異面直線.例 2求證函數(shù)f(x) = 2x+ 1 有且只有一個零點.思路點撥 一般先證存在性，再用反證法證唯一性.精解詳析 (1)存在性：因為 2X 2 + 1= 0,所以一為函數(shù)f(x) = 2x+ 1 的零點.所以函數(shù)f(x) = 2x+ 1 至少存在一個零點.唯一性：假設函數(shù)f(x) = 2x+ 1 除一1外還有零點XOXoM1，則f ig =f(xo)=0.1故假設不成立，即函數(shù)f(x) = 2x+ 1 除2 外沒有零點.綜上所述，函數(shù)f(x) = 2x+ 1

6、有且只有一個零點.一點通(1) 結(jié)論以“有且只有”、“只有一個”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的“唯一”型命題，由于反設結(jié)論易于導出矛盾，所以用反證法證明簡單而又明了.(2) “有且只有”的含義有兩層存在性：本題中只需找到函數(shù)f(x) = 2x+ 1 的一個零點即可唯一性：正面直接證明較為困難， 故可采用反證法尋求矛盾，從而證明原命題的正確性.3.過平面a上一點A,作直線a丄a，求證：a是唯一的.證明：假設a不是唯一的，則過點A至少還有一條直線b滿足b丄a.a,b是相交直線，a,b可以確定一個平面3.即 2X1二xo= 2,XO1 矛盾.用反證法證明唯一性命題這與4設a和B相交于過點A的直線C.a丄

7、a ,b丄a,.a丄c,b丄c,又anb=Ac丄B.這與cB矛盾.故過點A垂直于平面a的直線有且只有一條，即a是唯一的.4.用反證法證明：過已知直線a外一點A只有一條直線b與已知直線a平行.證明：假設過點A還有一條直線b與已知直線a平行，即bnb=A,b/a. 因為b/a,由平行公理知b/b.這與假設bnb=A矛盾，所以過直線外一點只有一條直線與已知直線平行.用反證法證明“至多”或“至少”類命題.2n2n2n例 3 已知a,b,c均為實數(shù)，且a=x- 2y+ ,b=y- 2z+,c=z- 2X+. 求證：a,b,c中至少有一個大于 0.精解詳析 假設a,b,c都不大于 0，即a 0,b 0,c

8、 0.所以a+b+c0.這與a+b+cW0矛盾，故a,b,c中至少有一個大于 0.一點通(1) 對于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時，常用反證法.(2) 常用的“原結(jié)論詞”與“反設詞”歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個反設詞一個也沒有（不存在）至少有兩個至多有n 1 個 至少有n+ 1 個55.已知X, y0,且X+y2.61 -4-x1 +y求證： -, 中至少有一個小于 2.y x1 +x1 +y證明：假設 ，都不小于 2.y xTx0,y0,1 +x 2 y,1 +y2 x. 2+x+y2(x+y),即x+yw2,這與已知x+y2 矛盾.

9、X3.則2ax1+bx1+c= 0,；ax2+bx2+c= 0,嚴+bx3+c= 0.由一得：a(X1+X2) +b= 0,由一得：a(X1+X3) +b= 0,一得：a(X2-X3)= 0,因為a* 0,所以X2X3= 0 得X2=X3.這與假設X1*X2*X3矛盾，所以原方程最多只有兩個不相等的實根.方法規(guī)律小結(jié)用反證法證題要把握三點：(1) 必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可 能，證明都是不完全的.(2) 反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結(jié) 論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法.(3) 推導出來的矛盾可能

10、多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與定理、 公理相矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的.m中至少有一個小于x2.6.求證一元二次方程ax2+bx+c= 0(0)最多有兩個不相等的實根.證明：“最多有兩個”的反設是“至少有三個”，假設方程有三個不相等的實根X1,X2,1 +x7對應課時跟蹤訓練三課下訓練經(jīng)換化*貴在鮭類旁通1三人同行，一人道：“三人行，必有我?guī)煛保硪蝗讼氡硎痉磳?，他該怎么說？( )A. 三人行，必無我?guī)烞. 三人行，均為我?guī)烠. 三人行，未嘗有我?guī)烡. 三人行，至多一人為我?guī)熃馕觯骸氨赜小币馑紴椤耙欢ㄓ小?，其否定應該是“不一定有”，故選C.答案：C2.(山東高考)用反證

11、法證明命題“設a,b為實數(shù)，則方程x3+ax+b= 0 至少有一個實根”時，要做的假設是()A.方程x3+ax+b= 0 沒有實根3B.方程x+ax+b= 0 至多有一個實根C.方程x3+ax+b= 0 至多有兩個實根D.方程x3+ax+b= 0 恰好有兩個實根解析：至少有一個實根的否定是沒有實根，故要做的假設是“方程x3+ax+b= 0 沒有實根”.答案：A3.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：1(ab)2+ (bc)2+ (ca)2工 0；2ab與a0,y0,z0,1a=x+一,b=y+ -,c=z+1，貝U a,b,c三個數(shù)(zx解析：因為a,b,c不全相等，所以正確；顯然正確

12、，中的a*c,b*c,a*b可以同時成立，所以錯，故選C.答案：CA. 至少有一個不大于 2B. 都小于 2C. 至少有一個不小于 2D. 都大于 2111解析：假設a,b, c都小于 2,則a+b+c180,這與三角形內(nèi)角和為 180矛盾，故假設 錯誤.2所以一個三角形不能有兩個直角.3假設ABC中有兩個直角，不妨設ZA= 90,/B= 90.上述步驟的正確順序為 _ .解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應為答案：7. 如果非零實數(shù)a,b,c兩兩不相等，且 2b=a+c,2 11、證明：匸=一+一不成立.b a c2 1 1 亠、小 2a+c2b證明：假設二=+-成立，則=,9b a

13、cb ac ac2a+c故b=ac,又b= ,22=ac,即（ac）2= 0,a=c.這與a,b,c兩兩不相等矛盾.2 1 1因此孑 1+1 不成立.所以10 xx 2f(x) =a+xi(a1).(1) 求證：函數(shù)f(x)在(一 1 ,+)上為增函數(shù).(2) 用反證法證明方程f(x) = 0 沒有負數(shù)根.證明：(1)任取xi,X2 ( 1 ,+)，不妨設xi1，故y=ax為增函數(shù)，又X1+ 10,X2+ 10,X2 2X1 2X2?X1 + X1?X2+X2+ 1X1+ 1 X1+X2X2 2X1 2 于是f(X2)f(x1)=ax2ax1+x+1，即f(X2)f(X1),故函數(shù)f(X)在(1,+8)上為增函數(shù).(2)法一：假設存在Xo1，當xoo 時，0